等差数列与等比数列-2022年高考数学训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练

专题16等差数列与等比数列

一、单选题（本大题共10小题，共50分）

1.在各项均为正数的等比数列｛a11｝中，公比q6（0,1）,若a3+a$=5,a?∙a6=4,数列

｛log2atl｝的前n项和为Stl,则当数列｛曰｝的前n项和取最大值时，n的值为（）

A.8B.9C.8或9D.17

【答案】C

【解析】解：•・・｛a11｝是等比数列且a?+a5=5,a2a6=4,公比q∈(0,1)

.(aɜ+⅝=5

la3a5=4

解得：a3=4,a5=1

∙∖q=3,∙,∙sɪ——16

n1

则a11=16.φ-

5-π

bn=∣og2a∏=晦(16■ʌ-)=log22=5-n

则bi=4,

-

由b∏+ιbn=5—(n÷1)—(5—n)=-1.

数列｛、｝是以4为首项，以-1为公差的等差数列.

则数列｛bQ的前n项和

n(4+5—n)n(9—n)

Sn=-2—=

Vcn≥0时;n≤9

・•・当n=8或9时，

γ+y+∙∙,÷包取最大值.

12n

故选C.

2,已知数列｛atl｝的前n项和为Sn，若1，an,Sn成等差数列，则数列｛说USi育｝的前

n项和Tr,=()

A1____RIri___c1____________1_n1____1—

c∙ɪ2n-l22n-lj22n+1-l2n+1-l

【答案】D

【解析】解：因为1,an,Sn成等差数列,

所以2a11=Sn÷1.

当n=1时，2a1=a1÷1,所以a1=1；

当时，+1,

n≥22atl-ι=SΓI.I

所以2atl-2arj-ι=atl,即at,=2atlτ

所以｛a11｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以arι=2nτ.

所以------------=-----吏-----

y=_2----n1+—1

''(an+2-l)(an+1-l)(2∏+i-l)(2n-l)2∏-12-Γ

则Tn=I-打»打…+/-扁ZI=I-舄K故选D.

3.已知数列｛a1J的前n项和为Sn，若a[=-2a2=6,an,an+2,arι+ι为等差数列，≡S2020=

()

ʌ4-1__--R4∙1--------C4___1—D4___--

C∙ɪ•22020一.122018~∙2202022018

【答案】D

an+ι+a∏

^an+ι

【解析】解：由题意，2an+2=an+an+ι,故%z3ti=二1——，JzLazaɪ=9，

an+ι-anan+l-an

所以｛ar1+1—aj是公比为一I,首项为一9的等比数歹∣J,

故a∏+ι-a∏=-9X(一：)'

则当n≥2时，an=(an-an,1)+(an_i-an_2)+...+(a2-a1)+a1=-9×+

(4Γ÷-÷(4)°]÷6

I-(T)Z/ι∖n-1

=-9×-½⅜--+6=6×(-ɪ),

l-(-ɪɔ\2/

又a】=6也符合上式，

所以｛a∕是首项为6,公比为一(的等比数歹U，

i-(-ɪr

故Sn=6X7T¾=4[1-(-l)]

故S2020=4—就i.

故选D.

4.若数列｛aQ为等差数列，｛brι｝为等比数列,且满足：aɪ+a2020=27,b1∙b2020=2,

函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],则f(煞笠皿)=()

×1+D1010D1011×

A.eB.e2C.e^1D.e9

【答案】A

【解析】解：数列｛atl｝为等差数列，｛b11｝为等比数列，且满足:a1+a2020=27,b1∙b2020=2,

所以f(⅛S≡⅛)=f(≡≡)=fO=吟，

函数f(x)满足f(x+2)=一f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],

ʌf(9)=-f(7)=f(5)=-f(3)=f(l)=e.

故选：A.

