数学北师大版必修2课时作业1-7-2-2棱台与圆台的体积

课时作业12棱台与圆台的体积时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为(A)A．eq\f(7\r(3),3)π B．eq\f(2\r(3),3)πC．2eq\r(3)π D．eq\f(7\r(3),6)π解析：设圆台的上、下底面半径分别为r′、r，则πr′2＝π，πr2＝4π，∴r′＝1，r＝2，设母线长为l，π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，∴高h＝eq\r(22－2－12)＝eq\r(3).∴V台＝eq\f(π,3)(1＋22＋1×2)eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.2．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(B)A．4 B．eq\f(14,3)C．eq\f(16,3) D．6解析：本题考查三视图与几何体的体积计算，由三视图的关系可知，底面面积S1＝1，S2＝4，高h＝2，∴V＝eq\f(1,3)(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).3．已知正四棱台ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，A′B′＝6，体积V＝126，则该正四棱台的高为(C)A．18 B．9C．6 D．12解析：设正四棱台的高为h，则有eq\f(1,3)(32＋62＋eq\r(32×62))h＝126，解得h＝6，即该正四棱台的高为6，故选C．4．若几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为(A)A．144 B．112C．114 D．122解析：由三视图知几何体的上部是底面为正方形的正四棱柱，下部是正四棱台．上部的体积为4×4×2＝32，下部的体积为eq\f(1,3)×(16＋eq\r(16×64)＋64)×3＝112，则几何体的体积为144，故选A．5．正四棱柱底面积为P，过相对侧棱截面面积为Q，则它的体积是(D)A．eq\r(2P)Q B．eq\f(\r(P),2)QC．eq\f(1,2)eq\r(2PQ) D．eq\f(\r(2P),2)Q解析：设正四棱柱的底面边长、高分别为a、h，则P＝a2，Q＝eq\r(2)a·h.∴V＝a2·h＝a·ah＝eq\r(P)·eq\f(Q,\r(2))＝eq\f(\r(2P),2)Q.故选D．6.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)A．eq\f(9,2)π B．eq\f(7,2)πC．eq\f(5,2)π D．eq\f(3,2)π解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则解Rt△ABD知，DB＝1，AD＝eq\r(3).∴所求几何体的体积为eq\f(1,3)π·AD2·CD－eq\f(1,3)π·AD2·BD＝eq\f(1,3)π·AD2·BC＝eq\f(1,3)·π·(eq\r(3))2·eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)π.故选D．7．一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面去截底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥体积的(A)A．eq\f(63,64) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,64)解析：轴截面如图，由题意eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1D,OB)＝eq\f(1,4)，V圆锥PO1＝eq\f(π,3)·PO1，V圆锥PO＝eq\f(16,3)π·PO，∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·eq\f(1,4)·PO＝eq\f(63,12)π·PO，∴eq\f(V圆台OO1,V圆锥PO)＝eq\f(\f(63,12)π·PO,\f(16,3)π·PO)＝eq\f(63,64).(或截得小圆锥底面半径为1，原来底面半径为4，∴相似比为14，故小圆锥与原来大圆锥体积比为164，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为6364.)故选A．8．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2(V1>V2)的两部分，则V1V2等于(C)A．65 B．43C．75 D．21解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E、F分别为AB、AC的中点，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1V2＝75.二、填空题9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为3.解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面面积是eq\f(1＋2,2)×2＝3，高为1，故其体积为3.10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为30m3.解析：本题考查三视图及柱体体积公式．由三视图知该几何体由一个棱长为3,4,2的长方体和一个底面是直角梯形且高为4的直棱柱组成，则体积V＝3×4×2＋eq\f(2＋1,2)×1×4＝30，解决三视图问题应弄清图中各量与原几何体的量的关系．11．若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为eq\r(3)a，则这个圆台的体积为eq\f(7\r(3),24)πa3.解析：圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，可知∠ADB＝90°.分别过D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝eq\f(\r(3),2)a，AH＝eq\f(a,2)，所以HB＝eq\r(BD2－DH2)＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积为V＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7\r(3),24)πa3.三、解答题12．棱台的体积为76cm3，高6cm，一个底面的面积为18cm2，求另一个底面的面积．解：设另一个底面面积为xcm2，则由V＝eq\f(1,3)h(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))，得76＝eq\f(1,3)×6×(18＋x＋eq\r(18x))，解得x＝8，∴另一个底面面积是8cm2.13.设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A1A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中A1B⊥A1A，求圆台的体积V.解：如图，设AB的中点为O，连接A1O，作A1D⊥AB，易知A1D＝3，因A1B⊥A1A，则在Rt△A1AB中，A1O＝eq\f(1,2)AB＝AO.又因为∠A1AB＝60°，所以△A1AO为等边三角形．所以在△A1AO中，A1D＝eq\f(\r(3),2)AO＝3，得AO＝2eq\r(3).设圆台的上、下底面半径分别为r，R.所以R＝AO＝2eq\r(3)，r＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)AO＝DO＝eq\r(3).则V＝eq\f(1,3)π×3×(12＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.——能力提升类——14．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为eq\r(2)的等腰梯形，则该几何体的体积是eq\f(7π,3).解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，故体积V＝eq\f(1,3)π·(22＋2×1＋12)×1＝eq\f(7π,3).15．四边形ABCD，A(0,0)，B(1,0)，C(