2023年高考数学一轮复习习题：第三章第3节　微课3　含有ex与ln x的组合函数或不等式问题

微课3含有e'与Inx的组合函数或不等式问题

二题型分类突破

题型一分离e'和InX

［例I］已知函数α。=或一MnX.证明：当x>0时,Xx)<rev+∣.

证明要证"v)ɑe*+1,

只需证ex—Inx<ev+~,即ex—ev<lnx÷~.

IQY--1

令∕z(x)=lnx+菽(x>O),则∕f(x)=w-,

易知恤)在(O,F)上单调递减，在(：，+8)上单调递增，则〃(x)mm=/《)=0,

所以lnx+^⅛=0.

再令0(X)=ex—e*,则°'(x)=e-e”,

易知矶x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则9(x)max=9(l)=0,所以eχ-e*WO.

因为h(x)与O(X)不同时为0,

所以ex—ejc<lnx+已，故原不等式成立.

感悟升华1.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求

导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.

2.本题中变形后再隔离分析构造函数，原不等式化为In》+»5一小:。0)(分离InX与e`),

便于探求构造的函数∕z(x)=InX+J和0(X)=ex—e*的单调性，分别求出∕?(X)的最小值与夕(X)

的最大值，借助“中间媒介”证明不等式.

1+inγf(ɪ)2e*I

【训练1】已知函数加)=一「，证明：当Ql时，不等式4^k成

ʌe-11VA-I1)\AcI1/

立.

叶口口M一始J(X)2e∙c在上山1(x+l)(Inx+l)2-

证明将不等式方厂>变形为；

(x+1)GJ+1)77.^xσv÷1

八(X+1)(InX+1)Vpw2ex~l

分别构建函数g(x)=-------------；-------------和函数h(x)=,.

ʌXQv-11I

x-]nx

则g<x)=-L-,令矶X)=X-InM

1Y-1

则φ,(x)=∖--=-^.

,

因为x>l,所以φ(x)>09所以矶x)在(1,+8)上是增函数,所以^(x)>^(l)=l>O,所以g'(x)>O,

所以g(x)在(1,+8)上是增函数，所以X>l时，g(χ)>g(D=2,故，e+]>R^j^.

2e“ɪ(1—e")

h∖x)=-(2+1)2,因为心*1,所以1—e*<O,所以"(x)vθ,所以∕z(x)在(1,+8)上是减

2

函数，所以Ql时，Λ(x)<A(l)=^μγ.

O(X)

综上所述，⅛p>Λ(x),

J(X)2ev∣______

e÷l>(x÷1)(xex÷l)

题型二借助e*2x+1和InXWX—1(QO)进行放缩

【例2】已知函数/U)=χ-1—Hnx.

(1)若√U)20,求。的值；

(2)设机为整数，且对于任意正整数%(1+0(1+/)•(1+/)<相，求加的最小值.

解(1次Λ∙)的定义域为(O,+∞),

①若αW0,因为τQ=-3+αln2<O,所以不满足题意.

②若a>0,由/(X)=I—W=LY⅜P,

当x∈(0,”)时，/(x)<0;当x∈(α,+8)时，/(χ)>0;

所以y(x)在(0,α)单调递减，在3，+8)单调递增，

故x=a是y(x)在(0,+8)的唯一最小值点.

因为式1)=0,所以当且仅当”=1时，式x)20,故α=l.

(2)由(1)知当XG(1,+8)时，χ一ι-InX>0,

即Inx<χ-∖.

令X=1+/,得In(I+』)</.

从而In(I+3)+In(I+&H------Hn(I+/卜；+/+,II

∙∙∙÷2^=1-2^<1.

故(l+0(l+⅛)∙…(l+⅜)<e,

又(1+9(1+演1+这)=鬻‹

从而m的最小正整数是m=3.

感悟升华1.第(1)问可借助)，=χ-l与y=αlnx图象的位置关系，利用导数的几何意义求解，

请读者完成.

2.第⑵问利用教材习题结论x>l+lnx(x>O,且X/1)进行放缩，优化了解题过程.若利用eɪ

替换X,可进一步得到不等式e*2x+l(当x≠O时取等号).

【训练2】已知函数./U)=ef-α.

