第6章 正弦交流电路

第六章正弦交流电路

§6–1正弦交流电的基本概念

一、交流电ttt二、正弦交流电的三要素i=ImSin(ωt+φi)ωtiOImTφi1.振幅——强度2.频率——快慢3.初相位——起点单位描述同频率正弦量的相位差ωti=ImSin(ωt+φi)u=UmSin(ωt+φu)O定义u、i之间的相位差为ΔΦ=φu–

φiΔΦ＞0ΔΦ＜0ΔΦ=0ΔΦ=πΔΦ=π/2u超前于iu滞后于iu、i同相u、i反相u、i正交三、正弦交流电的有效值RiI有效值rms方均根值I经R，在T内耗能：i经R，在T内耗能：I=√1/T∫i2dt=Im/√2(Sinonly)同理U=Um/√2I2Ri2R∫dt*T§6–2正弦交流电的相量表示法线性电路中，激励——正弦量Arbaj+1Oφ复数的几种表示形式：旋转因子的概念

ejα响应——同频率的正弦量只须确定响应的有效值和初相位借助有向线段特殊旋转因子j=ejπ/2,–j=1/j=ej–π/21。代数式A=a+

jb(j2

=–

1)2。三角式A=rCosφ+jrSinφ3。指数式A=

rejφ4。极坐标式A=

rφ——复数表示——相量表示法——相量法一、复数与正弦量的关系ωtABiOφiφiωt1ωAB作有向线段A形成旋转矢量t1二、相量表示法Ij+1OφI优点：1。把的正弦量＋、－、×、÷变为复数的＋、－、×、÷2。关系简单，一一对应，直接写出注意：相量仅表示正弦量，不等于正弦量！例1相量图I1–

45oI30oU60oj+1Oi=10√2Sin(ωt+π/6)A已知I1=10/√2–45oAu=5√2Cos(ωt–30o)V幅值与相位关系一目了然记为I=10π/6A记为U=560oV则i1=

10Sin(ωt–45o)A例2相量图(平行四边形)I1I2Ij+1O已知i1=

10√2Sin(ωt+30o)Ai2=

20√2CosωtA求：i=i1+i2=？解：I1=10/30o=5√3+j5

AI2=20/90o=j20

AI=I1+I2=5√3+j25A=26.46/70.9oA∴i=26.46√2Sin(ωt+70.9o)A例2相量图（三角形）I1I2Ij+1O§6–3单一参数的正弦交流电路

一、电阻元件

1.u–i关系uiRωtuiu=Ri设i=Im

Sinωt则u=Ri=RIm

Sinωt=UmSinωt结论:(1)u，i

同频、同相

(2)Um/Im=U/I=R相量表示U=RIUI2.功率关系ωtPpi瞬时功率p=uip=UmImSin2ωt=UI

(1–Cos2ωt)p始终>0，P=1/T∫pdt=UI=

RI2=U2/R——有功功率(W)——与D.C.相同平均功率R——耗能元件=1/T∫UI(1–Cos2ωt)

dt二、电感元件

1.u–i关系Luiωtuiu=Ldi/dt,

设i=ImSin(ωt)则u=Ldi/dt=UmSin(ωt+π/2)∴对于电感，有如下结论：(1)u、i同频,并且u超前于i90o(2)Um=ωLIm=XLIm,XL=ωL=Um/Im=U/I——感抗(Ω)=ωLImCosωt2.频率特性相量表示U=(ωL)IωXL=ωLUIjXL=ωLω→0,XL→0ω→∞,XL→∞Short(D.C.)Open(H.F.)选择性3.功率关系ωtpiO瞬时功率p=uip=

UmCosωtImSinωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?p>0，吸收能量p<0,放出能量P=0——不耗能定义

QL=pm=UI——无功功率(乏,Var)=XLI2=U2/XL例题已知u=100Sinωt(V)，L=10mH，f=50Hz和f=50kHz求：电感中的电流I及电感的感抗XL和无功功率QL2。f=50kHz时解：1。f=50Hz时XL=2πfL=3.14(Ω)I=U/XL=22.5(A)QL=I2XL=1589.6(Var)XL=2πfL=3.14(kΩ)I=U/XL=22.5(mA)QL=I2XL=1.59(Var)三、电容元件

