第6章：空间向量与立体几何 重点题型复习（解析版）

第6章：空间向量与立体几何重点题型复习题型一空间向量的共线问题【例1】若向量与不共线且，，，则（）A．，，共线B．与共线C．与共线D．，，共面【答案】D【解析】因为，即，即，又与不共线，所以共面，故D正确A错误；因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D【变式1-1】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？【答案】共线.【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以.又，所以.所以，即，即与共线.【变式1-2】已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.【答案】0【解析】因A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使，显然且，否则点A，B重合或点B，C重合，则，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，显然实数λ，m，n不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，此时λ+m+n=k-1+1+(-k)=0，所以λ+m+n的值为0.【变式1-3】如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．【答案】证明见解析【解析】设则所以,∴.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．题型二空间向量的数量积问题【例2】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】取的中点，连接，和都是等边三角形，，，平面，平面，平面，面，，在中，，，由余弦定理，.故选：A.【变式2-1】已知、都是空间向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，故选：A【变式2-2】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】因为，且所以所以，即线段的长度是.故选：D.【变式2-3】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．【答案】【解析】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角，故．又，故异面直线BF，ED所成角也为．∵，∴，∴．题型三空间向量的共面问题【例3】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【答案】AC【解析】由向量共面定理可知A正确；当，为零向量可知B错误；由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC【变式3-1】在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】AC【解析】根据向量的线性运算法则，根据正方体性质，结合图象，分析可得：对于A：，由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故A正确；对于B：，由图象可得三个向量共面，所以，，共面，故B错误；对于C：由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故C正确；对于D：，由图象可得共面，所以，，共面，故D错误.故选：AC【变式3-2】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】，∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，∴，∴.故选：C【变式3-3】，若三向量共面，则实数（）A．3B．2C．15D．5【答案】D【解析】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．【变式3-4】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．【答案】证明见解析【解析】设，则，为的中点，，又，，，为共面向量，又三向量有相同的起点，四点共面．题型四空间向量的基本定理【例4】下列命题中正确的个数为（）①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；③为空间一组基底，若，则；④对于任意非零空间向量，，若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，所以也是空间一组基底，故②正确；③：由为空间一组基底，若，则，所以，故③正确；④：对于任意非零空间向量，，若，则存在一个实数使得，有，又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.故选：C【变式4-1】已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以ABD错误；因为是空间向量的一个基底，所以，，构成基底.故选：C【变式4-2】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选：A【变式4-3】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（）A．B．C．-D．【答案】B【解析】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以，故选：B.题型五利用空间向量证明平行与垂直【例5】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；【答案】证明见解析.【解析】连接FC，∵面，面，∴又，面，，∴平面，即平面，∴∴以为坐标原点，以、、方向分别为，，轴正向建立空间直角坐标系，则，，，∴，，∴，∴.【变式5-1】在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，又平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面.【变式5-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，即得令z1=2，则y1=-1，所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）=(2，0，0).设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥，得令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2).因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F.【变式5-3】如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】∵为正方形，∴，∵二面角为直二面角，∴平面，以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，设()，∵为上的点，，∴设，∴，∴，，，∵平面，∴，且，解得，，∴，，(1)，，∴，∴，∵平面，∴，∴平面；(2)由题意可知，平面的法向量为，设面的法向量为，，，∴且，取，则，，∴，∴，∴平面平面.题型六利用空间向量计算空间角【例6】在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______．【答案】【解析】空间一组基底为，设正方体的棱长为1，则，．．因为，所以直线与AC所成角的余弦值为．【变式6-1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【答案】【解析】在平面内作，垂足为，因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.故答案为：.【变式6-2】如图，正四面体中，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如图所示空间坐标系，设，则，,设平面的法向量为，则且，设，则．故选：C【变式6-3】如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．（1）求证：；（2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，且BE平分，所以，又因为平面平面SAB，且平面平面，平面SAB，所以平面BDE，又因为平面BDE，所以；（2）取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴。建立如图空间直角坐标系，则，，，，，由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一个法向量，设平面BDC的法向量为，因为，则，取，则，因此，所以平面EBD与平面BDC所成角的余弦值为．题型七利用空间向量计算空间距离【例7】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设与的公垂线的一个方向向量为，则，取，得，，即，又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．【变式7-1】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．【答案】【解析】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即.在菱形中，，，，．设，则，．在中，由，可得，，，，，，点到直线的距离为.故答案为：.【变式7-2】如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．【答案】【解析】以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接，由题意得，，，，∴，，．设平面的法向量为，则，即，令，得，∴点到平面的距离．故答案为：【变式7-3】空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则，即，取，，又平面平面，则平面与平面间的距离为，故选：A.题型八利用空间向量探究动点存在问题【例8】如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大小；（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因为面，面，所以，．,,平面，所以平面，而平面，所以分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的一个法向量，平面的一个法向量．因为，，，．所以，取，得．所以．因为，，，，所以，取得，，所以．因，设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．（2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，因为，所以，解得．．【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．（1）设，当为何值时，的面积最小？（2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）且或【解析】（1）因为,所以，由于平面，，故在中，，在中，由余弦定理可得，在中，在中，因为，所以，当时，即，最大，此时，而也为最小值，故（2）以为坐标原点，以为轴的正方向，过向上作平面的垂线为轴正方向，如图，建立空间直角坐标系当时，此时是中点，故，故设，则设平面的法向量为，所以，取，则同理可得平面的法向量为，因为平面平面POF，所以，即或，故存在点,使得平面平面POF，且或【变式8-2】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．（1）求证：直线平面；（2）若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）在直线上存在一点，且，使得平面．【解析】（1）在直三棱柱中，是的中点，又为的中点

，而，四边形是平行四边形，平面平面，平面．（2）在直线上找一点，使得平面，证明如下：在直三棱柱中，

又两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，在线段上，设，则，则