2023-2024学年甘肃省民勤县高二年级下册开学考试数学试题（含答案）

2023-2024学年甘肃省民勤县高二下册开学考试数学试题

一、单选题

1.数列百，瓜,匹,√18......7夜是其第()项

A.17B.18C.19D.20

【正确答案】D

【分析】根据题意，分析归纳可得该数列可以写成√5^2,√5^3≡2,

√5^2,可得该数列的通项公式，分析可得答案.

【详解】解：根据题意，数列石，册,√13,√18,...,7√2,

可写成,5-2，√5×2-2,√5×3-2,........,√5n-2,

对于7√2.即演=√5×20-2,为该数列的第20项;

故选：D.

此题考查了由数列的项归纳出数列的通项公式，考查归纳能力，属于基础题.

2.过点A(-3,2)与B(-2,3)的直线的倾斜角为()

A.45oB.135oC.45°或135oD.60°

【正确答案】A

【分析】由两点的斜率公式可得选项.

2-3

【详解】设经过点A,B的直线的倾斜角为α,则斜率为砥B==tanα,

(-3)-(-2)

O≤a<180，∙'∙ɑ=45.

故选：A.

本题考查经过已知两点的直线的斜率公式，属于基础题.

3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),3(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高的斜率

为()

A.2B.—2C.ɪD.—

22

【正确答案】C

【分析】根据已知求出BC的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.

【详解】8(1,-2),C(-2,4),.∙.jtflc=±±≤)=-2

-2—1

设BC边上的高的斜率为％,则％∙L=-1,=g

故选：C

4.直线y="+l与圆》2+产=4的位置关系是()

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【正确答案】C

【分析】观察直线方程，得直线过定点，判断该点与圆的位置关系，得直线与圆的位置关系

【详解】直线y=H+ι过定点A(O,1),

由圆的方程为f+V=4,所以点A在该圆内，则过该点的直线一定与圆相交，

故选：C

5.抛物线y=4/的焦点坐标是()

A.(2,0)B.(叫C.(ɪθ)D.(。,总

【正确答案】D

【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解.

【详解】抛物线的标准方程为，2p=!，与=工,

44216

.•・抛物线的焦点坐标为(o，A)

故选：D.

6.若椭圆上+*=1的焦点为6,鸟，点P为椭圆上一点，且NKPK=90°,则GPF2的面

259

积为()

A.9B.12C.15D.18

【正确答案】A

【分析】利用椭圆定义解决焦点三角形问题简单快捷.

【详解】设归制=彳，IP闻=4,则由〃"=90且用用=8,

可得屋+1=64,S,rl+r2=10,

可得径=18,所以&他=：化=9.

故选：A.

7.若Fι,B分别是双曲线8χ2-y2=8的左、右焦点，点P在该双曲线上，且△尸耳心是等

腰三角形，则5的周长为

A.17B.16

C.20D.16或20

【正确答案】D

【分析】由MK是等腰三角形，可得Iml=I4片或IP闾=忻闾，结合双曲线的定义即可

得解.

【详解】双曲线8Y->2=8可化为标准方程炉-广=1,所以a=l,c=3,忻闾=2c=6.

8

因为点尸在该双曲线上，且PE❷是等腰三角形，

所以IP周=忸闾=6或归闾=I耳闾=6.

不妨设点尸在双曲线的右支上.

当归国=6时，根据双曲线的定义有IP闾=IP周-2a=6-2=4,

所以P片的周长为6+6+4=16；

同理当∣"∣=6时，PFc的周长为6+6+8=20.故选D.

本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题.

8.已知两点A(√Iθ),8(-√Σ,O),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且

PA∙PB=2PQ'，则动点P的轨迹方程为()

A.x2+y2=2B.y2-x2=2C.x2-2y2=lD.2x2-y2=l

【正确答案】B

由题意画出图形，设出P点坐标P(X,y),得到点。坐标Q(0,y),代入RVP3=2PQ?得答

案.

【详解】设Pa,y),由过点P作y轴的垂线,垂足为Q,则Q(0,y)∙

又A(√Σ,O),B(-√Σ,O)

所以PA=(0-x,-y),PB=(-及一x,-y),PQ=(-x,0).

