2024年辽宁省初中学业水平考试数学试卷（含答案解析）

2024年辽宁省初中学业水平考试数学试卷（样卷）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.某校仪仗队队员的平均身高为175cm,如果高于平均身高2cm记作+2cm,那么低于

平均身高2cm应该记作（）

A.2cmB.—2cmC.175cmD.—175cm

2.如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

4.下列运算正确的是()

A.2a+4=6aB.a2-a3―a5C.(2a)2=2a2D.a3+。3-a

5.一元二次方程一一2x-l=0根的情况是（）

A,有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

21

6.解分式方程4=—；时，将方程两边都乘同一个整式.得到一个一元一次方程，这

xX-1

个整式是（）

A.xB.x—1C.%(%+1)D.x(x-1)

7.一次函数丁=履+2的图象如图所示，下列结论正确的是（）

B.y随x增大而增大

C.图象经过原点D.图象经过第一、二、三象限

8.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短.引绳度之,

余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，

绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x

尺，根据题意可列方程为()

A.—(%—4.5)=x—1B.2x-l=x+4.5

C.](x+4.5)=x-1D.i(x+4.5)=x+l

9.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF

的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若NABE=150。，ZCDF=160°,则/£/平的度

A.20°B,30°C.50°D.60°

10.如图，线段AB=8,点P在线段A8上，且AP=5,分别以点A和点3为圆心，AP

的长为半径作孤，两弧相交于点C和点。，连接AC,BC,AD,BD,则点C到边AD

的距离是()

二、填空题

11.计算：应乂6="

12.如图，；AO3顶点A,3的坐标分别为(-M),(1,1),将二AC®平移后，点A的对应

点D的坐标是(1,2),则点B的对应点E的坐标是.

试卷第2页，共8页

13.甲袋中装有1个白球、1个黄球，乙袋中装有2个白球、1个黄球，这些球除颜色

外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球

的颜色都是白色的概率是.

14.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线08与

心一

函数y=4(x>0)的图象相交于点。，且OO:O8=l:&,若矩形Q4BC的面积为24,则

X

k的值是.

15.如图，在，ABC中，AB=BC,ZABC=90°,AC=3,以AC为边作正方形ACDE(点

A,C,D,E按逆时针方向排列)，5C和a的延长线相交于点F点P从点B出发沿BF

向点尸运动，到达点尸时停止，点Q在线段CD上运动，且始终满足DQ=*CP,连

接EP,PQ,QE,当的面积为5时，CP的长是.

三、计算题

16.计算：

(1)32X(-1+3)-(-16)^8；

四、问答题

17.某中学开展跨学科综合实践活动，需要准备A,8两种吸管，学校计划前往某超市

购买.通过调查，将获取的相关数据整理如下表：

购买数量（单位：包）

总费用（单位：元）

A种吸管B种吸管

1215171

2428332

（1）A种吸管、8种吸管每包各是多少元？

⑵该中学决定购买43两种吸管共100包，且总费用不超过600元，那么该中学最多

可以购买A种吸管多少包？

五、作图题

18.全球工业互联网大会永久会址落户沈阳.为了让学生了解工业互联网相关知识，某

校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：

A.数字挛生；B.人工智能；C.应用5G；D.工业机器人；E.区块链.为了解学生

的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且

有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图.

“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷

请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“口”内打气”（每名同学必选且只能选择其

中一项），非常感谢您的合作.

A.数字挛生口8.人工智能口C.应用5G□£）.工业机器人口£.区块链口

“工业互联网”主题日学生研学意向调查结果统计图

请根据统计图提供的信总，解答下列问题：

（1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图;

试卷第4页，共8页

（2）求扇形统计图中领域“8”对应扇形的圆心角的度数；

（3）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分

钟.由下面的活动日程表可知，A和C两场报告时间与场地已经确定.在确保听取报告

的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排D,E三场报告，补全此次活动日程

表（写出一种方案即可），并说明理由.

“工业互联网”主题日活动日程表

地点（座位数）1号多功能厅2号多功能厅

时间（200座）（100座）

8:00-9:30A

10:00-11:30C

13:00-14:30设备检修暂停使用

六、计算题

19.辽宁省今年南果梨喜获丰收.国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨

销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示.

⑴当XN4时，求销售金额y（元）与销售量X（千克）的关系式；

（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折

销售.若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算.

