高考数学理北师大版一轮复习测评6-2基本不等式

核心素养测评三十一基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ()A.a+b≥2QUOTE B.QUOTE+QUOTE>QUOTEC.QUOTE+QUOTE≥2 D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为ab>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2,当且仅当a=b时取等号.2.(2020·宿州模拟)已知函数y=x4+QUOTE(x>1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于 ()A.9 B.7 C.5 D.3【解析】选B.因为x>1,所以x+1>0,所以y=x4+QUOTE=x+1+QUOTE5≥2QUOTE5=1,当且仅当x+1=QUOTE,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为 ()A.1 B.2 C.2QUOTE D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2QUOTE=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019·温州模拟)若ab>0,则QUOTE的最小值为()A.2QUOTE B.QUOTE C.3 D.2【解析】选A.因为ab>0,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTEb时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤QUOTE=QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE时取等号.6.(2020·泉州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.4 B.QUOTE C.5 D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(4a+b)=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE时取等号.7.正数a,b满足QUOTE+QUOTE=1,若不等式a+b≥x2+4x+18m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 导学号()A.[3,+∞) B.(∞,3]C.(∞,6] D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=(a+b)QUOTE=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=16,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=4,b=12时,等号成立.由题意,得16≥x2+4x+18m,即x24x2≥m对任意实数x恒成立,令f(x)=x24x2,则f(x)=x24x2=(x2)26,所以f(x)的最小值为6,所以6≥m,即m≥6.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=x2+18x25(x∈N*),则当每台机器运转________________年时,年平均利润最大,最大值是________________万元.

【解析】每台机器运转x年的年平均利润为QUOTE=18QUOTE,而x>0,故QUOTE≤182QUOTE=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知x,y为正实数,则QUOTE+QUOTE的最小值为________________.

【解析】因为x,y为正实数,则QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+1=QUOTE+QUOTE+1,令t=QUOTE,则t>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+t+1=QUOTE+t+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=QUOTE,当且仅当t=QUOTE时取等号.所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.答案:QUOTE10.(2019·阳泉模拟)函数y=QUOTE(x<1)的最大值为________________. 导学号

【解析】函数y=QUOTE=QUOTE=x+1+QUOTE=(x1)+QUOTE+2(x<1),因为(1x)+QUOTE≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x1)+QUOTE≤2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=QUOTE的最大值为0.答案:0(15分钟25分)1.(5分)设a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是 ()A.a+b+QUOTE≥2QUOTEB.QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥a+bD.(a+b)QUOTE≥4【解析】选B.因为a>0,b>0,所以a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,当且仅当a=b且2QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时取等号,故A成立;因为a+b≥2QUOTE>0,所以QUOTE≤QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE不一定成立,故B不成立,因为QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b时取等号,QUOTE=QUOTE=a+bQUOTE≥2QUOTEQUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)当0<m<QUOTE时,若QUOTE+QUOTE≥k22k恒成立,则实数k的取值范围为()A.[2,0)∪(0,4] B.[4,0)∪(0,2]C.[4,2] D.[2,4]【解析】选D.因为0<m<QUOTE,所以QUOTE×2m×(12m)≤QUOTE×QUOTE=QUOTE,当且仅当2m=12m,即m=QUOTE时取等号,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE≥8,又QUOTE+QUOTE≥k22k恒成立,所以k22k8≤0,所以2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[2,4].3.(5分)以点(1,1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为 ()A.4 B.QUOTE C.8 D.2QUOTE【解析】选D.根据题意,设QUOTE为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+QUOTE=t2+QUOTE+2QUOTE+2≥2QUOTE+2×2QUOTE+2=8,当且仅当t=QUOTE时,等号成立,则r的最小值为2QUOTE.4.(5分)(2019·赣州模拟)已知正数x,y满足x+y=5,则QUOTE+QUOTE的最小值为________________. 导学号

【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则QUOTE+QUOTE=QUOTE[(x+1)+(y+2)]QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值QUOTE.答案:QUOTE5.(5分)(2020·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为QUOTEc,则ab的最小值为________________.导学号

【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b