1.u–i关系ωtiuCuii=Cdu/dt,∴对于电容，有如下结论：设u=UmSin(ωt)则i=Cdu/dt=ImSin(ωt+π/2)（2）Im=ωCUm=Um/XC,XC=1/ωC=Um/Im=U/I——容抗(Ω)=ωCUmCosωt（1）u、i同频,并且i超前于u90o2.频率特性IU相量表示I=

ωCUωXC=1/(ωC)XC=1/ωCω→0,XC→∞ω→∞,XC→0Open(D.C.)Short(H.F.)或U=–

(j/ωC)I选择性jω1/XC=jωC3.功率关系ωtpuO瞬时功率p=uip=

UmSinωtImCosωt

=

UISin2ωt

平均功率P=1/T∫pdt=?P>0，吸收能量;p<0,放出能量P=0——不耗能定义

QC=pm=UI——无功功率(乏,Var)=XCI2=U2/XC例题已知U=220(V)，C=20μF，f=50Hz和f=50kHz求：电容中的电流I及电容的容抗XC和无功功率QC2。f=50kHz时解：1。f=50Hz时XC=1/(2πfC)=159(Ω)I=U/XC=1.38(A)QC=I2XC=304(Var)XC=1/(2πfC)=0.159(Ω)I=U/XC=1380(A)QC=I2XC=304(kVar)四、R、L、C的u–i关系小结

1.相量表示电容元件电阻元件电感元件I=jωCUU=jωLIU=RI仅当Sin时！！！根本关系：R，u=RiL，u=Ldi/dtC，i=Cdu/dt2.频率特性RXC

XLωX3.波形图电阻元件ωtuiuiR大小要变化但相位相同(2)电感元件ωtui而且相位滞后不但大小变化Lui(3)电容元件不但大小变化Cuiωtui而且相位超前§6–4RLC串联电路——复阻抗

一、u–i关系uiRLCuRuCuL2.已知

R,XL,XC

则R总=？问题：1.已知UR,UL,UC

则U=？相量形式jωLR1/jωCURUCIULUU=复数z=√R2+X2=[R+j(ωL–1/ωC)]I=ZIZ=R+j(ωL–1/ωC)=R+j(XL–XC)=R+jX=zφZ——复阻抗，实部——R，虚部——X——模，φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角RI+jωLI+1/jωCI阻抗角φZ

=tg－1(XL–XC)/R——阻抗角I=U/Zz

φZ代表了u、i之间的大小和相位差，当XL>XC时，当XL<XC时，当XL=XC时，——决定电路性质φZ>0

，u超前于i——感性φZ<0

，i超前于u——容性φZ=0

，u、i同相——纯阻性=(U/z)

φU–φZ

=U

φU÷z

φZ二、相量图——两个三角形ZXRφZφZULUCURUIUXU=UR+UL+UCNotice:1.在交流电路中，符号应理解为复阻抗，而不单纯是电阻

2.z≠R+XL+XC而是三角形的关系三、例题uiR=30ΩL=127mHC=40μFuRuCuLU=220√2Sinωt(V)，f=50Hz求：1。XL、XC

、Z2。I、i(t)3。各元件上的电压

4。画出完整的相量图1.XL=2πfL=40Ω,XC=1/2πfC=80ΩZ=R+j(XL–XC)=30–j40=50–53o

Ωi(t)=4.4√2Sin(ωt+53o)A解：3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oV2.I=U/Z=2200o÷50–53o

=4.453oA注意到UC>U，why?相量图URUULUCI53o3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oVUCUURIUL53o3.UR=RI=13253oVUL=jXLI=176143oVUC=–jXCI=352–37oV§6–5RLC并联电路——复导纳一、u–I关系GCLUIIGICILIG=GUI=IG+IL+IC复数Y=G+j(ωC–1/ωL)=G+jB实部——G，虚部——BY=G+jB=yφY

Y=√G2+B2——模，φY=tg－1B/G——导纳角——i,u之间的相位差角IL=1/(jωL)UIC=jωCU=[G+j(ωC–1/ωL)]U=YU——称为复导纳导纳角φY

