2023届上海市静安区高三二模数学试卷及答案

静安区2022学年第二学期教学质量检测

高三数学试卷20234

考生注意：

1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2,本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择

题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,]

1.若集合A={2,log2d},B={a,b）,且APlB={0},则AUB=.

2.已知{即}是公比为q的等比数列，且。2、。4、成等差数列，贝叼2=.

9

3若复数z三（i为虚数单位），则|zi|..,

1i

4.已知AQ2）,B（WD两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为

5已知0,,且3cos28cos5,则cosa=.

6.已知aABC中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,则4ABC面积的最大值为.

7.已知函数/（x）=X-（a>0）为偶函数，则函数〃尤）的值域为.

&已知向量琵=（1,0,且心了的夹角卷•，（况通{2a-3）=4,则b在防向上的投影

向量等于___________.

9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估

计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示得到脂肪含量和体

重的数据如下：

个体编号体重X(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：•（结果中回归系数保留三位小数）

10.如图，正方体ABCD-ABCD中，E为AB的中点,F为正方形BCCM的中心,则直线EF与

1

侧面BB,CC所成角的正切值是.

1L今年是农历癸卯兔年一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这

种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布N(500,2.52)的随机变量.若质量指标介于495g

(含)至505g(含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包

装的可能性大小为_______%.(结果保留一位小数)

(已知。)«0.8413,(2)x0.9772,(3)工0.9987.⑶表示标准正态分布的密度函数

从-8到x的累计面积)

12若IO,一1Uy=lU其中x.yeR,则2xy

的最小值为__________.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5

分)

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂

黑，选对得相应分值，否则一律得零分.]

13.若直线1的方向向量为才，平面的法向量为方，则能使1//的是()

A.^=(1,0,0),^=(-2,0,0)B.才=(1,3,5),讨=(1,0,1)

C,—=(1,-1,3),”=(0,3,1)D.才=(0.2,1),方=(-L0,-1)

14.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing'摩天轮是上海首个

悬臂式屋顶摩天轮摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极

具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿

舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，h=-28cos(?)+

78.若在t,/时刻，游客距离地面的高度相等,则tt的最小值为q)

A.6B,12C.18D.24

15.设直线h：x2y20与12关于直线l：2xy40对称，则直线b的方程是()

A.llx+2y-22=0B.llx+y+22=0

C.5xy110D.lOxy220

16.函数y=xInx()

A.严格增函数B.在P'三上是严格增函数，在(I+8)上是严格减函数

C.严格减函数D.在10'"上是严格减函数，在Q,+8)上是严格增函数

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.]

17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分)

已知各项均为正数的数列｛册｝满足的=1,an=2an_i+3(正整数n>2).

(1)求证：数列｛斯+3盘等比数列；

(2)求数列｛%｝的前n项和Sn.

18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分)

如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD,AD//BC//FE,ABLAD,gAD=2t

AF=AB=BC=FE=1.

(1)求五面体ABCDEF的体积；

(2)若M为EC的中点，求证：平面CDE平面AMD.

19.(本题满分16分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分)

已知双曲线：黑—2=1(其中，)的左、右焦点分别为()

(其中c>0).a>0b>0,-c,0、?2。0)

(1)若双曲线过点⑵1)且一条渐近线方程为y=9x；直线1的倾斜角为a在y

轴上的截距为-2.直线1与该双曲线交于两点A、B,M为线段AB的中点，求△MFFz

的面积；

(2)以坐标原点0为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P.过

P作圆的切线，若切线的斜率为-齐，求双曲线的离心率.

20.(本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分)

概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.

(1)随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春

天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，

其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练，都是从

中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球个数为，

求随机变量的分布和期望.

(2)由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率?

研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听

电话?如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人

习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧

的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.

根据上述信息写出下面这张2X2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的

部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.(显著性水平=0.05)

习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计

脑瘤部位在左侧的ab42

病人

脑瘤部位在右侧的Cd46

病人

总计Q+Cb+d88

~=n(ad-bc)2

参考公式及数据：其中

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=Q+b+c+dP(2>3.841)«0.05

21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)

小题满分8分)

已知函数f(x)(al)xalnx.(其中a为常数)

(1)若。=-2,求曲线yf0在点(2,/Q))

处的切线方程；

(2)当a<0时，求函数y=f(x)的最小值；

(3)当0Wa<l时，试讨论函数y=f⑸的零点个数，并说明理由.

