2023-2024学年甘肃省武威市数学高二年级上册期末经典试题含解析

2023-2024学年甘肃省武威市数学高二上期末经典试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线三-匕=1,则双曲线的离心率为()

54

1

A.-D.-------

55

9

c.一D.史

55

22

2.已知椭圆C：j+当=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为月,耳，过工的直线与椭圆C相交P，。两点，若「耳，P8,

ab

且|。引=2|则椭圆C的离心率为()

2R6

A.-15.------

33

3

D.-

4

3.平行六面体ABCD-4gGR的各棱长均相等，ZBAD=90°,=Z^AB=60°,则异面直线BDX与D\

所成角的余弦值为()

A近B.B

66

----D.逅

33

4.已知点A(2,3),3(-3,-2),若直线/过点P(3,l)且与线段A3相交，则直线/的斜率左的取值范围是()

c,1

A.k>-^k<-2B.-2<k<-

22

,1

C.k>-2D.左W—

2

5.过原点。作两条相互垂直的直线分别与椭圆工+V=1交于A、C与夙D,则四边形A5C。面积最小值为()

2

8

A-B.4V2

3

4

C.2V2D.-

3

6.过抛物线>2=4x的焦点R的直线交抛物线于A,3两点，点。是原点，若|AF|=3；则AAO5的面积为()

B.72

2

「3&

--D.2V2

2

22

7.已知曲线c：L+2L=i,下列命题错误的是()

mn

A.若机>〃>0,则。是椭圆，其焦点在x轴上

B.若机=〃>0,则C是圆，其半径为薪

C.若相〃<0,则。是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若m>0,n<0,P为C上任意一点,耳,弓为曲线C的两个焦点，贝!||尸耳|—|P7寸=2加

8.在长方体ABC。—A4G，中，AB=AD=2AAl,E,R分别是棱44,8C的中点，则异面直线。石，D.F

的夹角为O

A兀71

A.—B.—

64

715冗

C.—D.—

312

Q

9.记不超过X的最大整数为国，如[-0.5]=—1,团=3.已知数列｛4｝的通项公式4=10g2-,则使420的

正整数”的最大值为()

A.5B.6

C.15D.16

22

10.um>0,〃<0”是“方程上+匕=1表示双曲线”的()

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正

方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点

恰好取自白色部分的概率为（）

)

B.(-co,e)

D.(-1,+co)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在空间直角坐标系O—xyz中，平面OAB的一个法向量为〃=（2,—2,1）,已知点P（—1,3,2）,则点P到平面OAB

的距离d等于__________________

14.曲线y=xsinx在尤=]处的切线方程为.

15.在锐角―ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2sinAcos5=2sinC-sin6,b=5,ACBC=5>

则.ABC的面积为

16.已知数列｛4｝,｛〃,｝都是等差数列，公差分别为4,右，数列｛%｝满足q,=a〃+2d，则数列｛%｝的公差为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知｛4｝是等差数列，%=1，4=9.

（1）求｛。“｝的通项公式；

（2）若数列｛2―q｝是公比为3的等比数列，仿=1,求数列｛a｝的前九项和S”.

22]

18.（12分）已知椭圆C：・+方=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为用，Fi,离心率为不，椭圆C上点M满足

|MF;|+|M^|=4

（I）求椭圆c的标准方程:

（2）若过坐标原点。（0,0）的直线/交椭圆C于P,。两点，求线段尸。长为。时直线/的方程

19.（12分）已知椭圆C:[+；=l（a〉6〉0）的离心率为立，椭圆的上顶点到焦点的距离为2.

ab~2

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线/：,=丘+机与椭圆C相交于A、3两点（A、3不是左、右顶点），且以A3为直径的圆过椭圆C的

右顶点E,求证：直线/过定点.

20.（12分）设正项数列｛4｝的前〃项和为S”,已知q=2,4s“=4+「4〃-4

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列也,｝满足勿=黑，数列收｝的前〃项和为Tn,若不等式（-1）"•2<，+乙对一切〃eN*恒成立，求彳的

取值范围

21.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为s“，并且满足a=l，S+i=S"+〃e+l）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵若2卷，数列也｝的前〃项和为T",求证：Tn<3.