=tg－1(BC–XL)/G——导纳角当BC>BL时，当BC<BL时，当BC=BL时，φY>0

，i超前于u——容性φY<0

，u超前于i——感性φY=0

，u、i同相——纯电导注意：感性/容性与串联/并联无关！二、相量图——两个三角形UIIGICILIBI=IG+IL+ICφYyBGφYGCLUIIGICILIB例题R=30ΩXL=40ΩU=120VLRUIIRIL求各电流及YY=1/R–j/XL=1/30–j1/40(S)IR=U/R=4AIL=U/jXL=

–j3AI=IR+IL=4–j3A=5–37oA设U=1200oVUIRILI§6–6复阻抗与复导纳的等效互换已知Z=R+jX则Y=1/Z=1/(R+jX)=R/(R2+X2)

–

jX/(R2+X2)其中G=R/(R2+X2),一般G≠1/R，一、Z→YXRZGBY=G+jBB=–X/(R2+X2)B≠1/X，且都与频率有关二、Y→Z若已知

Y=G+jB则Z=1/Y=1/(G+jB)=G/(G2+B2)

–

jB/(G2+B2)其中R=G/(G2+B2),一般R≠1/G，XRZGBY=R+jXX=–B/(G2+B2)X≠1/B，且都与频率有关同理§6–7复阻抗、复导纳的串并联

一、复阻抗的串联Z1ZnZ2Zz=√(∑R)2+(∑X)2≠√∑z2=∑R+j∑X(XL>0,XC<0)=zφZ=Z1+Z2+……+

Zntgφ=∑X/∑R注意：一般z≠z1+z2+……+

zn显然何时相等？二、导纳的并联Y1YnY2Yy=√(∑G)2+(∑B)2≠√∑y2=∑G+j∑B(BC>0,BL<0)=yφY=Y1+Y2+……+Yntgφ=∑B/∑G注意：一般y≠y1+y2+……+

yn同理何时相等？三、例1I2LRCISUULURI1R=10Ω,L=5mH,C=1.92μF,ω=10000rad/s,

求：及各元件上的电压IS=10oAI1I2即Z1=R+jXL=10+j50ΩUL=jXLI1=255+11oVUR=RI1=51–

79oVU=UR+UL=2600oVorU=IS

(Z1//Z2)=2600oVI2=IS

–I1=j5A=590oA则I1=(Z2IS)/(Z1+Z2)=1–j5=5.1–79oAZ2=–jXC=–j52ΩZ1

Z2

简化标识，令相量图ULUURI1I2ISI2LRCISUULURI1UL=255+11oVUR=51–

79oVU=2600oVI1=5.1–79oAI2=590oA例2混联电路R1=10Ω,R2=1kΩ,L=500mH,C=10μFω=314rad/s,U=100V，求：I1

、

I2并作图有Z1=R2//(–jXC)=303–72.3oΩI1=U1/R2=0.18

0oA令U1=1810oVI2=jωCU1=0.58

90oAI=I1+I2=0.6172.7o

AUR1=R1I

=6.1

72.7oVUL=jωLI

=95

162.7oVU1=UZ1/ZS，

Z1I2R2LR1CI1UIULUR1U1ZS=R1+jXL+Z1=167–52.3oΩ∴U1=Z1/ZSU=181V相量图UUR1II1I2UL0.18

0oAU1=1810oV0.58

90oA0.6172.7oA6.172.7oV95162.7oV100V感性or容性？I2R2LR1CZ1I1UIULUR1U1§6–８正弦交流电路的功率

一、有功功率ui无源纯R,φ=0，纯L,φ=90o，纯C,φ=–90o，设

u=

UmSin(ωt),瞬时功率为：p=ui平均功率为：P=1/T∫pdtP不但与U、I有关，Cosφ——功率因数i=

ImSin(ωt–φ)=UI[Cosφ–Cos(2ωt–φ)]=UICosφ——有功功率(W)而且与Cosφ有关P=UIP=0P=0二、投影关系P=UICosφφIUIXφIUUX=U(ICosφ)=I(UCosφ)三、无功功率IXφIUIY对于感性元件，IX——有功分量定义Q=UIY=

UISinφ——无功功率(乏，Var)IY——无功分量φ>0，Q>0——“吸收”无功功率对于容性元件，φ<0，Q<0——“发出”无功功率有功分量、无功分量的意义φRzX由阻抗△∴P=UICosφQ=UISinφCosφ=R/z,