静安区2022学年第二学期教学质量检测

高三数学试卷

20234

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）

1.{0,1.2}2.13诉

4:+匚=1里+等=1）5.4.6.3

丁Z11

7.（0,1]&（H）9.y=0.186x+ll.571

10.孚11.95.4或95.5都对.12.l+21g2

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5

分)

13.C

14.B

15.A

16.D

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

区域内写出必要的步骤■1

17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分)

解：(1)证明：已知递推公式斯=2斯_1+3,两边同时加上3,得

%+3=2(an-i+3fn>2),

an>0,+3>0,故^^•=2(nN2),

(直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：_2J+3+3_)

又的+3=4,所以数列｛斯+3｝是以的+3=4为首项、以2为公比的等比数列.

(2)数列｛册+3｝通项公式为4=2计1-3,Sn=华箸=Zn+2_4_3n

18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分)

解：证明⑴因为AD=2,AF=AB^BC=FE=1'取AD中点N,连接EN,

因为4D〃BC〃FE,所以EN//AF,EN=AF=1,CN〃=AB=1

又FA_L平面ABCD,AB±AD,所以EN平面ABCI),ABF-NCE为底面是等腰直角

三角形的直棱柱，高等于1,三棱锥E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面体ABCDEF的体积=棱柱ABE-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积.

1112

BP：V=-xlxlxl+-x-xlxlxl=-.

（2）以A为坐标原点，以为x,¥z轴正半轴建立空间直角坐标系.

---()1

点C(l,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),,f,),所班。=0,2,0,MD^Z，1,一

29…)

——r^-7®r=i-L=o

得至ij：CEYC=0,

所以CEAD,CEMD

所以CE平面AMD

又CE平面CDE,

平面CDE平面AMD.

证法2:因为AC=AE=V2,所以^ACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以AMCE；

同理在4NCE中，MNCE,（N为AD中点）

又AM、MN平面AMD,

所以CE平面AMD

又CE平面CDE,

平面CDE平面AMD.

（说明：推导CE平面AMD的路径不唯一）

19.（本题满分16分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分）

鼠=1渐近线方程为y=±

解：Q）双曲线：犷一-xy=与x

0,已知一条渐近线方程为2

所以a=y/2b,

双曲线经过点（2,1）,所以3一;=1

解得a2=Z,必=1.

所以，双曲线：y-y2=1,

直线1的倾斜角为京则斜率为1,方程为：y=x-2,代入双曲线方程得：

x2-8x+10=0,设两点A、B坐标分别为（%小）、仅“2），则

+%2=8,x=4,y=2.

F1F2=2V3,△时尸1尸2的面积=，x2>/3x2=2y/3.

⑵圆方程：N+y2=C2,

方法1：设过p作圆的切线与X轴交于点Q,由PQ斜率为-避，可知直角三角形POQ

中,OP=c,PQO=1PQ=*,0Q等c,从而点P的纵坐标等于

因为点P在圆X2+Y2=C2上，所以代入计算得点p的横坐标等于9G点P又在双曲线

：.一、=1上,将臣,#)代入得篝-1=4,

离心率e=：>l,炉=。2-。2,所以3e2-1=4,整理得304-戊2+4=U解得

e2=2,所以双5线的离心率为亚?

方法2:将圆方程与椭圆方程联立，求得P(巫匕吟，过点P的切线方程为坦巴x+

CCC

：y-c2=0,若该切线的斜率为一©则一空1匕晟=-W，即a2©2+c2尸3b4"2=

c2-a2代入整理得：3c4-8a2c2+4a4=0.e=51,3e^-8e2+4=0,解得e2=2,

所以双曲线的离心率为调.

20.(本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分)

(1)解：第一次训练时所取的球是从6个球(3新，3IH)中不放回取出2个球，所以可判

断出服从超几何分布，可取的值为0,1,2.

p0Lp10；C2.p2-

C65C©5C65

22

/012\

的分布为：2.三£I

\555/

1R1

E011-2-1

555

(2)a=14,b=28,c=19,d=27,a+c=33,b+d=55.

提出原假设Ho：患脑瘤在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关.

计算2的值，2力595.

统计决断：由P(2>3,841)«U.0b而O.595<3.841,小概率事件没有发生，故不能否定原

假设.

因此，脑瘤病患在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关，或者说，长时间使用手机

与是否得脑瘤没有显著关系.

21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第⑶

小题满分8分)

解：(1)当a=—2时，/(2)=2+2-21n2=4-21n2,

(xa)(x1)

■f3=2,

切线方程为：y—〃2)=2(x—2),即2久一丫-21n2=0.

所以曲线yf(x)在点()处的切线方程为：2x-y-21n2=0.

(2)y=f(x)的定义域袅心2))，

令『(x)&a)(xD0,解得X]&必1

当a0时，f(x)与f'G)(Q+)

三区间上的情况如下表：

X(Q1)1(1)

f(x)0

f(x)极小值

此时f(x).g=f(Da1，且当0