【自考复习资料】06268工程数学（线性代数部分）

工程数学复习资料解答题1.设A是二阶矩阵，且,,求矩阵A的行列式。解由于A是二阶矩阵，所以A恰有两个特征值，由题设及特征值的定义知是矩阵A的特征值，又，于是所以是矩阵A的特征值，因此2.设，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵.解矩阵A的特征多项式为,于是A的特征值为.对于特征值，由方程组求得属于的一个特征向量对于特征值，由方程组求得属于的一个特征向量对于特征值，由方程组求得属于的一个特征向量,则有.3.，求可逆矩阵,使得为对角矩阵.解矩阵A的特征多项式为于是A的特征值为对于特征值，由方程组求得属于的一个特征向量.对于特征值，由方程组求得属于特征值2的两个线性无关特征向量令,则有4.矩阵能否对角化？解矩阵A的特征多项式为,于是A的特征值为对于二重特征值由于矩阵的秩为2，所以3元线性方程组的基础解系由一个向量构成，即属于二重特征值的线性无关特征向量只有一个，所以矩阵A不能对角化.设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，属于特征值1，2，3的特征向量依次为求矩阵A.解由题设得故.由于是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，于是矩阵可逆，且,所以设二次型经正交变换化为标准型求a,b的值.解二次型的矩阵为由于在正交变换下的标准型为所以矩阵A的特征值为于是即解得判断下列二次型是否正定？解：（1）二次型的矩阵为,由于3>0，>0>0，根据定理6.6知矩阵A是正定的，所以二次型为正定型二次型.（2）二次型的矩阵为由于2>0，>0<0，根据定理6.6知矩阵B不是正定的，所以二次型不是正定型二次型.设二次型当t为何值时，为正定二次型.解：二次型的矩阵为二次型正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式均大于零，即解得从而当时，二次型为正定二次型.9.设，对于，求.解由于，，.故.可见，方阵的多项式仍为一个方阵.10.求下列齐次方程组的一个基础解析与通解.解.则令，，.得基础解系，，.于是方程组的通解为（，，为任意常数）.11.求下列齐次方程组的一个基础解系与通解.解.则得基础解系，.通解为（，为任意常数）.12.设线性方程组当为何值时，方程组有非零解？此时求出通解.解.所以当时，<，方程组有非零解，此时.于是通解为，为任意常数.13.设线性方程组的系数矩阵为，且有3阶非零矩阵使得，求的值.解设，其中为三维列向量，由于，则即矩阵的每一列均为方程组的解，又为非零矩阵，故方程组有非零解，从而，于是.14.求矩阵的全部特征值和特征向量.解，所以矩阵有两个特征值.对于特征值，解齐次方程组，即求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数对于特征值，解齐次方程组，即求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数.15.求矩阵的全部特征值和特征向量.解，所以矩阵的特征值.对于特征值，解齐次方程组，对系数矩阵进行初等变换求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数.对于特征值，解齐次方程组，对系数矩阵进行初等变换求得基础解系，，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，，是不为零的任意常数.16.求矩阵的全部特征值和特征向量.解，所以矩阵有3个不同的特征值.对于特征值，解齐次方程组，对系数矩阵进行初等变换求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数.对于特征值，解齐次方程组，对系数矩阵进行初等变换求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数.对于特征值，解齐次方程组，对系数矩阵进行初等变换求得基础解系，所以矩阵属于特征值的全部特征向量是，是不为零的任意常数.17.已知二阶实对称矩阵的特征值为，，向量是矩阵的属于特征值的特征向量.（1）求的属于特征值的特征向量.（2）求矩阵.解（1）设属于特征值的特征向量是，和正交，即，解得，所以矩阵属于特征值的特征向量是，是不为零的任意常数.（2）令，则，于是\.18.设二次型，求一个正交变换，将二次型化为标准型.解二次型的矩阵是