吉林省部分名校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省部分名校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，即，故，解得，故选：A2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由双曲线可得，，所以渐近线方程.故选：B.3.直线与直线平行，则（）A. B. C.或4 D.4〖答案〗D〖解析〗由，解得或．当时，两直线重合；当时，符合题意．故选：D4.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为，故选：B5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为向量，，所以向量在向量上的投影向量．故选：A6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以的最小值为.故选：C.7.已知是椭圆的左焦点，第一象限内的点在上，直线与轴交于点为坐标原点，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得.设，则.由，得，所以，即，因为点在上，所以，得，故.故选：C8.已知双曲线：（，）的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线，垂线与双曲线E的一个交点为P，的中点为Q，直线与直线（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（）A. B.3 C. D.2〖答案〗B〖解析〗易知，，不妨设，则．设直线与直线的交点为B，因为B在双曲线E上，所以B，P关于原点对称，即．因为Q，A，B三点共线，所以．因为，，所以，所以，．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A.当不与左、右端点重合时，的周长为定值B.当时，C.有且仅有4个点，使得为直角三角形D.当直线的斜率为1时，直线的斜率为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号，又因为的最大值为，所以，因为，所以，所以椭圆的方程为，因为的周长为，故A正确；对于B：当时，，所以，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C：设椭圆的上顶点为，因为，所以，所以的最大值为，所以存在个点，使得，又因为存在个点使，存在个点使，所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误；对于D：因为，设，则，所以，所以，因为，所以，故D正确，故选：ABD.10.直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确；当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则解得或若则直线l的方程为，即；故C正确；若则直线l的方程为，即．故D正确；故选：ACD.11.如图，在正方体中，P为的中点，，，则下列说法正确的是（）A.B.当时，平面C.当时，PQ与CD所成角的余弦值为D.当时，平面〖答案〗ABC〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，，所以，所以，A正确；当时，，所以，又平面，平面，从而平面，B正确；当时，，，所以PQ与CD所成角的余弦值为，C正确；当时，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D错误．故选：ABC.12.已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.若F恰好为的中点，则直线的斜率为D.直线过定点〖答案〗ABD〖解析〗A：设直线的方程为，，，联立方程组得，则，，所以，同理可得，所以，故A正确；B：由选项A知，，因为P分别为的中点，所以，同理可得，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确．C：，若F为中点，则．因为，所以．所以，故，所以，故C错误．D：当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点；当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点，所以直线过定点．故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________．〖答案〗6〖解析〗直线与y轴交于点，与x轴交于点，所以围成三角形的面积为．故〖答案〗为：614.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.〖答案〗（本题〖答案〗不唯一，任选一个即可）〖解析〗由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，中任选一个即可）.15.在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为__________．〖答案〗〖解析〗由题意知，，如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，．所以，，所以，即BM与AN所成角的余弦值为.故〖答案〗：16.已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗设，则，，所以．因为，所以当时，取得最小值，且最小值为．故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆经过三点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距.解：（1）设圆的标准方程为，因为该圆过三点，所以有所以该圆的方程为.（2）由题意得，所以的斜率为.设，即.由点到的距离为，得或，所以在轴上的截距为或.18.已知椭圆的焦距为，短半轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．解：（1）因为，，所以，故椭圆C的方程为．（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以，所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意.19.如图，在直三柱中，，分别为，的中点．（1）若，求的值；（2）求与平面所成角的正弦值．解：（1）由向量的线性运算法则，可得，又由，所以．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设与平面所成的角为，可得．20.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，E，F分别是BC，PD的中点．（1）证明：平面PAB．（2）若，求平面AEF与平面PBD夹角的余弦值．解：（1）取的中点，连接分别为的中点，，又分别为的中点，，，因为面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）设，，，，，又且面，面，面，连接，因为面，所以，因为为等边三角形，所以，又因为面，所以平面.如图，以点为原心，建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令则，即，则，令则，即，设平面AEF与平面PBD夹角为，则，平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为.21.如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．（1）求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程；（2）若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？解：（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，，设成功点，可得，即，化简得．因为点P需在矩形场地内，所以，故所求轨迹方程为．（2）当线段与（1）中的圆相切时，，所以，所以．若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是．22.已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．（1）求C的方程．（2）过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）因为F