人教版八年级上册数学期末专题复习、易错题集和综合训练

人教版八年级上册数学期末专题复习、易错题集和综合训练第十一章三角形专题课堂(一)三角形一、三角形的三边关系类型：(1)判定三条线段能否组成三角形；(2)已知两边求第三边的取值范围；(3)求等腰三角形的边长及周长．注意：(1)已知等腰三角形的两边求第三边时要分类讨论；(2)求得三角形的边长时，要用三角形三边关系验证．【例1】一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为____．分析：设第三边长为x，由三角形的三边关系可得关于x的不等式组，再由x为奇数，可确定x的值，从而求出周长．8【对应训练】1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A．4，4，8B．5，5，1C．3，7，9D．2，5，42．若一个三角形的三边长分别为2，3，x，则x的值可以是

．(只需填一个整数)A2或3或43．已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边长为4cm，求另外两边的长；(2)若其中一边长为6cm，求另外两边的长．解：(1)若4cm为腰长，则底边长16－4×2＝8(cm)，∵4＋4＝8，∴不能构成三角形；若4cm为底边长，则腰长为(16－4)÷2＝6(cm)，能构成三角形，∴另两边的长为6cm，6cm(2)若6cm为腰长，则底边长为16－6×2＝4(cm)，能构成三角形；若6cm为底边长，则腰长为(16－6)÷2＝5(cm)，能构成三角形，∴另外两边的长为6cm，4cm或5cm，5cm二、与三角形有关的角的计算依据：三角形内角和定理与外角性质．类型：(1)与角平分线和高的综合应用；(2)与平行线的综合应用；(3)利用角的和、差解决问题．注意：应用外角的性质不要忽略“不相邻”这个前提．【对应训练】4．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于()A．44°B．60°C．67°D．70°CD6．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝

.45°7．如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N.试解答下列问题：(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：

；(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝30°，试求∠P的度数；(写出解答过程)(3)如果图②中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D，∠B之间的数量关系．(直接写出结论即可)∠A＋∠D＝∠C＋∠B【例3】有一个多边形，除去一个内角外，其余内角之和是2570°，求这个内角的度数．分析：(方法一)我们可以从除去的这个内角去考虑，这个内角的度数应在0°与180°之间；(方法二)这个多边形的每一个外角应在0°与180°之间，而除去的这个角的外角为180°－[(n－2)·180°－2570°]；(方法三)多边形的内角和为180°的整数倍，由于2570°÷180°≈14.3，所以这个多边形的所有内角和为15×180°.【对应训练】8．下列各度数不是多边形的内角和的是()A．1800°B．540°C．1700°D．1080°9．若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为()A．8B．9C．10D．12CA10．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是____．11．一个多边形截去一个角，形成一个新多边形，新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是多少？解：设新多边形的边数为n，依题意得(n－2)·180＝2520，解得n＝16，则原多边形的边数为15，16或176第十一章三角形易错课堂(一)三角形一、作钝角三角形的高易出错【例1】如图，在图中作△ABC的AB边和BC边上的高．解：如图，CD为AB边上的高，AE为BC边上的高【对应训练】1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是()二、忽略三角形存在的条件【例2】已知等腰三角形一边等于2，另一边等于6，求它的周长．解：当腰为2，底为6时，由于2＋2<6，所以不能构成三角形；当腰为6，底为2时，它的周长为6＋6＋2＝14，故该等腰三角形的周长为14D【对应训练】2．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是()A．1cm<AB<4cm

B．5cm<AB<10cmC．4cm<AB<8cm

D．4cm<AB<10cm三、对三角形内角、外角的性质不理解导致出错【例3】如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是()A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠7C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°BB【对应训练】3．如图，在△ABC中，在BC延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是()A．∠ACB>∠ACDB．∠ACB>∠1＋∠2＋∠3C．∠ACB>∠2＋∠3D．以上都对C四、因考虑不全面出现漏解或增加不符合题意的解【例4】在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是AC边上的高，且∠ABD＝30°，求∠BAC的度数．解：有两种情况：若△ABC是锐角三角形，如图①，∠BAC＝90°－30°＝60°；若△ABC是钝角三角形，如图②，易得∠BAC＝90°＋30°＝120°，故∠BAC＝60°或120

