（江苏专用）高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理-人教版高三数学试题

第十一章计数原理、随机变量及其分布第3讲二项式定理练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·广东卷)在(eq\r(x)－1)4的展开式中，x的系数为________.解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)·(eq\r(x))4－r·(－1)r，令r＝2，则Ceq\o\al(2,4)(－1)2＝6.答案62.(2016·苏州质检)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))eq\s\up12(7)的展开式中eq\f(1,x3)的系数是84，则实数a＝________.解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·(2x)7－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))eq\s\up12(r)＝27－rCeq\o\al(r,7)ar·eq\f(1,x2r－7).令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ceq\o\al(5,7)a5＝84得a＝1.答案13.(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，又a0＝Ceq\o\al(0,7)1720＝1，a8＝Ceq\o\al(7,7)(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.答案1254.(2015·天津卷)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4x)))eq\s\up12(6)的展开式中，x2的系数为________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4x)))eq\s\up12(6)的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))eq\s\up12(r)x6－2r，当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(15,16).答案eq\f(15,16)5.(2016·河南八校三联)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2x)))eq\s\up12(n)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2x)))eq\s\up12(9)展开式的第四项为T4＝Ceq\o\al(3,9)·(eq\r(x))6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))eq\s\up12(3)＝eq\f(21,2).答案eq\f(21,2)6.二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))eq\s\up12(n)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________.解析依题意n＝10，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))eq\s\up12(10)的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,10)x5－eq\f(5,2)r.令5－eq\f(5,2)r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝22Ceq\o\al(2,10)＝180.答案1807.(2014·浙江卷改编)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________.解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Ceq\o\al(m,6)，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Ceq\o\al(n,4)，故f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)·Ceq\o\al(n,4).从而f(3，0)＝Ceq\o\al(3,6)＝20，f(2，1)＝Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝60，f(1，2)＝Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＝36，f(0，3)＝Ceq\o\al(3,4)＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120.答案1208.(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.答案3二、解答题9.已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项.解(1)由题意得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\f(8－4r,3)，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.10.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))eq\s\up12(n).(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为Ceq\o\al(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)23＝eq\f(35,2)，T5的系数为Ceq\o\al(4,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)24＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为Ceq\o\al(7,14)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(7)27＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去).设第r＋1项的系数最大，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))eq\s\up12(12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(12)(1＋4x)12，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(r,12)4r≥Ceq\o\al(r－1,12)4r－1，,Ceq\o\al(r,12)4r≥Ceq\o\al(r＋1,12)4r＋1.))∴9.4≤r≤10.4，∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝Ceq\o\al(10,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·210·x10＝16896x10.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________.解析由题意得：a＝Ceq\o\al(m,2m)，b＝Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，∴eq\f(13·（2m）！,m！·m！)＝eq\f(7·（2m＋1）！,m！·（m＋1）！)，∴eq\f(7（2m＋1）,m＋1)＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解.答案612.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答).解析由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Ceq\o\al(7,8)xy7－y·Ceq\o\al(6,8)x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为Ceq\o\al(7,8)－Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(1,8)－Ceq\o\al(2,8)＝8－28＝－20.答案－2013.(2014·安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________.解析由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).故a0＝1，a1＝3，a2＝4.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))eq\s\up12(r)(r＝0，1，2，…，n).故eq\f(Ceq\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(Ceq\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.答案314.(2016·盐城一模)已知f(x)＝(2＋eq\r(x))n，其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成eq\r(s)＋eq\r(s－1)(s∈N*)的形式.(1)解因为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)2n－rxeq\f(r,2)，所以r＝6，故x3项的系数为Ceq\o\al(6,n)·2n－6＝14，解得n＝7.(2)证明由二项式定理可知，(2＋eq\r(3))n＝Ceq\o\al(0,n)2n(eq\r(3))0＋Ceq\o\al(1,n)2n－1(eq\r(3))1＋Ceq\o\al(2,n)2n－2(eq\r(3))2＋…＋Ceq\o\al(n,n)20(eq\r(3))n，设(2＋eq