北京市2024届高考数学模拟试题（一）（含答案）

北京市2024届高考数学模拟试题（一）一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．设，则（

）A． B． C．1 D．25．设，则（

）A． B．C． D．6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．27．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（

）A．1 B． C．或 D．或8．在中，，则边上的高等于（

）A． B． C． D．9．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（

）A．42 B．41 C．40 D．3910．有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（

）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题11．函数的定义域是12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上一点P满足，且，则该双曲线的离心率为．13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为．14．若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．15．已知函数，设．给出下列四个结论：①当时，不存在最小值；②当时，在为增函数；③当时，存在实数b，使得有三个零点；④当时，存在实数b，使得有三个零点．其中正确结论的序号是．三、解答题16．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．(1)求的值；(2)若，函数在区间上最小值为，求实数m的取值范围．条件①：对任意的，都有成立；条件②：；条件③：．17．如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数商品甲乙丙丁100√××√217√√××200√√√×250√×√×100×××√133√×√×(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．20．设函数，曲线在点处的切线斜率为1．(1)求a的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求证：．21．已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：①（）；②（）；③（）(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．参考答案：1．D【分析】解一元二次不等式得集合，再结合集合的补集、并集运算即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D.2．C【分析】先求得复数的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.【详解】，则，则复数在复平面内对应的点坐标为，该点位于第三象限.故选：C3．D【分析】求得位置关系判断选项A；求得位置关系判断选项B；求得位置关系判断选项C，D.【详解】选项A：若，则或异面或相交.判断错误；选项B：若，则或.判断错误；选项C：若，则或相交.判断错误；选项D：若，则必有，又，则，则.判断正确.故选：D4．D【分析】先令计算出的值，再令计算出的值，由此可计算出的值.【详解】令，所以，令，所以，所以，故选：D.5．B【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】，而，则，即，所以.故选：B6．B【分析】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线的距离最小，所以利用导数求出点P处的切线，然后利用两平行线间的距离公式可得答案【详解】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小.因为直线的斜率等于1，曲线的导数，令，可得x＝1或(舍去)，所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为(1，0)，所以点P到直线的最小距离为，故选：B【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查两平行线间的距离公式，考查转化思想和计算能力，属于基础题7．D【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可.【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为，不妨取，设，，解得或，或.故选：D8．B【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.【详解】在中，因为，由余弦定理得因为，所以设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.故选：B.9．C【分析】先求得“不满意度”之和S的解析式，再利用二次函数的性质求得S的最小值.【详解】设在第n层下，则又，则时S取得最小值40.故选：C10．A【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数.【详解】由题意，设只持有股票的人数为，则持有股票还持有其它殸票的人数为(图中的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半没持有或股票,∴只持有了和股票的人数和为(图中部分).假设只同时持有了和股票的人数为,∴,即，则的取值可能是,与之对应的值为,∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍∴，即，∴时满足题意，此时,∴只持有股票的股民人数是,故选：A.

【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.11．【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.【详解】函数有意义的条件是，解得且，所以函数定义域为.故答案为：.12．/【分析】依题意根据双曲线的定义可得，，再根据向量数量积的定义求出，在中利用余弦定理得到，即可得解；【详解】解：根据双曲线的定义可得，又，所以，，又，所以，又，在中由余弦定理，即，即，所以离心率；故答案为：13．，【分析】根据给定关系式，求出值，再分类求出值.【详解】由对任意的实数x都有，得或，当时，，则，而，因此；当时，，则，而，因此，所以满足条件的所有可能的取值为，.故答案为：，14．【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.【详解】根据题意可得面积，可得，即，又易知为锐角，可得；由正弦定理可得，因为为钝角，可得，所以；可得，因此；故答案为：；；15．②④【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.【详解】对于①：当时，，易知函数在上的最小值为0，函数，在内单调递增，即，所以时，函数的最小值为0，故①错误；对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增，函数的对称轴为，所以在内单调递增，又，即，解得，综上可知，当时，在为增函数，故②正确；对于③：当时，函数，则，即，存在一个零点；函数，在内单调递增，与存在一个交点，又，即，解得或，于是时，，如下图所示：综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误；④当时，函数，在内单调递减，在内单调递增，则与存在两个个交点，由③知，与存在一个交点，，又，即，解得或，于是时，如下图所示：综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点.故答案为：②④.16．(1)详见解析(2)【分析】（1）先用两角和的正弦公式可得，再利用正弦函数的最值可求的值；（2）根据题意求得的取值范围，再利用正弦函数的单调性和最小值为，列不等式即可得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以．若选择条件①：对任意的，都有成立，所以为函数最大值，得，解得，.又因为，所以．若选择条件②：，所以，化简得，又因为，所以无解，则不存在．若选择条件③：，所以，化简得，即，解得，解得，，又因为，所以．（2）由（1）可知当时，．因为在上单调递增，在单调递减，且，所以，解得，所以实数m的取值范围是，即．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点；（2）先建立空间直角坐标系，再求得平面的法向量，设，则，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到的长.【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：因为，所以，所以，N，Q，M四点共面．因为直线平面，平面，平面平面，所以．所以四边形是平行四边形．所．所以为的中点．（2）因为侧面为正方形，所以，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，，又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：因为，所以，，，，，，所以，．设平面的一个法向量为，由得即．取，得．设，，则，因为，所以．所以，，，所以N点坐标为．因为，所以设直线与平面所成角为，则，解得，所以，即线段的长为．18．(1)(2)0.1176(3)丙的可能性最大【分析】（1）先根据统计表得出在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的人数；再利用频率估计概率即可.（2）先根据统计表得出在这1000位顾客中顾客购买了两种商品、顾客购买一种商品有及顾客购买了三种商品的人数；再利用频率估计概率得出各自的概率；最后利用相互独立的概率公式即可求解.（3）根据统计表求出在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率及顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率，进行比较即可判断.【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）.所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）；所以可估计为，可估计为，可估计为．依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为：．因此所求的概率可估计为0.1176．（3）因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为；顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为．所以该顾客购买丙的可能性最大.19．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由椭圆上的点和离心率列方程求得，即可得到椭圆方程；（2）由题意，设直线l的方程为，联立方程组利用韦达定理可得，，进而题意求得点的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点和点，从而利用以上条件代入化简的值，进而即可得证点F为线段CD的中点.【详解】（1）由题意得解得，．所以椭圆E的方程是．（2）椭圆E的右焦点F的坐标为，由题意，设直线l的方程为．，整理得．因为，所以，设直线l交椭圆E于点，，则，．由直线l的方程，令，解得，所以，．所以直线AQ的方程为，．令，解得，所以．直线BQ的方程为，．令，解得，所以．．由于，．则，所以线段CD的中点为F．20．(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）求出的导数，判断导数得正负，即可求得单调区间；（3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.【详解】（1）由题意得的定义域为，，因为．所以，解得.（2）因为，的定义域为，，令，得，与在区间上的情况如下：x0-0+递减极小递增所以在的单调递减区间为，单调递增区间为；（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，所以在为增函数，又因为，当时，，所以；当时，，所以，综上，.21．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由性质②得到，结合的通项公式化简得到，求出答案；（2）根据性质②得到，由性质③得到，两式结合得到，故，，，…是等差数列，设其公差为，结合得到，，得到结论；（3）当时，由性质③得到，推出，，当时，，满足上式，当时，推出矛盾；当时，构造，推出矛盾，从而证明出结论.【详解】（1）时，性质②为，又，故，化简得，要想上式总成立，则，解得；（2）若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，两式相加，若时，数列满足条件②，得，数列满足条件③，得，两式相加，由知