第十一章三角形综合训练(一)三角形1．下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a(a>0)2．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形AB3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若∠A＝50°，则∠DCB的度数是()A．50°B．45°C．40°D．25°4．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成锐角的度数是()A．20°B．30°C．70°D．80°AB5．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为()A．4B．5C．6D．76．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是()A．16B．20C．12或16D．16或20CB7．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．180°C．210°D．270°8．如图所示的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，若点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1，则满足条件的点C的个数为()A．3B．4C．5D．6BD二、填空题9．如图，具有稳定性的有

(填序号)．10．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8cm，△ABD与△ACD的周长差为2cm，则AC＝____cm.①④⑤611．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝

度．12．从一个多边形的一个顶点引对角线把它分割成20个三角形，则它是____边形，内角和是

度，它共有____条对角线．360二十二360020913．如图，△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝

．14．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为

．70°60°解：由题可得，a＝3，b＝2，则第三边c的取值范围为1<c<516．已知△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．解：设BC＝x，则AC＝2x，AB＝2x－2，由题意得2x＋2x－2＋x＝18，解得x＝4，∴2x＝8，2x－2＝6，∴△ABC三边长分别为BC＝4cm，AC＝8cm，AB＝6cm18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD＝150°，求∠EDF的度数．解：∵∠AFD＝∠FDC＋∠C＝90°＋∠C，∴∠C＝∠AFD－90°＝60°，∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC，∠EDC＝∠B＋∠BED，∴90°＋∠EDF＝90°＋∠B，∴∠EDF＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠EDF＝∠C＝60°专题课堂(二)全等三角形判定的综合应用第十二章全等三角形一、全等三角形判定方法的巧用类型：(1)已知两边对应相等，寻找第三边或夹角对应相等；(2)已知一边一角对应相等，寻找另一角或夹这一角的另一边对应相等；(3)已知两角对应相等，寻找任一边对应相等；(4)在直角三角形中，已知一条直角边(斜边)对应相等，寻找斜边(另一条直角边)对应相等．【例1】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO＝DO.

分析：(1)已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，寻找公共边AC，利用ASA可证明；(2)由(1)可得AB＝AD，利用SAS证△ABO≌△ADO可得．证明：(1)∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC(ASA)(2)∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD.又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴BO＝DO【对应训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延长AD到E点，使DE＝AB.(1)求证：∠ABC＝∠EDC；(2)求证：△ABC≌△EDC.2．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.3．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.二、构造三角形证全等的常用方法类型：(1)倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形，将有关的线段转化到一个三角形中去证明；(2)截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形，将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起；(3)补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现；(4)作平行线构造三角形：可以将角进行转移，进而构造全等三角形；(5)根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线，常直接利用角或边相等的关系构造三角形，也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三角形而巧妙地解决问题．【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.分析：在AC上截取AF＝AE，连接OF，由SAS证△AEO≌△AFO，得∠EOA＝∠FOA，从而得到∠DOC＝∠FOC＝60°，再由ASA证△COD≌△COF，得CD＝CF，从而得到结论．