22.（10分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台。的北偏西45。方向2拒km处设

立观测点A,在平台O的正东方向12km处设立观测点B,规定经过0、A、5三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如

图所示：以。为坐标原点，。的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系

y

A\Q/

'、、、_____®

C

（1）试写出A,8的坐标，并求两个观测点A,5之间的距离；

（2）某日经观测发现，在该平台。正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时8J7km的速度沿北偏东45。方向行驶，

如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多

长时间？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由双曲线的方程及双曲线的离心率e=即可求解.

VCT

22

【详解】解：因为双曲线所以/=5万"

所以双曲线的离心率

故选：D.

2、B

【解析】设|《。|=加,|盟|=2相，由椭圆的定义及PK入，结合勾股定理求参数机，进而由勾股定理构造椭圆

参数的齐次方程求离心率.

【详解】设|理2|=司尸阊=2根,椭圆的焦距为2c,则忸耳|=2a-2m,|Q周=2a-m,

a

由尸耳,2耳，有(2a—根)2=(2a—2加丁+9加2,解得m=—

3

49C_非

所以|P娟=§Q,|P闾=§Q,故4c2

a3

故选：B.

3、B

【解析】利用基底向量A3,4),44表示出向量8R,DA＞即可根据向量夹角公式求出

【详解】如图所示：不妨设棱长为1,

ZMj=A4j-AD,BD}=BA+AD+DD}=-AB+AD+AAl,

所以5n=(A4,—ADX—AB+AD+M)：—明.四+"2—AZ>2=_g,

同=河-叫=1,如卜,AB+AD+M=6,

即cos。2,以〉=V=_立，故异面直线BD'与所成角的余弦值为恪

故选：B

注意事项：L将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.

4、B

【解析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果

【详解】解：直线/过点尸(3,1)且斜率为3与连接两点42,3),3(-3,-2)的线段有公共点,

由图，可知七p=H=-2，kBP=,

当-24左三工时，直线/与线段AB有交点

2

5、A

【解析】直线AC、8。与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABC。面积最小值，再比较大小

即可作答.

【详解】因四边形ABC。的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABC。的四个顶点为椭圆顶点时，而

a=A/2,b=19

四边形A5CZ)的面积S=工|AC|•|BD|=工x272x2=20,

22

y=kx

当直线AC斜率存在且不。时，设其方程为y=依，由〈消去y得：(232+1)/—2=0,

x2+2/=2

2

设(，9则%+%2，2=—

AX%),C(%2,%)=°%%2—1

直线80方程为y=-5x,同理得：|BD|=2AM-^

k11\k2+2

Ik4+2k2+l'18

S=^\AC\-\BD\=44

12/4+5/2+213

则有2+——

12+^4———

Vk+2k-+lk2+

12L

当且仅当左2=F，即左=—1或左=1时取“="，而§<2声,

Q

所以四边形ABCD面积最小值为--

故选：A

6、C

【解析】抛物线9=4x焦点为尸(1,0),准线方程为1=-1,

由|AF|=3得4(2,20),，-拒)或4(2,-272),,拒)

所以司义|%—力|=gxlx|20+0卜半，故答案为C

考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系

7、D

【解析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.

22

【详解】曲线。:二+乙=1,若%>〃>0,则。是椭圆，其焦点在x轴上，故A正确;

mn

若m=〃>0,则C：%2+y2=〃，即。是圆，半径为金，故B正确;

若m几<0,则。是双曲线，当相则渐近线方程为丁=x=±,当根<0,〃>。，则渐近线方

程为y=±^=X=土、-巴X,故C正确；

yj-mym

若加>0,n<0,则C是双曲线，其焦点在x轴上，由双曲线的定义可知，|必|一|。7引=2诟，故D错误;

故选：D

8、C

【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.

【详解】如下图所示，以D4,DC,所在直线方向x,V,z轴，

建立空间直角坐标系，设A3=AD=2AA=2,A(2,0,D,。(。,。,。)，

0(0,0,1),£(2,1,1),F(l,2,0),所以。£=(2,1,1),D,F=(1,2,-1),

DEDF1

设异面直线OE,2歹的夹角为e,所以cos6=_=-,

1国*I2

7T7T

所以。=丁，即异面直线OE,2P的夹角为；.

