2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.复数z=l+i,贝氏=()

A.—1+iB.—1—iC.1+iD.1—i

【答案】D

【分析】根据共扼复数的概念求解.

【详解】因为复数z=l+i,所以I=IT,

故选:D.

2.向量a=(2,τ),Z?=(-1,2),则(2α+θ)∙α=()

A.6B.5

C.1D.—6

【答案】A

【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.

【详解】.2«+6=(3,0),.∙.(2α+⅛)∙α=3×2+0×(-l)=6.

故选：A.

3.在.∙Λ3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=用,A=45o,8=60。，则”=()

A.1B.2&C.2D.母

【答案】D

【分析】利用正弦定理可得答案.

【详解】由正弦定理得—一=3，

smAsinB

==—2-=√Σ.

sinB√r3

~2

故选：D.

4.如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A'8'0',若B1A=FO=I,

那么原三角形AB。的周长是()

y'

C.2√2+2D.√2+2

【答案】B

【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.

12r222

【详解】由题意可得：AO'=y∕(B'O')+(β'A)=√1+1=y/2,

由直观图可得原图，如图所示，可知：ZAOB=90o,BO=B'O'=l,AO=2A'O'=2√2,

可得A3=yjBO2+AO2=+(2何=3,

所以原三角形ABO的周长8O+AO+A8=l+2√Σ+3=4+2√∑.

5.正方体ABC。-A8∣GR中，与对角线AC成异面直线的棱有()

A.3条B.4条C.6条D.8条

【答案】C

【分析】由异面直线的定义即可得出答案.

【详解】解：由图可知与直线AC为异面直线的棱分别是8月、DD^A。、&A、B1C1、CQ共6

条.

故选：C

2

6.在复平面内，复数Z与三对应的点关于虚轴对称，则Z等于（）

1-1

A.1+iB.-l-iC.1-iD.-l+i

【答案】D

2

【分析】计算得三=ι+i,关于虚轴对称即关于y轴对称，得出结果即可.

1-1

2

【详解】由题意得三=1+i,

1-1

2

:•复数Z与三对应的点关于虚轴对称对称,

1—1

故选：D.

7.在,ΛBC中，点。在线段BC上，且%）=2QC,则AO=（）

Iur2ιu≡1iuɪ12

A.AD=-AB+-ACB.AD^-AB+-AC

3333

C.AD=AB+2ACD.AD=2AB+AC

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算公式化简可得.

【详解】由已知A。=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）

12

所以AP=-A8+—AC,

33

故选：B.

BD

8.在一ABC中，内角A,8,C所对的边分别是0,6,c,若-卑=生史，则j的取值范围为

COSCCC

A.(1,2)B.(1,2]

C∙(普D∙g苧

【答案】C

【详解】由正弦定理及-吗=犯吆得-2竺=空空？生，化简可得COSC=-1，即C=寻，

cosCccosCSinC23

sinA+sin|--Λ∣sin(A+工]

a+bsinA+sinB(3J(3J,..πππ2π,

所cr以ιu——=—=-------/=------=-Q，由r0<A<q,得W<Aλ+w<-Γ,所rr以sl

cStnC√3√33333

T~2

■Ji(πAa+b(2>∕3

一<si"∣A+-∣≤1,所以----∈1,——.

2I3；cI3

故选C.

二、多选题

9.已知。涉,c是三条不同的直线，α,⑸/是三个不同的平面，下列命题正确的有（）

A.若aJ_b,a_Lc,则Z?〃c

B.^allb,allc,则R/c

C.若aJ_夕,αJ∙y,则力〃y

D.%a"B,a"γ,则尸〃7

【答案】BD

【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若”,仇“，c,则6,c可能异面，A选项错误.

B选项，若“∕∕3,R∕c,则∕√∕c,B选项正确.

C选项，若α,民。_Ly,则α,夕可能相交，C选项正确.

D选项，若α〃夕,α〃/,则///y,D选项正确.

故选：BD

10.已知在同一平面内的向量a,。,C均为非零向量，则下列说法中正确的有（）

A.若。〃b,b〃c,则a〃d

B.若a∙C=a∙b，则b=d

C.{a∙b^∙c=a∙（b∙c^

D.若ab^.a±c,则c∙(α+b)=O

【答案】AD

【分析】平面向量共线的传递性判断A,由向量数量积的定义可判断B,根据数量积及共线向量的

概念可判断C,根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.