【对应训练】4．如图，在△ABC中，AD是中线，已知AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围．5．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.6．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：PC＝PD.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.证明：过点B作BG∥AC交CF的延长线于点G，∴∠G＝∠ACE.∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝90°，BG⊥BC，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB，∴∠GBF＝∠DBF，又∵BF＝BF，∴△GBF≌△DBF(SAS)，∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF易错课堂(二)全等三角形第十二章全等三角形一、不能准确确定全等三角形的对应关系【例1】已知△ABC与△A′B′C′全等，其中∠A＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，BC＝3，则A′B′的值为()A．3B．4C．5D．不能确定A【对应训练】1．如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，∠B＝∠C，指出其他对应边和对应角．解：对应边：BD与CE，AD与AE；对应角：∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝∠AEC二、误用“SSA”判定三角形全等【例2】如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.【对应训练】2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？请说明理由．三、用“斜边、直角边”证明三角形全等时不指明是直角三角形【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BD，点E在AD上，且BE＝AC，求证：DE＝CD.【对应训练】3．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：CE＝DF.四、不能正确理解角平分线的性质与判定【例4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为()A．AD>DEB．AD＝DEC．AD<DED．不能确定D【对应训练】4．如图，P是∠AOB内一点，PA＝PB，∠PAO＝∠PBO.求证：OP平分∠AOB.证明：过P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，∴∠PCA＝∠PDB＝90°，∵∠PAO＝∠PBO，∴∠PAC＝∠PBD.又∵PA＝PB，∴△PAC≌△PBD，∴PC＝PD.又∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴OP平分∠AOB综合训练(二)全等三角形第十二章全等三角形一、选择题1．下列说法正确的是()A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等2．如图，已知△ABE≌△ACD，下列结论中不正确的是()A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝CDD．AD＝DECD3．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DEB．∠B＝∠EC．EF＝BCD．EF∥BC4．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE，则说明这两个三角形全等的依据是()A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSSCD5．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有()A．1个B．2个C．3个D．4个C6．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对C7．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°D8．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM＝DN，则∠ADC与∠ABC的关系是()A．相等B．互补C．和为150°D．和为165°B二、填空题9．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝25°，则∠BAD＝______．25°10．如图，△ABC的高BD，CE相交于点O，请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD＝CE.你所添加的条件是_____________________________________．BE＝CD或AB＝AC等11．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发，与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，通过目测使A，C与E在同一直线上，那么A，B之间的距离为____米．1712．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为___________．(－1，2)13．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B，C，∠BAD和∠ADC的平分线恰好交在BC边上的E点，AD＝9，BE＝4，则四边形ABCD的面积为____．3614．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD交于点P，连接AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤S△PBD＋S△PCE＝S△PBC.其中正确的序号是________________．①②③④⑤三、解答题15．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝FC，AB＝DF.求证：∠B＝∠F.解：由HL证Rt△ABC≌Rt△DFE可得16．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．17．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)如△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA(2)选证△ABE≌△CDF：∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)18．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：△EBC≌△FCB.解：由SAS证△BAF≌△CAE，∴BF＝CE，再由SSS可证△EBC≌△FCB19．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝90°，∠D＝28°，求∠GBF的度数．20．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G.(1)求证：BF＝CG；(2)若AB＝9，AC＝7，求AF的长．21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG，EF.(1)求证：BG＝CF；(2)求证：EG＝EF；(3)请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．解：(1)∵AC∥BG，∴∠DBG＝∠C，∠DGB＝∠DFC，又∵BD＝CD，∴△BDG≌△CDF(AAS)，∴BG＝CF(2)由(1)可得DG＝DF，由SAS可证△EDG≌△EDF，∴EG＝EF(3)BE＋CF>EF.证明：在△BEG中，BE＋BG>EG，而BG＝CF，EG＝EF，∴BE＋CF>EF22．(1)感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，求证：△ADG≌△BAF；(2)拓展：如图②，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF；(3)应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为____．6解：(1)由AAS可证(2)∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFA，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠CAF＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠CAF＝∠ABE，又∵AB＝CA，∴△ABE≌△CAF(AAS)(3)6点拨：∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD＝2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为1∶2，∴△ABD与△ADC面积比为1∶2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为3，6.同(2)可证△ABE≌△CAF(AAS)，∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6专题课堂(三)轴对称第十三章轴对称一、轴对称图形与轴对称类型：(1)轴对称图形的识别；(2)轴对称的作图；(3)轴对称及轴对称性质的应用．【例1】如图，直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是____．3【对应训练】1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为()D2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为____．83．如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．解：(1)图略，B1(－2，－1)

