人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形第1课时 正方形的性质（课件）

正方形的性质第十八章平行四边形

仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都是正方形的形象．情境导入

正方形是我们熟悉的图形,你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗?

结合已有经验,类比菱形与矩形,正方形的概念是怎样的呢?情境导入

正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形．

下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧!1.边、角、对角线的性质探究：正方形的性质探究点（1）我们回忆一下小学学过的正方形,它有什么性质?正方形的四条边都相等,四个角都是直角．（2）上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形?菱形．（3）上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形?矩形．平行四边形1.边、角、对角线的性质探究：正方形的性质

事实上,如果把矩形、菱形各添加一个条件,平行四边形添加两个条件均可得到正方形,可以用下面结构图直观呈现这种关系:矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角正方形探究点正方形的性质

正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质．归纳总结

我们根据前边的学习,除了边和角,还可以研究一下正方形的对角线,那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直．正方形性质边两组对边平行，四条边相等角四个角都是直角对角线对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角正方形的性质

正方形的对角线除了上述基本性质外,还有无其他性质呢?事实上,它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.我们可以试着证明:ADBCO探究点例求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.ADBCO例题精析证明：∵四边形ABCD是正方形.∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO

ADBCO例题精析2.正方形的对称性正方形的性质

我们再想一想:正方形是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?探究点

如图,取一张正方形纸片,将它沿过对边中点的直线和对角线折叠,折叠后的两部分均能重合．

归纳总结:正方形是轴对称图形,它的对称轴有四条,分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线．1.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是.2.如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BE=CD，则∠BEC的度数为.对应训练ADBCE67.5°3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,AE

=BF,连接AF,DE.求证:△ADE≌△BAF．对应训练ABDCEF证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°.在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）AD=BA∠DAE=∠ABFAE=BF例如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD的延长线上,且BE=DF.（1）求证:AE=AF,AE⊥AF;（2）若BD与EF相交于点M,连接AM,试判断AM与EF的数量关系和位置关系,并说明理由.例题精析ADBCMEF（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD.在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.∴∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD，即∠EAF=∠BAD=90°，∴AE⊥AF.ADBCMEFAB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF例题精析ADBCMEFN（2）解：AM=EF,AM⊥EF.理由如下:如图,过点E作EN∥CD,交BD于点N，∴∠MNE=∠MDF,∠MEN=∠MFD，∠NEB=∠C=90°.∵四边形ABCD为正方形,∴∠NBE=45°∴∠BNE=90°－∠NBE=45°，∴∠NBE=∠BNE,∴BE＝NE．又BE=DF,∴NE=DF∴△MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM．∵AE=AF,∠EAF=90°,∴AM=EF,AM⊥EF．例题精析1.如图，AC是正方形ABCD的对角线，若以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC=.ADBCFE对应训练75°

2.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.DCABFE对应训练

3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少?ADBCE对应训练【选自教材P59，练习第2题】解：如图，连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.在Rt△BEC中，∠B=90°，EB=10m，EC=30m,由勾股定理得BC=(m).在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC=

m，由勾股定理得AC=(m).∴这块场地的面积为800m2，对角线长40m.对应训练ADBCE概念课堂总结正方形边：四条边都相等，两组对边分别平行有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形对角线：对角线相等，并且互相垂直平分角：四个角都是直角性质课后作业1.教材P61习题18.2第7,12,15,17题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.1.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？课后作业解：剪口应与折痕成45°的角【选自教材P61，习题18.2第7题】2.（1）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是(0,0),(b,0),(0,d).求点C的坐标.BDOCxy课后作业【选自教材P61，习题18.2第12题】解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∴OD=BC,OB=DC,且CD⊥OD,CB⊥OB.∵D(0,d),B(b,0),

∴C(b,d)（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO,BO=DO.∵C(c,0),∴A(-c,0)∵D(0,d),∴B(0,-d)2.（2）如图，四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是(c,0),(0,d).点A,B的在坐标轴上.求A,B两点的坐标.BDOCxy课后作业【选自教材P61，习题18.2第12题】A2.（3）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0),(0,d).求点B,C的坐标.课后作业【选自教材P61，习题18.2第12题】BDOCxy（3）∵四边形OBCD是正方形，∴OD=DC=BC,且CB⊥OB，CD⊥OD.

又D(0,d),

∴B(d,0),C(d,d).3.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE,且交AG于点F.求证：AF-BF=EFADBCEFG正方形的性质三角形全等等量代换点击查看解题过程课后作业【选自教材P62，习题18.2第15题】ADBCEFG123新知应用证明：∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠1+∠2=90°.

∵DE⊥AG,且BF∥DE,∴∠AFB=∠DEA=90°.

∴∠1+∠3=90°.

∴∠2=∠3.在△ABF与△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（AAS）.

∴BF=AE.

又AF-AE=EF,∴AF-BF=EF.∠AFB=∠AEDAB=AD∠2=∠34.如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学交流一下.课后作业【选自教材P62，习题18.2第17题】解：有多种方法：只要两条小路交于正方形对角线的交点且两条小路互相垂直，则满足条件.5.如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为BA