2023-2024届新高考一轮复习湘教版 7-4 直线、平面垂直的判定与性质 学案

第四节直线、平面垂直的判定与性质

【课标标准】1.从定义和基本事实出发，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面

与平面的垂直关系，并加以证明∙2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.直线与平面垂直

(D定义：一般地，如果直线/与平面ɑ内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平

面α互相垂直，记作LLa.直线/叫做平面α的，平面α叫做直线/的.直

线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个平I

面内的两条________直=Z卜Ua

判定定理

线垂直，那么该直线与/3刁

此平面垂直____________

ab

垂直于同一个平面的两

性质定理二}=a〃b

条直线________匚7

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

___________文字语言___________图形语言符号语言

判定如果一个平面过另一个平面的8

△二}naVβ

定理______,那么这两个平面垂直7J

两个平面垂直，如果一个平面内/

性质有一条直线垂直于这两个平面

二∙=>∕±a

定理的______,那么这条直线与另一/7

个平面垂直4/

［常用结论］

1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

3.垂直于同一条直线的两个平面平行.

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

5.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴已知直线4,b,c,若a_L&,⅛Xc,则。〃c.()

(2)直线/与平面ɑ内的无数条直线都垂直，则/Lα.()

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)垂直于同一个平面的两个平面平行.()

2.(教材改编)已知互相垂直的平面α,£交于直线/,若直线机,”满足“〃α,nLβ,

贝∣J()

A.m//1B.m//n

C.〃_!_/D.∕n±n

3.(教材改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0.

(1)若PA=PB=PC,则点。是AABC的心.

(2)若∕¾J_P8,PBLPC,PCLPA,则点。是AABC的心.

4.(易错)"直线与平面ɑ内无数条直线垂直”是“直线与平面a垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(易错)已知ABC。是边长为“的正方形，点P在平面ABC。外，侧棱M=q,PB=

PD=y［2a,则该几何体P-ABC。的5个面中，互相垂直的面有对.

关键能力•题型突破

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例I如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD,AC,。。，ZABC=60o,

PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明：CQLAE；

(2)证明：Pf)I.平面ABE

［听课记录］

题后师说

证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质.因

此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

巩固训练1

如图，在四面体朋BD中，4。，平面%8,PB±PA.

(1)求证：PBJ_平面APr＞；

(2)若AGUD,G为垂足，求证：AGLBD.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2［2023∙河南安阳期末］如图，在正四棱锥P-ABC。中，侧棱长为百，底面边长为2,

点E,F分别为CD,CB中点.求证：

(X)PALEF-.

(2)平面用。_1平面PBC.

［听课记录］

题后师说

(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是先从现有的直线中寻找平面的

垂线.若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直

线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论根据并有利于证明.

(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直f线面垂直一面面垂直来实现的.

巩固训练2

如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABCQ为菱形，其中∕¾=PO=AQ=2,ZBAD=

60°,。为4。的中点.

(1)求证：人。_1平面也23；

(2)若平面以。，平面ABCO,且PM=TPC,求四棱锥M-ABCD的体积.

题型三平行、垂直关系的综合问题

例3[2023∙河北石家庄模拟]如图，在直三棱柱ABC-A曲G中，M为棱AC的中点，AB

=BC,AC=2,A4∣=√2.

⑴求证:BlC〃平面A山M；

(2)求证：AG_L平面A18M；

(3)在棱BS上是否存在点M使得平面ACiN，平面AAlGC?如果存在，求此时署的

值；如果不存在，请说明理由.

［听课记录］

题后师说

L对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

2.对于垂直与平行结合的问题，应注意平行、垂直的性质及判定定理的综合应用.

3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关

系的相关定理、性质进行推理论证.

巩固训练3

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面48C。为正方形，P。_L平面A8C。，PD=AD,M

为线段PC上的动点，N为线段BC的中点.

(1)若M为线段PC的中点，证明：平面PBCJ_平面MN£＞；

(2)若Bl〃平面MND,试确定点M的位置，并说明理由.

第四节直线、平面垂直的判定与性质

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.(1)垂线垂面(2)相交/ɪɑIJLbαuαbuaaC∖b=O平行ɑɪɑLa

2.(1)直二面角(2)垂线IUBl±a交线aLβbuβa∏6=a⅛±a

夯实双基

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×

2.解析：对于A,"与/可能平行或异面，故A错；对于B、D,m与"可能平行、

相交或异面，故B、D错，对于C,因为〃_1_夕，IuB,所以"JJ,故C正确，故选C.

答案：C

3.解析：(1)如图1,连接OA,OB,0C,0P,在Rt△尸。A,RtZXPOB和Rt△尸OC中，

PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即。为AABC的外心.

图1图2

(2)如图2,延长AO,BO,C。分别交BC,AC,AB于H,D,G.

'：PCLPA,PBLPC,PAHPB=P,

.,.PC_L平面PAB,

又ABu平面PAB,

：.PClAB,

'JABVPO,POCPC=P,平面PGC,

又CGU平面PGC,

：.AB1.CG,即CG为AABC边4B上的高.

同理可证BO,AH分别为AABC边AC,BC上的高，

即。为AABC的垂心.

答案：⑴外⑵垂

4.解析：根据直线垂直平面的定义，由''直线与平面a垂直"可推出''直线与平面a

内无数条直线都垂直”，反之不能由“直线与平面。内无数条直线都垂直”推出“直线与平

面a垂直故选B.