(2)图略，C2(1，1)二、垂直平分线的性质与判定类型：(1)求线段的长和证明线段相等、垂直；(2)求角的度数和证明角相等；(3)解决选址问题．【例2】如图，△ABC中，BC＝10，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，则△ADE的周长是____．分析：△ADE的周长＝AD＋DE＋AE，由线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝EC，可得△ADE的周长＝BC.10【对应训练】4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于E，交BD于F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为()A．48°B．36°C．30°D．24°5．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．A解：连接AC，BC，作其垂直平分线，交点P即为所求(图略)6．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G.试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．解：AD垂直平分EF.证明：由角平分线的性质可得DE＝DF，从而可证△AED≌△AFD(HL)，∴AE＝AF，∴A，D均在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF三、等腰三角形的性质和判定性质：(1)等边对等角；(2)三线合一．判定：(1)定义；(2)等角对等边；(3)三线合一的逆用．注意：(1)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论；(2)“等边对等角”和“等角对等边”仅限于在同一个三角形中应用．【例3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H.求证：H为BE的中点．分析：利用AB＝AC得出∠ABC＝∠ACB，再由∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠E得∠DBC＝∠E，证得△DBE为等腰三角形，由三线合一可得．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠DBC.∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝2∠E，∴∠DBC＝∠E，∴DB＝DE.∵DH⊥BE，∴BH＝EH，即H是BE的中点【对应训练】7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为()A．14B．16C．10D．12B8．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝____度．529．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．解：△ADE可以是等腰三角形．①当AD＝DE时，∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠C＋∠DAC＝110°；②当DE＝AE时，∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝80°；③∵∠AED>∠C＝40°，∴AD≠AE.综上可知，∠BDA的度数为110°或80°四、等边三角形的性质和判定性质：(1)三边相等；(2)三个角都是60°；(3)等腰三角形的一切性质．判定：(1)由三边相等判定；(2)由三角相等判定；(3)由两边相等，一个角为60°判定．【例4】如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F.求证：△OEF是等边三角形．分析：利用三角形外角的性质，可求得∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，由垂直平分线的性质知OE＝BE，∴∠BOE＝30°，∴∠OEF＝60°.同理∠OFE＝60°，∴∠EOF＝∠OEF＝∠OFE＝60°，∴△ABC是等边三角形【对应训练】10．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于()A．20°B．30°C．35°D．40°B4

12．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝EC＝DC＝2.∵∠DCE＝∠CEF＋∠F＝60°，∠F＝30°，∴∠CEF＝30°＝∠F，∴CF＝CE＝2，∴DF＝CD＋CF＝4易错课堂(三)轴对称

第十三章轴对称D

5一、混淆关于坐标轴对称的点的坐标变化规律【例1】在平面直角坐标系中，将A(－1，2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点的坐标是(

)A．(－4，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)【对应训练】1．已知点A(a，2)和B(－3，b)关于y轴对称，则a＋b＝__

__．二、利用等腰三角形的性质解题时，考虑问题不全面而出错【例2】已知等腰三角形的一边长是5cm，一边长是7cm，求该三角形的周长．解：当腰长为5cm时，周长为2×5＋7＝17(cm)；当腰长为7cm时，周长为2×7＋5＝19(cm)，所以该等腰三角形的周长为17cm或19cm【对应训练】2．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于_____________．70°或20°三、不能正确运用等腰三角形的性质及判定【例3】如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝CE，AD＝AE.求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠ADE＋∠ADB＝180°，∠AED＋∠AEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEC，可证△ABD≌ACE(SAS)，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE【对应训练】3．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.试判断△OEF的形状．解：△OEF为等腰三角形．理由：由AAS可证△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∴△OEF为等腰三角形【对应训练】4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于F，求证：△AEF是等腰三角形．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，而∠AEB＝∠C＋∠CBE，∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形专题课堂(四)等腰三角形中的证明第十三章轴对称一、等腰三角形中常用的辅助线类型：(1)利用“三线合一”作“三线”中的“一线”；(2)利用垂线、平行线和截长补短，构造等腰三角形．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.分析：过点E作EG∥AC交BC于G，构造等腰△EBG，可得EB＝EG＝FC，再证△EGD≌△FCD即可．【对应训练】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝CF.求证：△DEF是等腰直角三角形．证明：连接AD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝45°，∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴AD＝BD，∠B＝∠CAD.∵AB＝AC，AE＝CF，∴BE＝AF.在△BDE和△ADF中，∵AD＝BD，∠B＝∠CAD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∴∠ADF＋∠EDA＝90°，即∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形2．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝CD＋AB.二、等腰三角形中常见的证明题型类型：(1)证明数量关系；(2)证明位置关系；(3)证明线段的和差关系．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB＝60°，E是AD上一点，且有DE＝DB.求证：AE＝BE＋BC.分析：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，可证△ABD≌△ACF，从而可证△ADF是等边三角形，再证△DEB是等边三角形，即可证得结论．解：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF，由SAS可证△ABD≌△ACF，∴AD＝AF.又∵∠ADB＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF.∵DE＝DB，∠ADB＝60°，∴△DEB是等边三角形，∴DE＝BE＝DB＝CF.∵AD＝AE＋DE，DF＝DB＋BC＋CF，AE＋DE＝BE＋BC＋DE，∴AE＝BE＋BC【对应训练】3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是高，相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH，可证△BCE≌△AHE(ASA)，∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB，由AAS可证△BEC≌△CDB，∴BD＝CE，即AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC综合训练(三)轴对称