七、问答题

20.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开

长度AB=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度3c=25cm,遮阳棚固定点A距离地

面高度AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角/BAD=72°.

（1）如图2,求遮阳棚前端B到墙面AD的距离;

⑵如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角NCrG=60。，求遮阳棚在地面上的遮挡宽

度。尸的长（结果精确到1cm）.（参考数据：

sin72°»0.951,cos72°»0.309,tan72°*3.078,出土1.732)

八、证明题

21.如图，在中，AB=AC,以AC为直径的。交3c于点。，交54的延长线

于点E，连接CE,DE.

⑴求证：BD=CD；

24

(2)若BD=20,tanNMC=亍，求AC的长.

九、计算题

22.【发现问题】

“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下

排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠

放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化.

【提出问题】

试卷第6页，共8页

叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？

【分析问题】

小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：

第一层杯子的个数X12345

杯子的总数y1361015

然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2,小丽根据

图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小

丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3）,再借助“补”的思想，

补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与无的关系式.

【解决问题】

（1）直接写出y与x的关系式；

（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；

（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND,MA分别为上、下底面圆的半径，A2所对

的圆心角/AC®=60。，O4=24cm,OD=15cm.将这样足够数量的杯子按【发现问题】

中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm,求杯子叠

放达到的最大高度和此时杯子的总数.（提示：杯子下底面圆周长与A3的长度相等）

十、证明题

23.【问题初探】

（1）在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图1,在ACD中，/D=2NC,ABLCD,

垂足为8,且8C>AB.求证：BC^AD+BD.

A

CBD

图1

①如图2,小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取班=9，连

接AE,将线段8C与A。，BO之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系.

A

CEBD

图2

②如图3,小亮同学从"=2NC这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平

分线，分别与AC,CD交于F,E两点,连接AE,将ND=2NC转化为上□与NBE4之

间的数量关系.

图3

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

【类此分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明

两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了

下面问题，请你解答.

如图4,在RtAABC中，ZABC=90°,过点A作3c（点。与点C在AB同侧），

若ZADB=2NC.求证：BC^AD+BD.

(3)如图5,在四边形ABCD中，

AD=—,CD=g,sin。=|,ZBCD=ABAD,ZABC=3ZADC,求四边形ABCD的面

积.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.B

【分析】根据正负数的意义解答即可.

【详解】解：高于平均身高2cm记作+2cm,那么低于平均身高2cm应该记作-2cm.

故选B.

【点睛】本题考查正负数的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

2.A

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示:

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形

绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心

对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意.

故选：D.

4.B

【分析】根据同底数幕的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可.

【详解】解：A.2a+4H6”,原式错误；

235

B.aa^a,计算正确；

C.(W=4a2,原式错误；

口/3+”3=1,原式错误；

故选：B.

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【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是

解题的关键.

5.A

【分析】由△=/-4ac的取值可快速判断，根据△=〃一4ac=8>0可知方程有两个不相等的

实数根.

【详解1由x。—2x-1=。得△=〃-4℃=8>0,

一元二次方程一一2工-1=0有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用A=从_44c的值进行快速判断方程

根的个数.

6.D

【分析】确定各分式的最简公分母，两边同时乘以最简公分母即可.

7I

【详解】解：将;两边同时乘以x(xT)即可得到一个一元一次方程，

故选：D.

【点睛】本题考查解分式方程的步骤一化为整式方程，解题的关键是找到最简公分母.

7.A

【分析】根据函数图象逐项判断即可.

【详解】解：由函数图象得：y随x增大而减小，图象不经过原点，图象经过第一、二、四

象限，

k<0,

即B,C,D错误，A正确；

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确识别函数图象是解题的关键.

8.C

【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可.

【详解】解：设木长x尺，

根据题意有：g(x+4.5)=x-l.

故选C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方

答案第2页，共18页

程是解题的关键.

9.C

【分析】首先求出尸和/CDP,再根据平行线的性质求出ZBPN和/DPN即可.

【详解】解：VZABE=150°,/CDb=160。

二ZABP=180°-ZABE=30°,Z.CDP=180°-Z.CDF=20°,

AB//CD//MN,

：.ZBPN=ZABP=30°2DPN=ZCDP=20°,

ZEPF=ZBPN+NDPN=50°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键.

10.A

【分析】连接8交AB于E，求出CE,可得8的长，然后根据ACD面积的不同求法列

式求解即可.