由PAPB=2PQi.W(√f2-A∙)∙(-72-x)+r=2Λ∙2

化简得：/-%2=2

故选：B

本题主要考查轨迹方程的求法以及平面向量在求解轨迹方程中的用法，是中档题.

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝的首项为1,公差为"3eN*),若81是该数列中的一项，则公差d可

能的值是()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】ACD

【分析】根据等差数列的通项公式，写出d和“满足的等式，再验证满足条件的d,得出结

论.

【详解】81=l+("-l)d,

.∙.("-l)d=80,.∙.d=-,

n-∖

Q〃和d都为正整数，

」.〃=41时，d=2,故选项A正确；

当4=3时，n=y,不成立，故选项B错误；

〃=21时，d=4,故选项C正确；

〃=17时，d=5,故d选项D正确.

故选：ACD.

10.(多选题)下列圆中与圆C:/+y2+2x-4y+l=0相切的是()

A.(x+2)2+(γ+2)2=9B.(x-2)2+(>∙+2)2=9

C.(X-2)2+0--2)2=25D.(X-2)2+(>'+2)2=49

【正确答案】BCD

【分析】利用两圆圆心距与半径之间的关系，逐一判断即可.

【详解】由圆Cx2+*4j2+2x-4y+l=0,可知圆心C的坐标为(-1,2)＞半径r=2.

A选项中，圆心C∕(-2,-2),半径r∕=3.因为∣C∕C∣=J万GS-r,π+r),所以两圆相交；

B选项中，圆心02(2,-2),半径∕∙2=3,因为∣C2C∣=5=r+r2,所以两圆外切，满足条件；

C选项中，圆心C.；(2,2),半径/3=5,因为IaCl=3=r.w，所以两圆内切，满足条件；

。选项中，圆心C4(2,-2),半径〃=7,因为∣C4C∣=5=%-r,所以两圆内切，满足条件.

故选：BCD.

本题考查了圆与圆之间的位置关系的判定，属于基础题.

11.(多选)已知直线/的方程为以+外-2=0,则下列判断正确的是().

A.若曲＞0,则直线/的斜率小于0

B.若b=0,a≠0,则直线/的倾斜角为90。

C.直线/可能经过坐标原点

D.若α=0,b≠0,则直线/的倾斜角为0。

【正确答案】ABD

【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，若必＞0,则直线/的斜率-f＜0,A正确；

b

2

对于B选项，若力=0,a≠0,则直线/的方程为％=一,其倾斜角为90。，B正确；

a

对于C选项，将(0,0)代入0r+力-2=0中，显然不成立，C错误；

2

对于D选项，若α=0,b≠0,则直线/的方程为)，二7，其倾斜角为0。，D正确.

b

故选：ABD.

12.椭圆C:《+y2=l的左、右焦点分别为F∣,F2,。为坐标原点，则以下说法正确的是

4

()

A.过点尸2的直线与椭圆C交于A,B两点,则AB耳的周长为8

B.椭圆C上存在点尸，使得P牛尸乙=0

C.椭圆C的离心率为T

D.P为椭圆C上一点，Q为圆χ2+y2=i上一点，则点尸，。的最大距离为3

【正确答案】ABD

【分析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正

确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D

选项的正确性.

【详解】对于选项A：由椭圆定义可得：IA耳∣+∣Agl=IB不+∣8E∣=2α=4,因此根8匕的周

长为IMl+1明∣+∣Aβ∣=⅛M∣+∣明|+|9|+|%∣=4α=8,所以选项A正确；

2

对于选项B:设PQn,〃)，则(+“2=[,且_2%2,又∕<(-√3,0),F式瓜0),

所以=(-√3-m,-π),PF1=(√3-∕n,-n),

2ʌ2

∣⅛]½∕,ξ.P∕⅛=(-√3-m)(√3-∕M)+M2=∕n2+l-γ-3=^-2=O,

解得胆=We[_2,2],故选项3正确；

对于选项C：因为〃2=4,b2=I,所以/="—/??=3,即c=ʌ/5,所以离心率e=£=,

a2

所以选项C错误；

对于选项。：设Pα,>∙l),则点P到圆V+V=I的圆心的距离为

222

IPoI=7v+√=√4-4yl+yl=√4-3yl,

因为一啜M1,所以IPQu=lPO∖max+1=√4≡0+1=3,

所以选项。正确，

故选：ABD.