第十三章轴对称一、选择题1．下列图形中是轴对称图形的是(

)2．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是(2，3)，则点P坐标是(

)A．(－3，－2)B．(－2，3)C．(2，－3)D．(3，－2)3．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为(

)A．9B．12C．7或9D．9或12ABB4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(

)A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80°D．∠A＝40°，∠B＝80°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝(

)A．80°B．60°C．50°D．40°CD6．如图，CE平分∠ACB，CD＝CA，CH⊥AD于点H，则∠ECA与∠HCA的关系是(

)A．相等B．和等于90°C．和等于45°D．和等于60°7．如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是(

)A．40°B．100°C．140°D．50°BB8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为(

)A．6B．12C．32D．64C二、填空题9．请你写出3个字(可以是数字、字母、汉字)要求它们都是轴对称图形____________________________．10．点P(3a＋6，3－a)关于x轴的对称点在第四象限内，则a的取值范围为__________．11．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_________三角形．答案不唯一，如：田，H，3－2<a<3直角12．如图，CD是△ABC的边AB上的高，且AB＝2BC＝8，点B关于直线CD的对称点恰好落在AB的中点E处，则△BEC的周长为_____．13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE，CF交于点M，如果CM＝4，FM＝5，则BE等于______．121214．如图，点C，E和点B，D，F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠1＝90°，则∠A的度数是________．18°三、解答题15．如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1)图略(2)图略(3)(－x，y－3)16．如图，已知直线l及其两侧两点A，B.(1)在直线l上求一点O，使到A，B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解：图略(1)连接AB与l的交点O即为所求(2)作AB的垂直平分线，与l的交点P即为所求(3)作点B关于l的对称点B′，作直线AB′与l的交点Q即为所求17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DCE＝∠ADC－90°＝35°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°，∴∠EAC＝90°－∠ACE＝20°，∴∠BAC＝2∠EAC＝40°18．如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形．(2)当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形(2)解：∠CAE＝120°时，△ABC是等边三角形．证明：∵∠CAE＝120°，∴∠BAC＝60°，由(1)知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC，由ASA可证△ADE≌△FCE，∴FC＝AD(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N.(1)若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是_______．(2)连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由点P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC周长的最小值；若不存在，说明理由．50°解：(2)①∵AN＝BN，∴BN＋CN＝AN＋CN＝AC，∵AB＝AC＝8cm，∴BN＋CN＝8cm，∵△NBC的周长是14cm，∴BC＝14－8＝6(cm)②∵A，B关于直线MN对称，∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，∴△PBC的周长最小值为14cm21．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证：AE＝CG；(2)直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并证明．证明：(1)∵AC＝BC，D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴∠BCG＝∠ACB＝45°＝∠A，又∵∠ACE与∠CBG都与∠BCE互余，∴∠ACE＝∠CBG，∴△ACE≌△CBG(ASA)，∴AE＝CG(2)BE＝CM.证明：易证△ADM≌△CDE，∴DM＝DE，又CD＝BD，∴DM＋CD＝DE＋BD，即CM＝BE22．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)当点B运动到(0，4)时，AC＝____；(2)∠CAP的度数为______；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值，若变化，说明变化的规律．解：(1)点拨：证明△PBO≌△PCA(SAS)(2)点拨：由(1)知∠PBO＝∠PCA，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，又∠OAP＝60°，∴∠CAP＝60°(3)∵∠EAO＝60°，∠AEO＝30°，∴AE＝2AO＝2，故AE的值不变，为2460°专题课堂(五)整式的乘法与因式分解14.3.2公式法第十四章整式的乘法与因式分解一、幂的运算类型：(1)幂的运算；(2)幂的运算的逆用．【例1】下列计算正确的是()A．x3·x3＝x9