【详解】解：连接。交A8于E

A

由作图可得CD垂直平分AB,AC=AD=AP=5,

AE=—AB=4,

2

CE=YIAC2-AE2=3,

VAC=AD,AELCD,

：.CD=2CE=6,

设点。到边AD的距离为人

：.sACD=^AD-h=^CD-AE,

.7CDAE6x424

・,/=---------=------=——,

AD55

故选：A.

【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，勾股定理,熟练掌握等面积法的应用是解题的关键.

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11.瓜.

【详解】解：0x6=后；故答案为".

点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则G-班=疝是

本题的关键.

12.(3,2)

【分析】根据点A和点。的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形

平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点E的坐标.

【详解】解：由题可知A(-l,l)平移后得到点。(1,2)；

，是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度；

点B(U)先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；

...点E(3,2)；

故答案为(3,2).

13.-

3

【分析】根据列表法得出所有可能结果，根据概率公式求概率，即可求解.

【详解】解：列表如下，

白球白球黄球

白球都是白球都是白球1黄1白

黄球1黄1白1黄1白都是黄球

共有6种等可能结果，符合题意的有2种，

21

・・・摸出的两个球的颜色都是白色的概率是:=4，

63

故答案为：J.

14.12

【分析】过点。作DEJLx轴于点E,可得QDEs.OBA,根据相似三角形的性质可得

SDEO(OD^1

根据已知条件得出SAAB。=12,进而根据反比例函数上的几何意义,

ABOV°B)2

即可求解.

答案第4页，共18页

【详解】解：如图所示，过点。作轴于点

・・,四边形。4BC是矩形，

・・・ZBAO=9Q0,

/.DE//AB,

:.ODES：QBA,

•：OD:OB=、e，

...S./叫j

SABOIOB)2

•・•矩形。钻。的面积为24,

S/XABO=12

SnriF=—xl2=6

k

•.•函数）=一（%＞。）过点。，

x

贝祖=6

2

又・・・。在第一象限，

:.k=n

故答案为：12.

15.近或2巧-3亚

【分析】分两种情况：①当点尸在线段BC上运动时，过点尸作「MLCD,交OC延长线于

点M,先证出PQM'QED,再证出PQ=EQ,NPQE=90。，利用三角形的面积公式求

解即可得；②当点尸在线段CP上运动时，过点尸作PNLCD于点N,连接CE,先求出

NECF=90°,RtZXCPN是等腰直角三角形，再设CP=x（x＞。），则OQ=#x,从而分别

求出尸N,CQ的长，然后根据|5虑°+532-$1{,。』=5012=5建立方程，解方程即可得.

【详解】解：①如图，当点尸在线段BC上运动时，过点P作PA/J_CD,交。C延长线于点

M,

答案第5页，共18页

D

•・•四边形ACD£是正方形，AC=3,

.\CD=DE=AC=3,ZEDQ=ZACD=90°,

:.ZACM=90°,

•・•在ABC中，AB=BC,ZABC=90°,

ZACB=45°,BC=ACcos45°=-A/2,

2

,\ZPCM=45°,

.•,RtPO0是等腰直角三角形，

:.PM=CM=CP-cos45°=—CP,

2

DQ=qCP,

PM=CM=DQ,

:.QM=CQ+CM=CQ+DQ=CD=ED,

在.PQM和一Q石。中，

PM=QD

<ZM=ZEDQ=90°,

QM=ED

二.PQM均QEO(SAS),

/.PQ=EQ,ZPQM=ZQED,

/.ZPQE=180°-ZPQM-ZEQD=180°-ZQED-ZEQD=90°,

EP。的面积为5,

11

92

:.-PQEQ=-EQ=5f

解得£Q=A或EQ=-M<0(不符合题意，舍去)，

/.DQ=ylEQ2-DE2=1,

答案第6页，共18页

又.DQ=^CP,

CP=41DQ=5/2；

②如图，当点尸在线段C/上运动时，过点尸作PNLCD于点N,连接CE,

•••四边形ACDE是正方形，

."CE=45。，CE=732+32=3V2-

ZDCF=180°-90°-45°=45°,

ZECF=90°,RtACPW是等腰直角三角形，

CN=PN=sin45°-CP=—CP,

2

设CP=x（x>0）,则。0=#尤，PN=^x,

:.CQ=CD-DQ=3-^x,

又|£CE°+S、CPQ—SRI.CEP卜S£pg=5,

^DECQ+^PNCQ-^CECP=5,

,i，0rl夜心血i一万<

2l2J22I2J2

整理为卜+6&r—18|=20,

即》2+60X-18=20或无2+6&了-18=—20，

解方程犬+6也.18=20得：x=2y/14-3y/2^x=-2y/l4-3y/2<0（舍去），

解方程尤2+6也》-18=-20得：尤=4-3忘<|&（此时点P在3C上，不符合题设，舍去）

或》=-4-3正<0（舍去），

综上，CP的长是应或23点，

故答案为：应或2m-30.