三、填空题

13.已知等比数歹∣J｛“Λ,｝中，“3%=4%,数列｛%｝是等差数列，且%=以，贝1]么+d=

【正确答案】8.

【分析】根据等比数列的性质得到%=4再由等差数列的中项的性质得

至∣J.⅛7=%=4=；(仇+%)

【详解】根据等比数列的性质得到：4即=4%=而,

.∙.%=4(%=O舍去)，

由等差数列的中项的性质得到：4=%=4=；(4+b9),

4+a=8.

故答案为8.

对于等差等比数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各

项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

14.过点P(l,3)且与X轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是

【正确答案】3x+y-6=0

【分析】分别假设直线横截距。与纵截距从由于与坐标轴正半轴相交，所以截距为正数，

由截距列出直线方程并将点P代入，可得关于。、。的方程，

由截距表示三角形的边长，列出有关面积的方程，解方程组即可求得截距，从而求出直线方

程.

【详解】设直线横截距为。与纵截距为6则α>0*>0,直线方程为：土+咨=1，

ab

13

将点P代入可得：一+τ=l,

ab

三角形面积：S=­ab^6,

2

f〃=2

解方程可得：,/,故直线方程为.3x+y-6=0

[h=6

本题考查直线方程截距式与直线图像相结合，考查截距的几何意义，利用截距表示长度，注

意截距的正负与三角形面积的求法，一般求三角形面积可采用直接求或者割补法，本题直接

求即可.

15.已知圆。的方程为(χ-3)2+(y-4)2=25,则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为

【正确答案】5+√2

【详解】由题意，知点M在圆。内，MO的延长线与圆O的交点到点历(2,3)的距离最大，

最大距离为J(2-3)2+(3-4)2+5=5+0.

16.已知4，0分别是具有公共焦点K,F2的椭圆和双曲线的离心率，点P是两曲线的一

个公共点，。是耳K的中点，且PO=EO,则招邑

Jel+S

【正确答案】显

2

【分析】连接P耳，P外.设P耳=χ,P8=y,在aEP鸟中，P。=心。=与。，得到耳尸,死尸,

x-2+y~2=44c-。

设椭圆的长轴长为2《，双曲线的实轴长为2出，焦距为2c,由x+y=2q求解.

X-y=Ia2

PFi=y,

・・・在△耳Pg中，PO=F2O=FlOf

：.F1P^-F2P.记椭圆的长轴长为2q,双曲线的实轴长为2%,焦距为2c,

χ2+y2=4C2

则＜x+y=2%,

x-y=2a2

.(x+y)2+(x-y)].+wC

*.ɔ2-2，

X"÷yc—L

f

.e1e2_√2

,,玛“2.

故也

2

四、解答题

17.直线/过两直线4：3x+4y-2=0和小2x+y+2=0的交点，且与直线34x+3y-2=0

平行，求直线/的方程.

【正确答案】4x+3y+2=0

4

【分析】先求出44的交点，因为〃〃3,直线/的斜率为&=-g,再由点斜式方程代入即可

得出答案.

f3x+4y-2=0,,、

【详解】方程∣2χ+j+2=0得4与I的交点为(-2,2).

4

•••直线4的斜率为-1，〃〃3，

44

.∙.直线/的斜率为&=-：,故直线/的方程为)'-2=-g(x+2),

即4x+3y+2=0.

18.已知数列｛6｝的前n项和5„=33"-n2.

(I)求｛4｝的通项公式.

⑵也｝的前多少项和最大？

(3)设2=|«„|,求数列｛〃｝的前"项和S'”.

【正确答案】(IM=34-2〃

⑵前16项或前17项的和最大

c,33n-n2,n<17

⑶S“=｛2

n2-33n+544,n>18

【分析】(1)利用递推关系：当n∙∙2时,4=Slt-Si,当〃=1时，tιl=Sl,即可得出.

(2)令时.令得34-2〃..0,解出”即可得出.

(3)由(2)知，当《17时，”“.0,利用等差数列前"项和公式计算可得；当“..18时，«„<0,

则S[=2L-S.进而得出.

【详解】(1)解：因为S“=33〃一当〃=1时s∣=4=33χl-12=32,当时

2

S∙π-l=33(n-l)-(n-l),所以％=S“一S,ι=33〃—M-33.-1)+.7)2=34—2〃，经检验

当〃=1时α,,=34-2”也成立，所以=34-2”；

(2)解：令4,≥0,即34—2〃≥0,所以"≤17,

故数列伍"的前17项大于或等于零.