B．x5÷x＝x5C．(x4)4＝x16

D．(－3x2)3＝－9x6分析：根据幂的运算法则分别进行计算，即可得出答案．CB5二、整式的乘除运算类型：(1)整式的混合运算；(2)整式的混合运算与化简求值．(2)原式＝6x2＋9xy＋4xy＋6y2－(3x2＋4xy－9xy－12y2)＝6x2＋13xy＋6y2－(3x2－5xy－12y2)＝6x2＋13xy＋6y2－3x2＋5xy＋12y2＝3x2＋18xy＋18y2【对应训练】4．下列计算中正确的是()A．(－2a2)(3ab2－5ab3)＝－6a3b2－10a3b3B．(3x－1)(2x＋1)＝6x2＋x－1C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2D．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab5．已知m＋n＝2，mn＝－2，则(1－m)(1－n)的值为()A．－3B．－1C．1D．56．计算(x2－3x＋n)(x2＋mx＋8)的结果中不含x2和x3的项，则m＝____，n＝____．BA31解：原式＝－20xy－y2，当x＝－1，y＝2时，原式＝36

三、乘法公式的应用类型：(1)运用乘法公式计算；(2)运用乘法公式化简求值；(3)乘法公式变形的应用．【例3】计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.分析：(1)把x看成平方差公式中的a，2y－3看成平方差公式的b；(2)把a＋b看成公式中的a，c看成公式中的b.解：(1)原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9(2)原式＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2【对应训练】8．下列运算正确的是()A．(2x－3)2＝4x2＋12x－9B．(－3a－2)2＝9a2＋12a＋4C．(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2D．(2m＋3)(2m－3)＝4m2－39．已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，则x－y＝______．10．运用乘法公式计算：(1)99992；(2)99×101×10001.B±1解：原式＝99980001解：原式＝9999999911．已知x2－2x＝2，先化简，再求值：(x－1)2＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1)．解：原式＝3x2－6x－5，∵x2－2x＝2，∴原式＝3(x2－2x)－5＝3×2－5＝1四、因式分解类型：(1)综合运用因式分解的方法分解因式；(2)运用因式分解进行简便计算；(3)运用因式分解化简求值．【例4】分解因式：(1)(x＋2)(x＋3)＋x2－4；(2)(x－1)(x－3)＋1.分析：(1)先把x2－4分解，再提公因式分解因式；(2)先化简，再应用完全平方公式分解因式．解：(1)原式＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋3)＋(x－2)]＝(x＋2)(2x＋1)(2)原式＝x2－4x＋3＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2【对应训练】12．把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)13．计算22016－(－2)2017的结果是()A．22017

B．22016

C．－22016

D．3×22016BD14．如图是边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为____．15．分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y－1)；(2)x2y2－x2(y－1)2.70解：原式＝(x＋y－2)2解：原式＝x2(2y－1)易错课堂(四)整式的乘法与因式分解14.3.2公式法第十四章整式的乘法与因式分解一、幂的运算中，对法则掌握不准而出错【例1】计算：(1)a·a3;(2)a3·a2；(3)(x2)3;(4)(－2x2y3)2.【对应训练】1．