专题04 解题技巧专训：待定系数法求二次函数的解析式-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

-2024学年九年级数学下册常考压轴题专题04解题技巧专训：待定系数法求二次函数的解析式姓名：_________班级：_________学号：_________【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】 1【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】 6【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】 13【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】 20【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】 29【考点六已知交点式求二次函数的解析式】 33【典型例题】【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】例题：（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）已知二次函数的图象经过点．

(1)求出这个函数的表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及随的变化情况；(3)当时，的取值范围是多少？【变式训练】1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．

(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．【变式训练】1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和(1)求该抛物线的解析式；(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数解析式；(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该抛物线顶点坐标．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．(1)求这个函数的解析式；(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．【变式训练】1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当的面积为4时，求点D的坐标；(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；(1)求该二次函数的表达式；(2)结合图像，回答下列问题：①当时，y的取值范围是_____；②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．【变式训练】1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．

(1)求这条抛物线的函数表达式．(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．(1)求其解析式；(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．【变式训练】1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点(1)求该函数的关系式；(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．(1)求二次函数的解析式；(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；②当时，直接写出函数的最大值．3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C和点D的坐标；(3)时，自变量x的取值范围为______．(4)方程的解的情况怎样？【考点六已知交点式求二次函数的解析式】例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；【变式训练】1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．(1)抛物线经过点三点．(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点在该二次函数上．①当时，求的值；②当时，的最小值为，求的取值范围．参考答案【典型例题】【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】例题：(1)(2)此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大(3)当时，的取值范围是．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）求得时的函数值，然后根据图象即可求得．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，∴，，∴这个函数的表达式为；（2）解：列表，x012y22描点，连线画出函数的图象如图：

由图象可知，此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；（3）解：把代入得，，此函数图象的开口向上、顶点坐标为，当时，有最小值，当时，的取值范围是．【点睛】此题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．【答案】(1)，顶点坐标为(2)3【分析】（1）将代入表达式，进行计算求出的值即可得到解析式，再根据求顶点坐标的公式进行求解即可；（2）由对称性可得到点的坐标，从而得到的长度，再由可得到的长度，最后根据对称性即可求出点的横坐标，代入表达式即可求出纵坐标，从而即可得到答案．【详解】（1）解：把代入表达式，得：，解得：，函数表达式为，当时，，顶点坐标为；（2）解：，对称轴为直线，由对称性可知，，，∴，点在点左侧，由对称性可得，点的横坐标为：，当时，，．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．【详解】（1）解：把点代入得：，解得，∴抛物线的解析式为：（2）抛物线向下平移n个单位后得：，把点代入得：解得：即n的值为1．【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．

(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接求出对称轴，再根据对称轴求出点A的坐标，利用待定系数法即可求出函数的表达式；（2）先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数图形的性质，针对，和三种情况进行分析即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，即；如下图所示，设对称轴交于点E，交x轴于点F，设抛物线顶点为D，

∵对称轴，，，∴∴∴将代入抛物线的解析式得：，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵，∴抛物线的顶点为，当时，，即为点，∵顶点为，∴当时，，最大值与最小值的差是不等于9，当时，最大值为，最小值为点，最大值于最小值相差为9，当时，最大值大于，此时，最大值于最小值相差不等于9，∴当，最大值与最小值的差是9，t的取值范围为：【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴的公式和二次函数的图像性质．【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．∴，解得：，∴抛物线为，∴顶点坐标为：；（2）当时，，∴解得：，，