答案第7页，共18页

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形

全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，正确分两种情况讨论，通过作辅助线，构

造全等三角形是解题关键.

16.(1)20

(2)x+l

【分析】(1)根据有理数的混合运算法则计算即可;

(2)根据分式的混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解:32X(-1+3)-(-16)-8

=9x2-(-2)

=18+2

=20；

(2)解:

(JC-1)(X+1)尤+1

x+1x-1

=x+l.

【点睛】本题考查有理数的混合运算，分式的混合运算.熟练掌握各运算法则是解题关键.

17.(1)4种吸管、8种吸管每包各是8元，5元；

⑵该中学最多可以购买A种吸管33包.

【分析】(1)设每包A种吸管、2种吸管每包分别为x元，y元，列出方程组即可解答;

(2)由题意列出不等式即可.

【详解】(1)解：设每包个A种吸管、8种吸管每包分别为x元，y元，

12x+15y=171

依题意可得:

24x+28y=332

x=8

解得:

y=5'

答：A种吸管、B种吸管每包各是8元，5元;

(2)解：设购买A种吸管。包，则8种吸管为(10。-。)包,

答案第8页，共18页

根据题意可得：8a+5(100-a)W600,

解得：aW33：,

。为正整数，

,该中学最多可以购买A种吸管33包.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识，解题的关键

是理解题意，列出方程组和不等式即可.

18.（1）40人，统计图见解析

（2）54°

（3）见解析

【分析】（1）根据统计图，用A领域的人数除以占比即可得出总人数，进而求得。的人数,

从而补全条形统计图;

（2）根据领域“8”的占比乘以360。即可求解;

（3）根据样本估计总体，分别求得民RE的人数，进而根据表格数据即可求解.

【详解】（1）解：总人数为4+10%=40（人）

。的人数为：40-4-6-10-8=12（人）

（2）解：扇形统计图中领域“8”对应扇形的圆心角的度数为二'36（）。=54。

40

（3）解：3的人数有：600x3=90（人）

40

12

。的人数有：600x—=180（人）

40

0

E的人数有：600X—=120（人）

40

90<100,100<120<180<200

答案第9页，共18页

B场次安排在2号多功能厅，。,石安排在1号多功能厅

补全此次活动日程表如图所示，

“工业互联网”主题日活动日程表

地点（座位数）1号多功能厅2号多功能厅

时间（200座）（100座）

8:00-9:30DA

10:00-11:30CB

13:00-14:30E设备检修暂停使用

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合运用，样本估计总体，熟练掌握是解题的

关键.

19.⑴y=12x+32

（2）甲超市更划算

【分析】（1）设销售金额y（元）与销售量无（千克）的关系式为y=用待定系数法

即可求解；

（2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解.

【详解】（1）解：依题意，当无“时，

设销售金额y（元）与销售量X（千克）的关系式为，=区+"

将（4,80）,（10,152）代入得，

J4左+6=80

]10%+6=152

y=12x+32

（2）解：依题意，甲超市：12x12+32=176（元）

乙超市：20x0.8x12=192（元）

V176<192

答案第10页，共18页

.••甲超市更划算.

20.⑴遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm

⑵遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm

【分析】(1)作破，4)于E,在RtZkABE中，根据sinZB4E=——列式计算即可；

AB

(2)作BE,于E,SJL于H,延长BC交DG于K,则BK1DG,可得四边形BEHC,

四边形HDKC是矩形，解直角三角形RtA4BE求出AE,可得CX=Da=210cm,然后

RtZkCFK中，解直角三角形求出FK,进而可得£＞尸的长.