5.在各项均为正数的等比数列｛a11｝中，公比q∈(0,1),若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,

数列｛b11｝的前n项和为Sn，则++率+…+?取最大值时，n的值为()

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【解析】解：•・•｛arl｝是等比数列且a?+=5,a2a6=4,公比q∈(0,l),

c=

ʌ[aɜa^ʤəa-4'解得：a3=4,a5=1,lp

la3θ5—θ2θ6—42

∙*∙a]=16,

因此an=16×φn-1,

,s-n

∙∙bn=log2an=Iog2(16Xɪ)=log22=5-n,则b1=4,

由bj1+ι—bn=5—(n÷1)—(5—n)=-1,

・•.数列｛、｝是以4为首项，以-1为公差的等差数列，

则数列｛bj的前n项和Sn=丛"户=丛押，

令C=Sn=n(9-n)=9-n,

nn2n2

VCn≥0时，n≤9,

•••当n=8或9时-，&+”+•••+且取最大值.

12n

故选：B.

6.己知等比数列｛a11｝的前n项和为Sn，满足S「2S2,3S3成等差数列，且ae2=a3,若

｛(Iog3atl)2-NOg3a11｝是递增数列，则实数人的取值范围是()

A.(-∞,-3)B.(-3,+8)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)

【答案】B

【解析】由题意，得4S2=Sι+3S3,化简得a?=3a3,所以公比q=1,

n22

又a[a2=a3,得a1=ɪ,所以a∏=(∣).(log3an)-λlog3an=n+λn.

因为｛M+入n｝是递增数列，所以(M+λn)一[(n—1)2+入(n-1)]=2n+入一1>0,n≥2,

所以人>—2n+1,得人>(―2n+l)max=-3,

故选B.

7,若数列｛a11｝满足：n增大时，无限接近亨，则称数列｛a11｝是黄金数列.满足下列条

件的数列｛aj是黄金数列的是()

aa=

ʌ-ι=1，"+ι⅛aa

B.a1=1,a2=3,an+2n=n+ι

a

C.əɪ—1,3∩4-1=3∏+2D.a1=a2=1»3n+2=an÷n+ι

【答案】D

【解析】对于A：9=产=5+l=C~｝是等差数列，

an+lananIaW

故?=；+n-l=n,所以atl=%

anaι∏

所以工="1>1,

an+ιn

故｛a11｝不是黄金数列；

对一卜B：因为a1=1,a2=3,s∏+2^n=^∏+ι,

所以｛atl｝为等比数列，所以F=3故｛aQ不是黄金数列；

dn+l$

对于C：因为殂=1,an+1=an+2,所以｛arι｝为等差数列，所以arl=2n-l,

普"==1一67，n无限最大时，言-无限接近1,

≡n+ιzn+12n+ia∏+ι

故｛atJ不是黄金数列；

=1

对于D：a∏+2=atl+a11+ι两边同除以arι+ι可得，ʌ+>

当n无限增大时，普无限接近于t,则产无限接近于;，

an+ιan+ιt

所以工=t+l=t=―，

t2

故｛a11｝是黄金数列.

故选D.

8.已知数列｛a∏｝满足对1≤n≤3时，an=n,且对VnWN*,有a11+3+a∏+ι=a。+?+arι,

则数列｛n∙aQ的前50项的和为（）

A.2448B.2525C.2533D.2652

【答案】B

【解析】解：由题得ar1+3+ar∣+ι=ar1+2+ar∣=…=a?+a[=4,

所以an=4-an+2=4-(4-an+4)=a∏+4,

所以｛a∏｝是周期为4的数列，且a】=1,a2=2,a3=3,a4=2,

所以a1+2a2+3a3+4a4+5asH------F50a50=a1+2a2+3a3+4a4+5a1H------F50a2

=IX(I+5+9+…+49)+2(2+6+…+50)+3(3÷7+…+47)+2(4+8÷…+

48)

13x5212x5012x52

等+2x+3X+2X=2525.

222

故选B.

9.在数列｛a∏｝中"∙'Z」1且a2020=3，a2022=W，则22023=()

«.1-Ims5

A.IB.,C.ɪD.3

【答案】C

【解析】解：由：==+∕-(neN*,n>2),

anan-ιan+ι

可知数列｛£｝是等差数列，

则其公差d=XJ—一ɪ)ɪɪ,

Na2O22a2O2ON

因此==十+d=g+T=3,

a2023a2022Nz

所以H2023=2-

故选C.