(1)若函数小)的图象与直线/：y=x-1相切，求α的值；

(2)若人r)—InX>0恒成立，求整数”的最大值.

解(Iy(X)=ev,因为函数火x)的图象与直线y=χ-l相切，所以令/(x)=l,即厘=1,得X

=0,

二切点坐标为(0,-1),则.穴0)=1—。=-1,.∙.α=2.

(2)先证明et>x÷1,设F(x)=ex-χ-1,

则尸(X)=e'-l,令尸(X)=0,则X=0,

当x∈(0,+8)时,F((X)>0；当x∈(-8,0)时，F,(x)<O.

所以F(X)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，所以尸(x)min=R0)=0,即F(X)

20恒成立.

.".ex^x+1,从而e。一22x—l(x=O时取等号).

以InX代换X得InXWX-1(当X=1时，等号成立)，

所以eA—2>lnx.

当α≤2时，Inx<ev-2≤er-u,

则当a≤2时，βx)-lnx>O恒成立.

当a23时，存在X,使e"一α<lnx,

即e'-α>lnx不恒成立.

综上，整数”的最大值为2.

题型跟踪训练---------------------

1.(2020・重庆调研)函数yU)=eL∣-%x2+(4-l)x+/在(一8,十8)上单调递增，则实数a

的取值范围是()

A.{l}B.{-l,1}

C.{0,1}D.{-l,0}

答案A

解析了(x)=eL∣-αx+(α-1)20恒成立，

即er∣20χ-(a—1)恒成立,

由于：ev^x÷ɪ,即e*∣2x,

.二只需要x20r-3—1),即(a—l)(χ-I)Wo恒成立，

所以4=1.

2.已知函数/U)=αr+InX+1,对任意的x>0,∕U)Wxe2v恒成立，求实数。的取值范围.

解由/(x)=Or+In尤+1,所以对任意的QO,y(x)Wxe2t恒成立，等价于“We2X-"：+L在(0,

+8)上恒成立，

先证明e'2x+l,当且仅当X=O时取等号(证明略).

所以当x>0时，有xe2-v=e,nxe2A=elnv+2λ≥lnx+2x+1,

所以e2κ)乎+2+*即elr一见*》2,当且仅当lnx+2x=0时取等号，

所以实数”的取值范围为(-8,2].

3.已知人X)=H,g(x)=x+1(e为自然对数的底数).

(1)求证：火X)Nga)恒成立；

(2)设机是正整数，对任意正整数〃，(l+9(l+*)j∙∙∙(l+∕)<∕n,求相的最小值.

(1)证明令〃(X)=於)一g(x)=eλ-x—1,则"(x)=e'-1,

,

当x∈(-8,0)时，h∖x)<O,当x∈(0,+8)时，∕7(χ)>0,

故〃(X)在(一8,0)上单调递减，在(0,十8)上单调递增，

所以/Z(X)min=A(O)=O,即∕z(x))O恒成立，

所以y(x)2g(x)恒成立.

1

1-

⑵解由⑴可知0<l+左≤e3”,由不等式的性质得

ɪj_ɪɪ

(1+；)(]+=)(1(1÷jw)≤e3∙e32∙e33e3rt

_I1X1X1lχ

~e332333n

所以加的最小值为2(m∈N*).

4.已知函数段)=lnx+*证明：当。注时，於)一eFO.

、十口口而、τ山∖2a_.

证明要证当时rιx，linxl÷--erv>O,

即证ln%+%>er,

x

Vx>O,即证xlnx+a>xe~9

即证Cdnx+4)min>(xe一x)max∙

令h(x)=x∖nx+a1则h∖x)=∖nx÷1.

当OaS时，∕W<0;当x>∣⅛,/(x)>0.

.∙.函数〃(X)在(0,§上单调递减，在+8)上单调递增，

∙'∙h(x)mιn=般)=-：+〃，

911

故当〃2展时，Λ(x)≥--÷6Z≥-.Φ

令矶X)=Xer,则φ,(x)=ex-χex=e~χ∖-χ).

当04<1时，"(x)>0;当Λ>1时，9’(X)<。

・•・函数砥万在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

∙*∙s(x)max=8(1)=".

故当x>0时，O(X)W土②

显然，不等式①②中的等号不能同时成立，

故当α话时，lnx÷^-ev>0.