如图，当时，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．【变式训练】1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】把2组对应值分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．【详解】解：根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和(1)求该抛物线的解析式；(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）运用配方法把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点和，，解得，∴该二次函数的解析式为．（2）解：，∴该抛物线的顶点坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数解析式；(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．【答案】(1)(2)不在【分析】（1）利用待定系数法，将和代入函数解析式中求解b、c即可；（2）将点A横坐标代入（1）中解析式中判断即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点，∴，解得，∴此二次函数解析式为；（2）解：当时，，∴点不在这个二次函数的图象上．【点睛】本题主要考查了待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知利用待定系数法求函数解析式．4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该抛物线顶点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用待定系数法即可求解二次函数的解析式；（2）将二次函数的一般式化成顶点式即可求解．【详解】（1）解：二次函数图象经过点和，∴，解得，，∴二次函数解析式为：．（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为：，∴将其化成顶点式为：，∴该抛物线顶点坐标为：．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，顶点式的特点，掌握以上知识是解题的关键．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将和代入求解即可得出答案；（2）分别令、，求出三点的坐标，从而得出、的值，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．【详解】（1）由题意得，设抛物线的解析式为把和分别代入得解得抛物线的解析式为（2）当时，解得，，当时，【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是会利用点的坐标求三角形的面积．6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）把已知点代入解析式即可求得结果；（2）求得解析式的对称轴，根据可得到点D到对称轴的距离d的范围是，进而可得到点D的横坐标取值为：，代入抛物线方程可求得纵坐标的取值．【详解】（1）解：把点和两点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，由题意可知，点D到对称轴的距离d的范围是，∵点D在对称轴左侧，抛物线开口向上，y随x的增大而减小，∴点D的横坐标取值为：，将代入抛物线方程可得．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．【答案】(1)(2)，或，．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）先求得，由平称可得：，，再根据对称性求出抛物线的解析式为，设，则，所以有，求出x，即可求解．【详解】（1）解：把点，，代入，得，解得：，∴．（2）解：对抛物线L：，当时，，∴，∴，由平移可得：，，∵抛物线与L关于x轴对称．∴抛物线的解析式为，设，则，∵使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，∴，∴，解得：，，∴，或，．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何变换，轴对称性质，平移性质，根据轴对称性质，求出抛物线的解析式和根据地平移性质得出，，是解题的关键．【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．(1)求这个函数的解析式；(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．【答案】(1)二次函数的解析式为(2)顶点坐标是【分析】（1）将点、、代入二次函数的解析式，利用待定系数法求得这个二次函数的解析式；（2）利用（1）的结果，将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．【详解】（1）解：将、、代入二次函数，得，解得．∴二次函数的解析式为．（2）解：∵，∴顶点坐标是．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，采用了“配方法”．【变式训练】1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)当点D的坐标为时，的周长最小【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入，得，解得：，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：抛物线的对称轴为，如图，连接与对称轴交于点D，∵，，∴B、C关于对称轴对称，∴，∴，∵为定值，此时的周长取得最小值，点D即为所求；设直线解析式为，将A、C两点代入得，解得：，直线的解析式为：，当时，，∴当点D的坐标为时，的周长最小．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键．2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当的面积为4时，求点D的坐标；(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点D的坐标为；(3)存在点D，使得，点D的坐标为【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，，则，，点，直线的解析式为，的解析式为，联立抛物线解析式，解得：，点D的坐标为；（3）存在，取点，连接，如图所示：，，，，，，点，直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，点D的坐标为，综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；(1)求该二次函数的表达式；(2)结合图像，回答下列问题：①当时，y的取值范围是_____；②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，【分析】(1)设抛物线解析式为，分别代入点、、计算即可．（2）①当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，确定取值范围即可．②根据确定对称轴为．记，分两种情况计算即可．③根据函数的增减性计算．【详解】（1）设抛物线解析式为，分别代入点、、得，解得，∴抛物线解析式为．（2）①如图，当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，故函数值取值范围为．故答案为：．②∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为．记，当时，∴即时，时，函数y取得最大值，且为；当时，∴即时，时，函数y取得最大值，且为．③∵，且时，，∴抛物线必过点，∴，解得，故．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的对称性，抛物线的增减性，熟练掌握相关的性质是解题的关键．【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标；（2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得：，把代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴点D的坐标为．（2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，把代入得：，∴，∴，设所在直线为，把，代入得：，解得：，∴所在直线的表达式为：为，把代入得：，解得：，∴，．

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．【变式训练】1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；（2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果．【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，将代入得，解得，∴，∴抛物线顶点坐标为．（2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为，∴抛物线顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，，解得，此时抛物线与只有1个交点；②当抛物线经过点时，，解得，当抛物线经过时，，解得，

根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点，∴时，满足题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算．2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．

(1)求这条抛物线的函数表达式．(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根据抛物线对称轴得到关于、的一个方程，再把点、的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出、、的值，即可得解；（2）设点D的坐标，根据的面积为8列出方程得出方程的解即可．（3）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接交对称轴于点，则点就是所求的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即求出直线的解析式，再把代入直线解析式求出的值，即可得到点的坐标．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，经过点、，，解得，抛物线解析式为；（2）抛物线解析式为，对称轴为且与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性可得：点A与点B关于对称，即，，，设点D的坐标为：，，，，或（无实数根），，，．（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，则点就是所求的点，

设直线的解析式为，、，，解得，直线的解析式为，当时，，点的坐标为．【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用轴对称确定最短路线问题，确定出点的位置是解题的关键．3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标；（3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案．【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线，可设抛物线的表达式为，将点，点代入，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）由（1）知抛物线表达式为，令，解得或，∴点B的坐标为，∵点C坐标为，∴，，∴，∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为，∴∵，∴，解得或，∴当时，，当时，，∴满足条件的点P有两个，分别为，；（3）如解图，设直线AC的解析式为，

将点，代入，得，解得，∴直线AC的解析式为，由于点Q在AC上，可设点，则点，其中，∴∴当时，DQ长度有最大值．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．【答案】(1)抛物线解析式为；(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．【详解】（1）解：由题意得：，解得，抛物线解析式为；令，则，解得，，；（2）令，则，，对称轴为直线，，，抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，，，，把代入得：，解得．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．(1)求其解析式；(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．【答案】(1)(2)1或3【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，∴可设该抛物线解析式为．∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）对于，令，则，∴，解得：，∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，，∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．故答案为：1或3．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.【答案】【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把代入即可得到抛物线解析式．【详解】解：因为二次函数图像的顶点坐标是，设二次函数解析式为，把代入，得，解得，所以二次函数解析式为：．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点(1)求该函数的关系式；(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.【答案】(1)(2)，或．【分析】（1）已知顶点可设二次函数的解析式为，再把的坐标代入得到关于的方程，然后解出即可．（2）把点，代入（1）中的解析式即可求得结果．【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得：，解得：，该函数的关系式为：.（2）点在函数的图象上，；点在函数的图象上，解得，，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．(1)求二次函数的解析式；(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；②当时，直接写出函数的最大值．【答案】(1)(2)①；②3【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解；(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．【详解】（1）解：设函数的解析式为，将代入解析式，解得，∴函数的解析式为；（2）解：①二次函数