【详解】对A,在同一平面内的向量α,b,c均为非零向量，若“∕∕b且b//c，则即A正确；

对B,若a∙G=a∙b，则IaHClCOSa,<:)=同例8§(4,〃)，又α≠0,所以WCOS=∣c∣cos(α,c),

因为Ac与α的夹角不一定相等，所以》=C不一定成立，即B错误；

对C,因为(α∙8)∙c与C共线，α∙(b∙c)与4共线，所以(α∙6)∙c="∙(b∙c)不一定成立，即C错误;

对D,^a∕∕bRalc,则ClZc∙(α+〃)=c∙a+c力=O,即D正确.

故选：AD.

11.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,下列各组条件中使得/BC有两个解的是

()

3

A.a=2∙∖∕3,⅛=4,Λ=-πB.a=2，⅛=4,cosA=一

65

C.a=2邪,b=4fC=FD.a=26,b=4,B=T

66

【答案】AB

【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.

TT

【详解】A选项，⅛sinA=4×sin-=2,bsinA<a<b,

6

所以/3C有两个解，A选项正确.

B选项，a<6,cosA>0,A为锐角，

Γ.2A4...416

sιnAλ=√l-cosΛ=—,psmA=4Zi×-=—,

bsinA<a<bf所以一ABC有两个解，B选项正确.

C选项,由余弦定理得c=+Z?2-2abcosC=4,

所以ABC有唯一解.

D选项，asinB=26xg=6,

asinB<a<bf所以_ABC有唯一解.

故选：AB

12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生

的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1

的截角四面体，则()

A.该截角四面体一共有12条棱

B.该截角四面体一共有8个面

C.该截角四面体的表面积为76

D.该截角四面体的体积为空区

12

【答案】BCD

【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别

求解四面体的表面积，体积即可判断选项.

【详解】对于AB,可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成,

故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，B正确;

对于C,边长为1的正三角形的面积S=klχlχ巫=且，边长为1的正六边形的面积

224

S=6×>×∖χ∖速=典,故该截角四面体的表面积为s=4χ3+4x38=7√L故C正确；

22242

对于D,棱长为1的正四面体的高/z=Jι∕2χ3]=旦,利用等体积法可得该截角四面体的体积

V[32)3

^v⅛3x3×fx3xT-4xΓΓlx,xfxT=HF,故DJ≡

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四

面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.

三、填空题

13.已知α=(2,A),b=(1,2),若&//另,贝必=

【答案】4

【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为a=（2,左），b=（l,2）且“//〃，

所以&xl=2x2,解得出=4.

故答案为：4

14.写出一个模为5,且在复平面内对应的点在第三象限的复数Z=.

【答案】-3-4i（答案不唯一）

【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限确定正确结论.

∣α<0

【详解】设z=α+6i（α,b∈R）,则满足心<0即可.

[a2+b2=25

所以-3-4,•符合题意.

故答案为：-3-4i（答案不唯一）

15.若圆锥的侧面展开图是一个半径为2圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为.

【答案】岭互兀

81

【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体

积.

【详解】设圆锥的底面半径为「，扇形的圆心角为手2ττ，由题意可得9看TTx2=2口，解得/•=（2,

因止匕，该圆锥的体积为V=』"％=，兀x（21χ逑=应Z71.

33UJ381

故答案为：氏3.

81

16.小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底B点的正西处的C点测得该钟

塔塔顶A点的仰角为30。，然后沿着东偏南67。的方向行进了180.8m后到达。点（8,C,D三点

处于同一水平面），且8点在。点北偏东37。方向上，则该钟塔的高度为m.（参考数据:

取sin53=0.8)

A

【答案】113

【分析】先利用正弦定理求出8C,再由锐角三角函数求出A3.

【详解】如图，

ZBCD=67°,ZCDB=90。-67°+37°=60°,贝IJZCBD=180o-60o-67°=53°.

BCCDCDsinZCDB180.8sin600

由正弦定理,得BC=

SmNCDBsinZ.CBDSinZCBDsin53°

180.8Sin60。180.8

所以A3=3C∙tan300=•tan30°==113m.

sin53°1.6

故答案为：113.

四、解答题

17.已知向量α,0的夹角为弓,口=1平卜2.

(1)求α/的值；

(2)若2力和打+E垂直,求实数f的值.

【答案】(I)T

(2)2

【分析】(1)根据数量积的定义运算求解；

(2)根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.

【详解】⑴由题意可得：«-U|«|-|l|cosy=lx2xf-ij=-l.

(2)若2α-匕和fα+b垂直，贝∣](2α-°)∙,α+b)=2加一+(2∙√)α∙6-J=0,

即2f-(2-f)-4=0,解得/=2.