1111

10.已知数列｛atl｝满足a1a2a3∙∙∙an=2M,且对任意nCN*都有及+石+1+…+rCt,则

实数t的取值范围是()

A.(∣,+∞)B.[∣,+∞)C.(∣,+∞)D.[∣,+∞)

【答案】D

【解析】解：因为数列｛an｝满足a1a2a3∙∙∙an=2M①，

所以当n≥2时，aia?a3…all-ι=2(时1)2②，

①÷②得an=2n2÷2(nτ)Z=22n-1=∣×4n.

又因为a1=2适合上式，所以数列｛atl｝的通项公式为an=^x",

因此:=(｝2nτ,

所以数歹∣j｛∕｝是以!为首项，；为公比的等比数列，

Iii1

又因为对任意n∈N*都有；a-+/+丁a+,,•+—a<t,

ιa23n

所以t?|,因此实数t的取值范围是[|,+8).

故选D.

二、单空题(本大题共4小题，共20分)

11.若数列｛a11｝的首项由=2,且arι+ι=3an+2(n∈N*)；令b11=log3(an+1),则瓦+b2+

bɜH------^blOo=--------------------•

【答案】5050

【解析】解：数列｛a11｝的首项a1=2,且a11+ι=3an+2(n∈N*),

∙'∙θ∏+ι+1=3(an+1),a1+1=3»

∙∙∙｛arι+l｝是首项为3,公比为3的等比数列，

n

・•・an÷1=3,

blUwJn+I:，ʌb]+b2+b3+…+bɪθθ=1+2+3+…+IOO=

^≡t2)=5050.

2

故答案为5050.

12.已知数列｛a"满足an>0，前n项和为Sn，若a3=3,且对任意的kGN*,均有⅛c=

2a2k-1+1,a2k+1=21og2a2k+1>则a1=-----；S20=------------

【答案】1.2146.

【解析】解：因为a；k=2azi+ι,两边取对数得2iog2a2k=2a2k-1+1，

a

乂a2k+1=21og2a2k+1，所以a2k+1Il=2k-1+1'

BPa2k+1-a2k-1=2,k∈N*,数列｛a2kτ｝为等差数列，公差为2,

k=1时，a3—aɪ=2,得a1=1,

根据a2k+ι-a2kτ=2,a1=1,数列h2kτ｝为等差数列，公差为2,,首项是I,

2klt

a2ιc-ι=2k-1>a∣jj=2.所以a21c=2

所以S20=(aɪ+aɜ+,,,+a[9)+(32+a4+…+≡2o)

=(l+3+∙∙∙+19)+(2+22+∙∙∙+210)=100+2046=2146,

故答案为I,2146.

13.在各项均为正数的等比数列｛a11｝中，公比q∈(0,1).若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,

数列｛bn｝的前n项和为Sn，则当?+y+-∙∙+,取最大值时∏的值为.

【答案】8或9

【解析】解：各项均为正数的等比数列｛a11｝中，若a3+a5=5,a2a6=4,

所以y=5,

⅛3a5—a2a6—6

由于公比q∈(0,1),

解得作U，

(a5=1

所以a5=a3q2,解得q=B.

n5ns

所以a11=a5-q^=(∣)^.

n5

由于ɪɔn=log2an=Iog2φ-=5-n.

所以数列｛、｝是以4为首项，以-1为公差的等差数列，

所以n(4+5-n)=n(9zn)

22

当nV9,n∈N+时，cn=—>0；当n=9时，Cn=0;当n>9,n∈N+时，cn<0,

故当n=9或8时，数列与+津+.••+区取得最大值.

12n

故答案为：8或9.

14.正项等比数列｛atl｝满足a1+a3=1且2az,]a4,a3成等差数列，设bn=anan+1(n∈N*),

则bib?••…bn取得最小值时的n值为.

【答案】2

【解析】解：正项等比数列同｝的公比设为q(q>0),a1+a3=

2

可得a1+a1q=

2a2,枭4，a3成等差数列，可得a4=2a2+a3,即q2-q-2=0,

解得q=2(-1舍去)，a1=i,

则an=(∙2nτ=2n^3,

n3n2n

bn=anan+ι=2^-2^=⅛∙4,

12nr,24n

则趾2•...∙bn=ɪ(4-4...∙4)=2τn.4i+2+→n=2-,

由H-4n=(n-2)2-4,当n=2时，bib?,…∙b11取得最小值.