Sinφ=X/z=IU(R/z)=I(U/z)R=RI2=IU(X/z)=I(U/z)X=XI2四、视在功率、功率三角形定义S=UIφRzXφPSQφURUUX对于多个负载的情形：P=P1+P2+……+Pn=∑PiQ=Q1+Q2+……+Qn=∑Qi(QL>0,QC<0)∴P=UICosφ=SCosφ,Q=UISinφ=SSinφS=√P2+Q2——视在功率——表观功率(VA)但是S≠∑SiS=√P2+Q2例题计算P、Q、S已知：条件如图，求各支路及电路总的有功功率、无功功率和视在功率。方法一：计算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2方法二：将Z1、Z2分解为R、X方法三：复功率I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI2方法一——计算出I1、I2及Cosφ1、Cosφ2I1=U/Z1=5

30o

A第一条支路的功率因数角——阻抗角φ1=30o

第二条支路的功率因数角——阻抗角φ2=–

60o∴S1=UI1=20*5=100(VA)P1=S1Cosφ1=100*Cos30o=86.6(w)Q1=S1Sinφ1=100*Sin30o=50(Var)∴S2=UI2=20*4=80(VA)P2=S2Cosφ2=80*Cos(–60o)=40(w)Q2=S2Sinφ2=80*Sin(–60o)

=–69.3(Var)I=I1+I2=6.4

68.67o

AI2=U/Z2=4

120o

AI1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI25A4A6.4A方法一(续)U、I之间的相位差φ=60o–68.67o=–8.67o

∴S=UI

=20*6.4=128(VA)P=S*Cosφ=128*Cos(–8.67o

)=126.5(w)Q=S*Sinφ=128*Sin(–8.67o

)

=–19.3(Var)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4

68.67o

A5A4A方法二——将Z1、Z2分解为R、XZ1=４30o

=3.46+j2(Ω)=R1+jX1Z2=5–60o

=2.5–j4.33(Ω)=R2+jX2第一条支路的X1>0——感性P1=R1I12=3.464*52=86.6(w)Q1=X1I12=2*52=50(Var)S1=√P12+Q12=100(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A方法二(续)第二条支路的X2<0——容性P2=R2I22=2.5*42=40(w)Q2=–X2I22=–4.33*42=–69.3(Var)S2=√P22+Q22=80(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A方法二(续)电路总的P、Q、S为：显然：S≠S1+S2=100+80=180(VA)方法三：复功率P=P1+P2=86.6+40=126.6(W)Q=Q1+Q2=50–69.3=–19.3(Var)S=√P2+Q2=128(VA)I1Z1Z2UI5/–60oΩ4/30oΩ20/60oVI26.4A4A5A五、复功率φPSQ能否利用U、I的相量直接得到P、Q、S？由功率三角形，=UIφ对于任意电路，=UICosφ+jUISinφ=P+jQ令S=UI=UIφu+φi–构造S=UIφ=SCosφ+jSSinφ

=P+jQ设U=UφuI

=Iφi

P=SCosφ,Q=SSinφ*有：P=∑Pi

Q=∑Qi=∑Pi

+j∑Qi=∑(Pi+jQi)因此，S=P+jQ=∑Si方法三：复功率第一条支路的复功率为：第二条支路的复功率为：电路总的复功率为：或S

=S1+S2=2060o*5–30o=10030o=86.6+j50(VA)即P1=86.6(W),Q1=50(Var),S1=100(VA)=2060o*4–120o=80–60o=40–j69.3(VA)即P2=40(W),Q2=–69.3(Var),S2=80(VA)=2060o*6.4–68.67o=128–8.67o=126.6–j19.3(VA)即P

=126.6(W),Q=–19.3(Var),S

=128(VA)=(86.6+j50)+(40–j69.3)=126.6–j19.3=128–8.67o(VA)*S1=U*I1*S

=U*I*S2=U*I2§6–9功率因数的提高（意义、原因、措施）一、提高功率因数的意义1、开发电源潜力2、降低线路损耗发电机100V10A(容量)负载100V10ACosφ=0.5P=UICosφI=P/(Ucosφ)二、功率因数低下的原因ICCRLI1UIC=P(tgφ1–tgφ)/(ωU2)ICIIXI1Uφ1φ保持有功功率不变，减小线路电流三、提高功率因数的措施§6–10最大功率传输NSRIUUOCRIUr当R=r时，有PMAX=UOC2/(4r)ZNSIUZZiUOCIU设Zi=Ri