18.已知复数z=(2〃?2-3,〃-2)+("P-3机+2)i,其中i为虚数单位，meR.

(1)若Z是纯虚数，求机的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求相的取值范围.

【答案】(1)〃?=-]；

⑵T-g,l)

【分析】(I)Z是纯虚数需要满足实部等于0,虚部不等于0,即可求出结果;

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0,虚部大于0.

【详解】(1)因为Z是纯虚数，

2W2-3m-2-0

所以<

nr-3w+2≠0

解得，”=，

(2)因为Z在复平面内对应的点在第二象限,

2nr-3∕H-2<0

所以《

m2—3/n÷2>0

解得-g<m<l,

所以力的取值范围为me

19.如图，直三棱柱ABC-ABe中，BC=A41=1.AB=无，cosNACB=£,P为线段Ba上的

动点.

小G

c

B

(1)当P为线段8G上的中点时，求三棱锥3-B4C的体积;

(2)当P在线段BG上移动时，求AP+CP的最小值.

【答案】α咯

⑵技

【分析】(1)由余弦定理求出AC=石，即可求出AC=G的面积，再由等体积法求解即可;

(2)根据平面展开图可确定AP+CP的最小值即AC长，由三角形余弦定理求解即可.

【详解】⑴由已知可得SinNACB=巫,

3

由余弦定理有-2=1+AC2-2ACcosZACB,得至IJAC=B

在aACB中，有.SΛACB=-ACBCsinZACB=~×有XlXjL=昱,

δacs2232

PAC=VP-ACB=∕%-48C=/XqXI，电力

ACB6212

(2)将4BG绕Ba旋转到与aCBG同一平面(如图所示),

连接AC交BC于点《，此时AP+CP取得最小值，最小值即AC长.

在；A8C∣中，BCt=√2,AB=近,ACl=2,

222

⅛BC1+AB=AC1,故A8J.8G，即NABG=90。,

又易知NCBG=45。，故NABC=I35。，

O

由余弦定理得AC2=I+2-2×√2×1×COS135=5,所以AC=有,

（或者在AAGC中由勾股定理得ΛC=√5）

故AP+CP的最小值为√L

20.在ΔABC中，AB=3,AC=I,ZΛ=60o.

(1)求SinZACB；

（2）若。为BC的中点，求AO的长度.

【答案】（1）逑I；（2）叵

142

【分析】（1）在ΔABC中，根据余弦定理得到8C=JAB?+4C"-24B.4C.cosC=√7，再根据正弦定理

.ɪɪ,即可得到SinNACB的值.

SinZACnsɪnA

（2）首先根据余弦定理求出“SC=-夸,在"S中,由余弦定理即可得到皿的值.

【详解】(1)在A48C中，AB=3,AC=I,ZA=60o.

由余弦定理可得：BC=√Aβ2+AC2-2AB.AC.cosΛ=^32+l2-2×3×l×i=√7

aB

.I由正弦定理：缶=煞,可得：SMCB3x—3√21；

Aβ∙sinA==------,

BC14

(2)。为BC的中点，・•・可得：CD=《BC=£,

22

-AC2+BC2-AB21+7-9√7

又πcosC=--------------------=---------j==-----,

2AC.BC2×l×√714

在ΔACO中，由余弦定理可得：AD=y∣AC2+CD2-2AC.CD.cosC=^1+^-2×l×∙^×

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

21.如图在平面四边形ABCO中，AC=近，AB=3,ΛDACZBAC,sinZBAC=—

14

（1）求边BC；

（2）若NCD4=彳，求四边形ABC。的面积.

【答案】（1）1;

⑵遇

4

【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长;

（2）分别利用三角形面积公式求得SSAAQ的面积，进而求得四边形ABCZ）的面积.

【详解】（1）因为SinZBAC=立L/5AC为锐角,

14

所以COSN84C=

因为AC=",AB=3,在二ABC中,

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACAB-COSZBAC,

S行

BPBC2=7+9-2×√7×3×ɪ=1,得BC=1.

14

CDAC

（2）在〃比中‘由正弦定理得嬴砺

SinZADC

CD=百

即面二方，所以CO=L

在Z∖ADC中，由余弦定理得cos/AQC='0^+C"一，

2ADCD

即」AD2+1-7

解得AD=2.

2IAD

因为SAABC=gx"x3x^|^=^^，5∆ACD=^×1×2×sin~=~,

所以qA.Q"+B=注

SABe,

"△ARCT*-∆ΛCD424

22∙在锐角中‘内角A'B，C所对的边分别为〃