33

【解析】根据取整函数的定义，可求出外,%，•,45的值，即可得到答案;

【详解】=[log28]=3,a,=[log24]=2,

88

a10lo

3=§2-=1，，%=g2y=1，

—[log21]=0,，…当5=log2—=0,

,1,

ai6=1呜-=-1L,

818「8一

当“之17时，一〈二nlogo-v-lnq,=log-<0,

n2nn2

使a”20的正整数n的最大值为15,

故选：C

10、A

【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可

22

【详解】由相>0,凡<0可知方程土+匕=1表示焦点在X轴上的双曲线；

mn

22

反之，若二十匕=1表示双曲线，则相〃<0,即根>0,〃<0或加<0,〃>0

mn

22

所以“机>0,n<Q”是“方程土+匕=1表示双曲线”的充分不必要条件

mn

故选：A

11、A

【解析】设七巧板正方形边长为4,求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.

【详解】设七巧板正方形边长为4,则大阴影等腰三角形底边长为4,底边上的高为2,

可得小正方形对角线长为2,小正方形边长为四,小阴影等腰直角三角形腰长为四，

小白色等腰直角三角形底边长为2,则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2,

因此，图中阴影部分面积S'=；x4x2+gx(后f+gx22=7,

而七巧板正方形面积S=4?=16，

于是得七巧板中白色部分面积为S-S'=16-7=9,

9

所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为P=—.

16

故选:A

12、D

【解析】求出r(x),令r(%)>o可得答案.

【详解】由已知得f'(x)=ex+xex=(l+x)ex,

令f(x)>0,得彳>-1,

故函数/(x)=x/的单调增区间为(-1,+00).

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则

d=|-^pl,:op.”=(-1,3,2).(2,-2,1)=-6,|w|=V4+4+1=3/.d=g=2即点P到平面OAB的距离为2

考点：空间向量在立体几何中的运用

14、y=x

【解析】先求出函数y=xsinx的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.

【详解】解：由y=xsinx,

得y'=sin%+xcosx,

则y'U，

2

即当尤=工时，y=—i

2-2

所以切线方程为：

故答案为：丁=*.

【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

15.10^

【解析】根据sinC=sin(A+B)求出A=1,由向量数量积得到acosC=l,使用余弦定理得到方程组，求出。=8,

利用面积公式求出结果.

【详解】因为sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8,所以2sinAcos5=2sinAcos6+2cosAsin6-sin5,即

2cosAsin5=sin8,而因为ABC是锐角三角形，所以所以sinB>0,所以cosA=g,因为

Ae|0,^L所以A=巴，即cosA,厅+厂一矿二工,因为3=5,所以至型二二£=工，整理得：

I2；32bc210c2

c?_5c+25=0①，其中AC-BC=5，即"cosC=5,因为3=5,所以acosC=l,即

cosC=fl+25~C-=->解得：。2—/=]5②，把②代入①得：5c=40,解得：c=8,贝!JABC的面积为

10。a

—Z?csinA=-x5x8x=10A/3.

222

故答案为：IOJ^

16、dx+2d2##2J2+dx

【解析】利用等差数列的定义即得.

【详解】•.•数列｛4｝,｛〃｝都是等差数列,公差分别为4,右，数列｛%｝满足。“=。”+22,

•**c“+i—cn=an+1+2bn+1-（an+2b]=an+1-an+2（%-线）=4+2d2.

故答案为：4+24.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=2n-3

n

(2)Sn=3+rr-2n-l

a,+d=l,

【解析】(i)由题意得一c解方程组求出q，d,从而可求出数列的通项公式，

4,+54=9,

(2)因为也—%｝是公比为3的等比数列，又〃=1,%=—1,所以2―%=伍—q)x3"T=2x3"T,从而可得

a=2x3”T+4=2x3"T+2〃-3,然后利用分组求和法求解即可

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为小

ai+d=l,

由题意得＜

q+5d=9,

解得。i=-1,d—2.

所以册=%+（九一l）d=_]+（/?—1）x2=2/z—3.

【小问2详解】

因为｛2—。〃｝是公比为3的等比数列，又伪=1，q=T，

所以〃—/=3—2X3”T=2X3"T,

所以a=2x3"T+凡=2x3"T+2〃—3.

所以*=2(30+3]+32++3"-1)+2(l+2+3++n)-3n

1—3〃2n(l+n}

=2x-------+———L_3n

1-32

=3"+"2—277—1.

