2023年中考数学复习-拱桥问题（实际问题与二次函数）

2023年中考数学重难点专题复习-拱桥问题(实际问题与二次函数)

1.我们在学习了《浙教版数学九年级上册》尸17探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为

12m时，桥洞顶部离水面4m已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向AB为X轴，若小明同学以C为顶点

求出了函数表达式是y=-g∕;

探究一：

(1)若小红同学以A为顶点求出了函数表达式是.

(2)在(1)条件下，求出该抛物线在水面A8中的倒影所在抛物线函数表达式为

(3)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

探究二：

(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m,该圆半径为

2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻,

桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

⑵一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时，桥下水位刚好在OA处.有

一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底

与水面齐平)：

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=U√+bx+c(αwθ),该抛物线在X轴下方部分与桥拱OBA在

平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移机(m>0)个单位长度，平移后的函数图象

在8≤x≤9时，)，的值随X值的增大而减小，结合函数图象，求机的取值范围.

3.如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面.经测量，两侧墙4。和BC与路面AB垂直，隧

道内侧宽48=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E,测量点E到墙面AD的距离

AE,点E到隧道顶面的距离E尸.设AE=X米，EF=y米.通过取点、测量，工程人员得到了X与)，的几

组值，如下表：

X(米)O2468

y(米)4.05.56.05.54.0

(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为米，并求出满足的函数关系式

j=a(x-Λ)^+A(α<θ)；

(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系.描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的

函数的图像.

(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道

顶面的距离不小于0.35米.按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米(精确到0.1米)？

4.如图，隧道的截面由抛物线AEZ)和矩形构成，矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的

直线为X轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点

。的距离为6m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗？

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧

道吗？

5.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是IOm,宽是5m.按照图中所示的平面直角坐

标系，抛物线可以用y=-EX2+fcv+c表示.

ʃtD

(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶。到地面04的距离.

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全

通过？

(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过6m,那么两

排灯的水平距离最小是多少米？

6.学校举办“科技之星''颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”

四个大字(如图1),其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以

看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米,

最高点的五角星距地面6.25米.

(1)请在图2中建立平面直角坐标系XO并求出该抛物线的解析式；

⑵，,技，，与“之，，的水平距离为20米.小明想同时达到如下两个设计效果：

①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；

②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米.

小明的设计能否实现？若能实现，直接写出”的值；若不能实现，请说明理由.

7.中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线

的解析式为>=-工*2+。且过顶点C(0,5)(长度单位：机)

⑴直接写出C的值；

(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元∕∏√,求购买

地毯需多少元？

(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFG”(“、G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG∙己

知矩形EFG”的周长为27.5m,求斜面EG在这个坐标系中的解析式.

8.如图，隧道的截面由抛物线。EC和矩形ABcD构成，矩形的长AB为4m,宽BC为3m,以。C所在的

直线为X轴，线段CO的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.)'轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距

(1)求出抛物线的解析式.

⑵在距离地面/高处，隧道的宽度是多少？

(3)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶)，现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车

能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.

9.有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为Iom,如图所示，把它的图形放在直

角坐标系中.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图，在对称轴右边Im处，桥洞离水面的高是多少？

10.某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2,且已知图2中矩形的

长Ar)为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米.

图1图2

(1)请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；

(2)若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；

(3)现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN(如图2),对观景桥表面进行维护，P,N

点在抛物线上，Q,仞点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆尸Q，PMMN的长度之和的最

大值，请你帮管理处计算一下.

11.某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示)，跨度AB为4米.在距点A水平距离为d米的地点,

拱桥距离水面的高度为/?米.小红根据学习函数的经验，对d和力之间的关系进行了探究.

(1)经过测量，得出了“和〃的几组对应值，如下表.

“米00.611.82.433.64

A/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数;

(2)在下面的平面直角坐标系XOy中，画出(1)中所确定的函数的图象;

3............：..............：..........：..............?..........：

2............∖..............∖..........⅛..............；..........⅞

I............I..............j..........j..............•：..........j

12345~^X

(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园要

在水面上的C,。两处设置警戒线，并且CE=O尸，要求游船能从C,。两点之间安全通过，则C处距桥墩

的距离CE至少为米.(精确到0.1米)

12.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成，已知城门宽度为4米，

最高处距地面6米.如图所示，现以。点为原点，OM所在的直线为X轴，OE所在的直线为y轴建立直角

坐标系.

(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围：

(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入?

13.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m.以。为原点，OA所在直线为X轴建立直角坐

标系，若点P的坐标为(3,2).

(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；

(2)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少？(结果保留根号)

14.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

素图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面

材宽40m,拱顶离水面8m.据调查，该河段水位在此基础上再涨2.1m

1达到最高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40m长的灯笼，如图3.为

素

了安全，灯笼询问距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬

材

挂点的水平间距均为L6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯

2

—Qd-Fd■*

笼，且挂满后成轴对称分布.m

IfJ)

问题解决

任

在图2中建立合适的直角坐标

务确定桥拱形状

系，求抛物线的函数表达式.

1

在你所建立的坐标系中，仅在安

任

全的条件下，确定悬挂点的纵坐

务探究悬挂范围

标的最小值和横坐标的取值范

2

围.

给出一种符合所有悬挂条件的

任

灯笼数量，并根据你所建立的坐

务拟定设计方案

标系，求出最左边一盏灯笼悬挂

3

点的横坐标.

15.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段。E表示水平的路面，以。为坐标原点，以OE

所在直线为X轴，以过点。垂直于X轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=IOm,

该抛物线的顶点尸到OE的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点48处分别安装照明灯.已知点A、

8到。E的距离均为6m,求点A、B的坐标.

16.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为IOm,—■身高为1.8”?的同学站在门内，在离门脚Im处垂

直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高儿

17.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从

喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分.若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d

米，与湖面的垂直高度为〃米.下面的表中记录了d与人的五组数据：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

图1

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示〃与d函数关系的图象；

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为根米，则〃?=；

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通

过.如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖

直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面

的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

参考答案:

1,

∣∙(l)y=--(x-6)^+4

(2)J=∣(X-6)2-4

(3)货船能顺利通过此桥洞

“13

(4)ym

2.(1)y=-^-x2+2x(0<x≤8);(2)他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；(3)5<w<8

4

3.(1)6,y=-i(χ-4)2+6.

8

⑵11

(3)隧道需标注的限高应为4.4米

4.(l)y=--^-x2+6

(2)能通过

(3)不能通过

5.(l)y=-∖f+χ+5,拱顶。到地面的距离