故答案为：2.

三、解答题(本大题共4小题，共30分)

15.已知数列｛ar∣｝满足a】=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).

(I)证明：数列｛an+1一aQ是等比数列；

(∏)求数列｛a11｝的通项公式；

b

(HI)若数列｛bQ满足4bLi4b2”=(an+l)∏(n∈N*),证明｛b11｝是等差数列.

【答案】解：(I)证明：∙∙∙an+2=3an+1-2an,

aa

∙''n+2-n+l=2(an+1—an)»

∙.∙a1=1,a2=3,

an+2~an+1=2(n∈N,),

an+ι-a∏

｛ar1+1-a11｝是以a?-a】=2为首项，2为公比的等比数列•

(∏)解：由(I)｛an+ι-aJ是以az—ai=2为首项，2为公比的等比数列

n11

得a∏+ι-an=2(n∈N*),.∙.an=(an—an.1)+(an_1—an_2)++(a2—a1)+a1=2'^+

2n-2++2+l=2n-l(n∈N*).

bbl+b2++bn-nnbn

(Ill)证明：.JqbiTqbzTqbnT=(an+l)∏,.∙.4'=2

∙∙∙2[(b1+b2+∙∙∙+bn)-n]=nbn,①

2[(bι+b2+∙∙∙+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+l)bn+1.②

②一①，得2(b11+I-I)=(n+l)bn+1-nbn,

即(n—l)bn+1—nbn+2=O.③

nbn+2-(n+l)bn+1+2=O.④

④-③，得nbn+2-2nbn+ι+nbrι=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0,•••bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),

｛b11｝是等差数列.

16.已知等差数列｛atl｝的公差不为零，a4=1,且a0a5,成等比数列，数列｛bQ的前n

项和为Sn，满足Sn=2bn-4(n∈N*).

(I)求数列｛a11｝和｛bn｝的通项公式；

λ

(U)若数列｛Cn｝满足：Cl=-jCn+1=Cn-J(neN*),求使得C11≥粤成立的所有n

LunIo

值.

【答案】解:(I)设等差数列｛arι｝的公差为d(d≠0),

2

由题得ag=a4a7>即(1+d)=1+3d,

整理得d2=d,解得d=l,

所以arι=a4+(n-4)d=n-3.

因为bι=2bι-4,所以bi=4,

当n≥2时，由bj1=Sn-SnT得bn=2bn-2bn.1,即b11=2bn.1,

所以｛b11｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以bn=2"i.

(ɪɪ)由"+I=d-/得Cn+ι—Cn=一

所以Cn=(Cn-ɑn-l)+(Cn-I-cn-2)+…+82-C+Cl=-一(£+,+,,,÷⅛τ)∙

设Tn=£+£+…+黑’

则打n=∙j∣÷^7÷",÷菰W'

作差得工T==+2+工+…+工_曰=-l+≡⅛-J2∑±=-l-2Ξl,

IF左付2n22十23十24十十2门2n÷12十i-ɪ2∏+142"i'

2

所以Tn=詈，所以Cn=_：_%=等.

因为Cn=詈≥野，所以(n-2)(24-n-1)≥0.

当n=l时，不满足题意；当n=2时，满足题意；

当n≥3时，24-n-1≥0,解得3≤nW4.

所以，满足题意的所有n值为2,3,4.

17.已知正项数列｛arl｝满足a】=1,an-1-an=an.1an,n≥2,等比数列｛b11｝满足:a?=b1,

b2一b3=aɛ.

(1)求数列｛a"｝、｛b》的通项公式;

(2)设Tn=F+普+鲁+…+*,求Tn，

anan-lan-2aI

【答案】解：(1)・・・｛a11｝各项为正，且arιτ-a11=arja11τ,(n≥2),

・•・ɪ-=L(n≥2).

dnɑn-l

・・・出是公差d=ι,首项2=1的等差数列，

••・ς-=n,则a=--

a∏rιn

设等比数列｛bj的公比为q,则bi=[b?-b3=b(q-q2)=ʌ

Z10

π1

故q-q2=ɪ-解得q=(•故btl=b1q~=ʌ.