22

18、(1)—+^=1

43

⑵y=±*

C1

e=—=—

a2

【解析】（1）依题意可得2。=4,即可求出。、b,即可求出椭圆方程;

c2=a2-b2

⑵首先求出直线斜率不存在时弦归。|显然可得直线的斜率存在，设直线方程为y=丘、P&，x）、。（九2，%），

联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出左，即可得解;

【小问1详解】

c1

e=­=—

a2

〃=2r2v2

解：依题意＜2。=4,解得＜厂，所以椭圆方程为土+匕=1；

b=/343

c2=a2-b2y

【小问2详解】

解：当直线的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,此时|PQ|=2后，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方

|22

工工=1

程为y=贝卜43—，消元整理得(3+4犷b2_12=0,设P(%QJ,Q(%,%)，则%+工2=0,

、y=kx

_j2_____I----------------]_____I解得…白

x/2=3+4左2，所以|尸。|==E，即J1+勺—4x

所以直线/的方程为y=±Y3%;

2

2

19、(1)—+y2=1；

4'

(2)证明见解析.

【解析】(1)根据已知条件求出。、b.c的值，可得出椭圆的标准方程；

(2)设4(%,乂)、6(%,%)，将直线/的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出出.磴=0，

利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于左、加所满足的等式，然后化简直线/的方程，即可求得直

线/所过定点的坐标.

【小问1详解】

解：椭圆上顶点到焦点距离右方=。=2，

22

又椭圆离心率为e=£=走，故°=有，Z?=A/a-c=1-

a2

因此，椭圆方程为土+9=1.

4

【小问2详解】

解：设4(%,%)、B(x,,y2),由题意可知为w±2且々/±2,

椭圆。的右顶点为£(2,0),则£A=(x-2,yJ=(七一2,村+和)，EB=[x2-2,kx2+m),

因为以A3为直径的圆过椭圆C的右顶点，

所以有AE±BE>则=-2)(尤2-2)+(回+〃。(3+和)=0,

2

即(左2+1)/龙2+(^?-2)(%]+x2)+m+4=0,

y=kx+m

联立<f=>[1+4^2)%2+8bnx+4m2-4=0,

—+y=1、)

[4'

A=64A:W-16(4r+l)(m2-l)=64F-16m2+16>0,BPm2<4Zr2+B①

—8km4m2-4

由韦达定理得％+x2=7

叱2=17瓦

(%?+1)(4/〃2-4)-8km(km-2)

所以，EAEB=+疗+4=0，

4k2+1

化简得12左2+16而+5疗=0，即加=—2左或机=-•|左，均满足①式.

当相=—2k时，直线/：y=履一2左，恒过定点(2,0),舍去；

当m=-g左时，直线/:y=kr—g■左，恒过定点|1,。］.

综上所述，直线/过定点［g,o；

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参

数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(5，%)，常利用直线的点斜式方程y—%=左(》—%)或截距式>=依+6来证明.

20、(1)an=In；

(2)-2<2<3.

【解析】(1)利用4,S”的关系求｛a,,｝的通项公式；

(2)由(1)得占，应用错位相减法求T,，根据不等式，讨论"的奇偶性求参数范围即可.

【小问1详解】

由题设，当时4sM=d一4〃，贝!I4S〃—4s。：一4,

整理得*i=(4+2)、4>0，贝!1%+1-%=2,

当”=1时，4sl=。；—8,又q=2得：a2=4,故4-4=2,

所以数列｛4｝是首项、公差均为2的等差数列，故=2”.

【小问2详解】

由(1),—=a=二，

n2〃2〃2〃一1

所以4=lx^+2x^r+3x^-+...+(n-l)x^-r+nx^-r,弓=lx/+2x*+…+(n—l)x^T+“x/,

711111n+2.f.〃+2

两式相减得;~=玄+夕+至+...+夕7-〃><夕=2---,故Z,=4--

/,

­/八〃czz+2n.2

所以(T)4<44-可「尸=4—尸

令/(")=4(“eN*),易知：/⑺单调递增，

2

若〃为偶数，贝!M<4—三,"(〃),所以4<3；

2

若〃为奇数，则—2<4—井,,/(“)，所以—2<2,即2>—2

综上，—2<A<3

21、(1