答案：B

5.解析：

已知ABCn是边长为α的正方形，侧棱BA=",PB=PD=近a,

所以抬_LA。，PALAB,又AOruB=A,

所以南_1_平面ABCD,

因为B4u平面∕¾B,∕¾u平面%£),

所以平面物BJ_平面ABCr>,平面平面4BCD,

因为A8J_A。，AB1.PA,4OnA4=A,所以ABJ_平面外。，

因为ABU平面B4B,所以平面BAB，平面∕¾f),

同理可得BC_L平面以B,BCc5FffiPBC,所以平面《4B_L平面PBC,

因为A2〃。，所以CZ)_L平面B4。，

C。U平面PC£),所以平面以D_L平面PC。，

故互相垂直的面有5对.

答案：5

关键能力•题型突破

例1证明：(1)在四棱锥P-ABC。中，B4J_底面ABCz),CZ)U平面ABCf>,

ΛCD±∕¾.

XCDLAC,PA^AC=A,,CDL平面∕¾C,

「AEu平面PAC,故CDlAE.

⑵由PA=AB=BC,

ZABC=60°,可得以=AC,

「E是PC的中点，J.AELPC,

由(1)知，AEYCD,S.PCCiCD=C,

所以AE_L平面PCD.

而POU平面PCD,.∖AE±PD.

;附J_底面ABC£),PD在底面ABC。内的射影是A。，ABΣAD,.".ABLPD.

又：ABCINE=A,,PO,平面ABE.

巩固训练1证明：⑴由AQ_L平面∕¾B,PBU平面∕¾B,贝(1AO_LPB,

又PBJ_%，FAHAD=A,则PB_L平面AP。，

⑵由⑴及PBU平面PBD,则平面PB£>_L平面APD,

又平面PBorI平面APo=PD,AGLPD,AGU平面APD,

所以AG_L平面PBD,而BDU平面PBD.

所以AG_LBD

例2证明：

(1)连接AC,2。交于点0,连接P。，在正四棱锥P-ABC。中，PO，平面A8C。，因

为8。U平面ABCD,所以POLBD,

XAC±BD,PO^AC=O,PO,ACU平面玄。，所以Boj_平面∕¾0,因为点E,F分

别为CO,BC中点.

所以EF〃BD,所以EFJ_平面以。，又RAu平面∕¾0,所以％_LEF.

(2)连接PF,取AO的中点G,连接PG,FG,在正四棱锥P-ABCZ)中，尸是BC中点,

所以尸匚L8C,又BC"AD,所以尸F_LAO,

因为在三苦锥P-ABC。中，侧棱长为√W,底面边长为2,所以在APBC和△物£>中，

PF=PG=WK=又FG=2,

所以PF2+PG2=FG2,所以PFLPG,又PGHAD=G,PG,4。U平面PAD,所以PFL

平面PAD,又PFU平面PBC,

所以平面以。_1_平面PBC.

巩固训练2解析：

(1)证明：连接8£>,∖"PA^PD=AD^2,。为4力的中点,

：.PQlAD,

又∙.∙NBAO=6()o,底面ABC。为菱形，

.•.△ABO是等边三角形，

为AZ)的中点，

：.ADVBQ,

VPQ,8。是平面PQB内的相交直线，

，AO_L平面PQB.

(2)连接0C,作LQC于”，

：平面MO_L平面ABCD平面BAOPl平面ABCo=AO,PQ±AD,PQU平面出。,

，PQ_L平面ABCD,

又QeU平面ABCZ),可得PQ1.QC,

平面尸QC中，历4_1。(？且「。_1。。，

，PQ//MH可得A/H_L平面ABCD,

即Ma就是四棱锥M-ABCz)的高，

VPM=-PC,可得MH=JPQ=LX且X2=在，

22*222

.∙.四棱锥M-AgcD的体积为V.ABCD^-×-AC×BD×MH^-×2×2^3×-^1.

M3262

例3解析：

(1)证明：连接A8与48,两线交于点0,连接OM,

在ABiAC中M,O分别为4C,ABl的中点，

所以OM〃BlC,又OMU平面AiBM,Bca平面A1BM,

所以BC〃平面4BM.

(2)证明：因为AAlJ_底面A8C,BMU平面ABC,所以AAlI.8”.

又M为棱4C的中点，AB=BC,所以_LAC

因为Λ4∣ΠAC=4,AAi,ACU平面ACGA∣,

所以BM_L平面AeCi4,AGU平面ACCI4,所以BM_LAG.

因为AC=2,所以AM=I.又AAl=鱼，

在RtAACG和Rt∆ΛιAΛ/中，tanNAClC=tanZA∣Λ∕Λ=√2,

所以ZAGC=ZA∣Λ∕A,即ZAC∣C+ZC∣AC=ZA∣Λ∕Λ+ZC∣AC=90o,

所以A∣M_LAC∣,又BMClAlM=M,BM,AlMU平面AlBM,

所以ACll■平面AiBM.

(3)当点N为BBl的中点，即瞿■=：时，平面AGNL平面A4∣GC.

BBl2

证明如下：设AG的中点为。，连接。M,DN,

因为O,M分别为AcAC的中点，

所以OM〃CCI且。M