【详解】(1)解：如图3,作郎_]_4。于E,

RFBF

在RtAABE中，sinZBAE=—,gpsin72°=—,

・•・BE=sin72°x200«0.951x200=190.2cm,

答：遮阳棚前端3到墙面AD的距离约为190.2cm；

(2)解：如图3,作6石，AD于E,8，"＞于“，延长3C交OG于K,则BKLOG,

图3

・•・四边形四边形HOKC是矩形,

由(1)得班=190.251,

・•・DK=HC=BE=190.2cm,

AEAF

在中,cosZ.BAE=----,即cos72。=---,

AB200

AE=cos72°x200«0.309x200=61.8cm,

由题意得：EH=BC=25cm,

・•・DH=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cmf

・•・CK=DH=210cmf

「K91n

在RtZXC定K中，tanNCTK=——,gptan60°=——

FKFK

答案第n页，共18页

210210

FK=«121.25cm

tan60°A/3

・・・DF=DK-FK=190.2-121.25«69cm,

答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度。尸的长约为69cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出

直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.⑴见解析

(2)AC=25

【分析】(1)连接AD,根据直径所对的圆周角是直角可得再根据等腰三角形三

线合一的性质得出结论；

24

(2)由圆周角定理结合已知可得tanZE4C=tanNE£)C=亍，设AE=7x,则EC=24x,

求出跖=32%,然后在RtZk5EC中，利用勾股定理构建方程求出工即可.

【详解】(1)证明：连接AD,

〈AC是O的直径，

AZADC=90°,^ADIBC,

;AB=AC,

：.BD=CD；

(2)角军：VZEAC=ZEDCf

24

tan/EAC=tan/EDC=一,

7

〈AC是。的直径，

：.ZAEC=90°,

丁…EC24

tanNEAC=----

AE7

设AE=7x,则EC=24x,

；•AC=^]AE2+EC2=25x，

答案第12页，共18页

・•・AB=AC=25x,

BE=AB-]-AE=25x-^lx=32x,

BD=20,

：.BC=2BD=4。,

在RtABEC中，BE2+CE2=BC2,

：.（32尤）2+（24尤）2=402,

解得：x=l（负值已舍去），

二AC=25x^25.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，正切的定义，勾股定理的应

用等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键.

22.（1）y=；/+；无（2）第一层杯子的个数为8个；（3）杯子叠放达到的最大高度为15后加

和此时杯子的总数为55个

【分析】（1）根据题意，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3）,再借助“补”的思想，

补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出，与无的关系式；

（2）将y=36代入（1）中的解析，即可求解；

（3）根据弧长公式先求得=4cm,根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子10个，进

而求得总数，根据得出ONDsOMA,勾股定理求得的长，利用相似三角形

的性质得出的长，进而即可求解.

【详解】解：（1）依题意，y=^（x+l）x=^x2+^x；

（2）当y=36时，一无2H—x=36,

22

解得：士=8,%=-9（舍去），

答：第一层杯子的个数为8个；

（3）&=6°：”^=8兀,8n-2nxMA,

180

解得：M4=4cm；

•••第一层摆放杯子的总长度不超过80cm,

设第一层杯子的个数为x个，则4x2xV80,

解得：X<10,x取最大值为10,

即第一层摆放杯子10个，杯子的层数也是10,

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...杯子的总数为y=；（10+l）xl0=55（个），

在图4中，OA=24cm,OD=15cm,

NDMA,

：..ONDSOMA,

.NDODON15_5

MA~OA~OM~'

在Rt/VMM中，OM==V242-42=4735，

：.ON=-OM=^^-,

82

:.MN=OM-ON=—辰,

2

/.最大高度为10xMN=15A/35cm.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练

掌握以上知识是解题的关键.

1444

23.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）—

【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得

AE=AD=CE,WffiBC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，先证

AE=EC,ZD=ZAED,推出=再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD,进

而可证BC=CE+BE=AD+3D；

（2）过点A作/叱//。3交CB的延长线于点E,证明四边形AE3O是平行四边形，推出

AD=BE,AE=BD,ZADB=ZE,在BC上截取班'=同（1）可证

BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；

（3）延长A5交。C的延长线于点E,作AH工DE于点H,作BFLDE于点F,先通过导

角证明NO=NE,ZBCE=2ZE,同（1）可得EF=BC+CF.再利用勾股定理、锐角三角

函数解直角三角形，求出EAD,E3C的底和高，根据四边形ABCD的面积MS^D-SEBC

即可求解.

【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：

如图，

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A

，AB是线