+jXi

；条件：

Z=

Ri

–jXi=

Zi*

Z=R+jX，负载Z的有功功率为：P=RI2当X+Xi=0时，令dP/dR=0，有Pmax=UOC2/(4Ri)(R+Ri)2+(X+Xi)2=RUOC2§6–11正弦交流电路的计算0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2=1000o(V)US1=10090o(V)US2例１，回路法求各支路电流

I1

、I2

、I3[方法一]回路法Z11=R–jXCZ11Z12Z21Z22IaIb=–US2US15–j2–5–55+j5Ω=IaIb100–j1000R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2=5–j2ΩZ22=R+jXL=5+j5ΩZ12=Z21代入后，得：=–R=–5Ω回路法(续1)Z11Z12Z21Z22US1Z12–US2Z22Ia=Z11US1Z21–

US2Ib

=Z11Z12Z21Z22=27.7–56.3o(A)

=32.4–115.4o(A)

回路法(续2)各支路电流：0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2I3=Ib=32.4–115.4o

(A)I2=Ia–Ib=29.87

11.8o

(A)I1=Ia=27.7–56.3o

(A)

回路法(续)电源发出的复功率为：电源发出的总的复功率为：电路吸收的复功率为：SUS1=US1*I1=100*27.756.3o=277356.3o=1537+j2308(VA)*=2923+j1385(VA)SUS2=–US1*I3=–10090o*32.4115.4o=323525.4o*S=SUS1+SUS2=4460+j3693=P+jQP=RI22=4461(W)QC=XCI12=+1537.9(Var)S=P+jQ=4461+j3694.7(VA)——平衡QL=XLI32=5232.6(Var)Q=QL–

QC=3694.7(Var)[方法二]节点法(jωC+1/R+1/jωL)U1=jωCUS1+US2/jωL——弥尔曼定理I2=U1/R=29.86

11.89o

(A)I1=(US1–U1)jωC=15.4–j23.1=27.73

–56.3o

(A)U1=(20+j50)/(0.2+j0.3)=146.15+j30.77=149.36

11.89o

(V)I3=(U1

–US2)/(jωL)=–13.85–j29.23=32.34

–115.35o

(A)0R5ΩC–j2ΩLj5ΩI11I3I2IbIaUS1US2例2求戴维南等效电路1。求开路电压UOZ1ZUSIUOI1βI1ab(β≠–1)∵I=0,∴I1=0即I1+βI1=(1+β)I1=0又∵β≠–1∴UO=US2。求等效内阻ZiI=I1+βI1

=(1+β)I1U=ZI+Z1I1∴Zi=U/I=Z+Z1/(1+β)=ZI+Z1I/(1+β)=[Z+Z1/(1+β)]*I∴I1

=I/(1+β)Z1ZIUI1βI1ab3。等效电路baUSZi=Z+(1+β)Z1例3已知XL，且k闭合或断开时电流表的读数不变。求XC=？ARCLUIIRICILkUIRILI开关断开时相量图ICIUIRILIARCLUIIRICILk开关闭合时I=IR+IL+IC∴XC=XL/2例4利用相量图解题已知I1=I2=10A，U=100V，且u、i同相。求：I、R、XL

、XCI1I2UIRLCULURUURULII1I245o相量图I1I2UIRLCULUR10A10A100V100V10√2A100√2

VR=100√2

V/10A=10√2Ω

XL=100V/10√2A=5√2Ω

XC=R=10√2Ω

例5利用戴维南定理求输出电压UUj3Ω–j3Ωj2Ω–j2Ω6Ω6Ω6ΩIS√245oALoad1。求开路电压UOZUOj3Ω–j3Ωj2Ω6Ω6ΩIS√245oAI2令Z=(6*j2)/(6+j2)=–j0.5ISI2=–j3/(–j3+j3+6)IS利用分流公式=j6/(3+j1)Ω=1.8–j0.6=1.918.4oVUO=ISZ+6*I2=(0.6–j1.2)IS

2。求等效阻抗ZiZiZi

=Z6Ω6Ω