又知=0,故数列｛七｝的前16项或前17项的和最大.

(3)由(2)知，当"≤17时，a,,≥O;

当〃≥18时，«„<0,

2

所以当"≤17时，S'„=bl+b2+...+b,l=|α1∣+∣α2∣+...+∣α,l∣=α∣+α2+...+α,,=S,,=33n-n.

,

当"≥18时,5nH011+1021+...+1α∣71+10181+...+1a„I

2

=al+a1+...+all-(alg+tz1,+...+a„)=S17-(Sll-S17)=2Sl7-Srl-n-33n+544.

新S，=J33"-∕,"≤17

"^[/J2-33/2+544,Λ≥18,

19.已知圆。：(z∙>0)与直线χ-y+2√Σ=0相切.

⑴求圆。的方程；

(2)过点卜,等)的直线/截圆所得弦长为20，求直线/的方程.

【正确答案】(I)χ2+y2=4

(2)x+√Jy-2=0或X=I

【分析】（1）利用直线与圆相切可得到关于『的方程，求解即可；

（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况，结合圆的弦长公式即可得解.

【详解】（1）直线X-y+20=O与圆。：/相切，

.∙.圆心。（0,0）到直线的距离等于圆的半径=，即革=厂，.∙.z∙=2.

二圆。的方程为χ2+V=4.

(2)°.♦直线/截圆所得弦长为26,；•圆心到直线/的距离"=√^=1.

当直线/的斜率不存在时，即X=1,符合；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-3=MX-1),

r恒Jr

即入—y+史M=O,.∙.I3L],解得/=_旦

√⅛2+l

•••直线/的方程为一旦-y+亚=0,即x+回一2=0,

故直线/的方程为x+6y-2=0或x=l.

20.已知椭圆C:=l(α＞匕＞0)的左右焦点分别为£,左顶点为A,下顶点为8,

离心率为争且△叱的面积为收

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，求直线AP的斜率.

r23

【正确答案】(1)—+/=1；(2)—

410

【分析】(1)根据条件得到£=且,S-=bc=6计算得到答案.

a212

(2)根据条件得到直线BP方程为y=2x-l,联立方程组解得P[*,j∣),计算得到到答案.

【详解】(1)Ξ=2^,5^,f=⅛c=√3计算得到：b=∖,c=√3,a=2

a2,2

所以桶圆标准方程为三+V=I

4

(2)以AP为直径的圆过B点，即KAB=~＜∙'∙⅛=2.

y=2x-∖

则直线BP方程为N=2x7与椭圆联立

f+4),2_4=0

解得尸点坐标为P僧,知,所以L=笠一二.

\1/ɪʃ/2IU

U

本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，其中将以AP为直径的圆过8点转化为垂直

关系是解题的关键.

21.已知抛物线V=2x的焦点是尸，点尸是抛物线上的动点，点A(3,2).

(1)求IPAI+1p用的最小值，并求出取最小值时点尸的坐标；

(2)求点尸到点8(；,2)的距离与到直线X=-；的距离之和的最小值.

7

【正确答案】(1)-,(2,2);(2)2.

【分析】(1)根据抛物线定义，转化为点A到准线距离即为所求最小值，再求出点尸坐标即

得；

(2)根据抛物线定义，转化为点B到焦点距离即为所求最小值即可作答.

【详解】(1)将x=3代入V=2x得1±指，而#>2,即点A在抛物线V=2x内部，

过点P作PQ垂直于抛物线的准线/：x=-g于点Q,由抛物线的定义，知

∖PA∖+∖PF∖=∖PA∖+∖PQ∖,

77

当尸，A,Q三点共线时，IPAl+1PQl取得最小值;，即IRAI+1PEl的最小值为:，

此时点尸的纵坐标为2,代入V=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2),

所以IPAI+IPFl的最小值为点P的坐标为(2,2)；

(2)显然点伏；,2)在抛物线丁=2》外部，设抛物线上点P到准线/：x=-g的距离为d,

由抛物线的定义，得∣P8∣+d=∣P8∣+∣P用≥∣8F∣,当8,P,尸三点共线(尸在线段8