2023届江苏省新高考数学小题专项复习

专题26高中数学新文化综合问题小题综合

2023届江苏省新高考数学小题专项复习

30题专项提分计划

一、单选题

1.（2022秋•江苏南京•高三南京市第十三中学校考阶段练习）欧拉公式/=cosO+isin。

（其中e=2.718…，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角

函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”

根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A.-的实部为0B.e"在复平面内对应的点在第一象限

C.卜［=1D.e加的共轨复数为1

2.（2022秋•江苏宿迁•高三沐阳县建陵高级中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九

章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与

一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数

列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，

其前6项分别为1,5,11,21,37,61,……则该数列的第8项为（）

A.99B.131C.139D.141

3.（2022秋•江苏南通•高三校考阶段练习）皮埃尔・德•费马，法国律师和业余数学家，

被誉为“业余数学家之王”，对数学做出了重大贡献.其中在1636年发现了：若P是质

数，且整数。与P互质，那么。的P-1次方除以P的余数恒为1.后来人们称之为费马

小定理.以此定理，若在数集｛2,3,4｝中任取两个数，其中一个作为P,另一个作为•，

则所取两个数符合费马小定理的概率为（）

A.-B.-C.\D.-

3326

4.（2022秋•江苏苏州•高三校考阶段练习）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法

中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊

春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开

头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2

个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）

5.（2022秋•江苏南通•高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提

出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字

描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间［0,f

2

和［§/］；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩

下四段闭区间：［0,小，［|,卞，母曰，［和；如此不断的构造下去，最后剩下的各个

区间段就构成了三分康托集.若经历“步构造后，黑202不1属于剩下的闭区间，则〃的最

2022

小值是（）.

A.7B.8C.9D.10

6.（2022•江苏•江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，将

于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中

国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时

代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑

雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰

雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参

赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按

以下比例（如图）：若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距

离为11，设五个圆的圆心分别为。1，。2，。3，。4，。5,若双曲线C以。,Q为焦点、以直线

。2。4为一条渐近线，则C的离心率为（）

12

D.

1113111"

7.（2022•江苏连云港•模拟预测）柯西分布（Ca〃c/7y力s/ri历是一个数学期望不存在

的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X〜C（y,X0）,其中当y=l,xo=O

时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为和x）=了）.已知X〜C（l,0）,P（因

2]

<V3）=-,P（l<X<y/3）=—,则尸（X4-l）=（）

。IN

A.-B.-C.-D.1

6342

8.（2022秋•江苏南通•高三开学考试）黄金分割（Go/de〃Sec而所）是一种数学上的比

例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时

一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金

数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术

家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形

Rectang/e）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金

分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找

到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达・芬奇的《维特鲁威人》符合黄金

矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比

例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所

谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另

一部分对于该部分之比’黄金分割比为浮10.618.其实有关“黄金分割”，我国也有

记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形ABCD中，AC,

8。相交于点O,BF1AC,DHA.AC,AELBD,CGLBD,BE=,则3尸=

2

B,上BB

A.HA+±5G

210210

C.^1BA+^^-BG

D.+—BG

21025

9.（2022秋•江苏盐城•高三校联考阶段练习）把一条线段分为两部分，使其中一部分与

全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数理，由于按此比例设计

的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音

乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC中,

点。为线段的黄金分割点（或>>DC），AB=2,AC=3,ZBAC=fX）°,则成>.病=

A775-9口9-7A/5-96-7n7-96

2222

10.（2022•江苏常州•常州高级中学校考模拟预测）复兴号动车组列车，是中国标准动车

组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先

进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR4003尸-C智能复兴号动车组在京张高铁

实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强/（单

位：W/n?表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB与声

强/的函数关系式为L=101g（a/）,已知LUw/n?时，乙=10d瓦若要将某列车的声强

级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的（）

A.10-5倍B.KT1倍C.10-3倍口.10以倍

11.（2022秋•江苏镇江•高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习）意大利著名天文学

家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布・伯努利

正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰•伯努利和

菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型

XX

Xel，+e

函数：f（x}-aCO^-a°（e为自然对数的底数）.当。=2时，记P=2）,

La2

«=«=则P，m,〃的大小关系为（）

A.m<p<nB.m<n<p

C.n<m<pD.p<m<n

12.（2022秋•江苏连云港•高三校考阶段练习）刍（c碗）薨（加函g）是中国古代算数中的一

种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的

棱长的五面体，是一个对称的楔形体.

上棱长

已知一个刍薨底边长为6,底边宽为4,上棱长为2,高为2,则它的表面积是（）

A.24A/2B.24+240

C.24+24岔D.24+16A/2+8A/5

13.（2022•江苏南京•高三金陵中学校考学业考试）德国数学家狄里克雷在1837年时提

出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数

这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个羽

有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，

例如狄里克雷函数。（x）,即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数

时，函数值为0.下列关于狄里克雷函数。（x）的性质表述错误的是（）

A.D（n）=0B.。⑺的值域为{0,1}

C.。（句的图象关于直线x=l对称D.。（同是增函数

14.（2022•江苏苏州•校联考模拟预测）《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童,

上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面

宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面为相互平

行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在

一球体的表面上，则该球体的体积为（）立方尺

A.叵兀B.4brC.义匣兀D.3屈兀

36

15.（2022•江苏南京•统考模拟预测）足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最

具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球

赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已

知某足球的表面上有四个点A,B,C,。满足A2=BC=AO=BD=C£>=J5dm,二面

角A-9-C的大小为胃，则该足球的体积为（）

.7A/42^.3035&万3C14万320兀,

A.-------dm3B.---dm3C.——dm'3D.---dm33

27272727

二、多选题

16.（2022秋•江苏盐城•高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）若正整数租.“只有1为公

约数，则称机，〃互质，对于正整数比（P（%）是不大于左的正整数中与人互质的数的

个数，函数9（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：。（2）=1,。⑶=2,

0（6）=2,0（8）=4.已知欧拉函数是积性函数，即如果根,〃互质，那么=，

例如：0（6）=。（2）°（3）,贝1J（）

A.夕(5)=°(8)

17.（2022•江苏•高三专题练习）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒

部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）,当这种酒杯内壁的表面积（假设内

壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容

积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为（）

18.（2022春•江苏•高三校联考阶段练习）若正整数以〃只有1为公约数，则称私〃互质.

对于正整数"，。（"）是小于或等于”的正整数中与〃互质的数的个数，函数夕（"）以其首

名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：夕⑶=2,0（7）=6,夕（9）=6,则（）

A.数列加（3"）｝为等比数列B.数列32〃）｝单调递增

71

C.log7^（7）=6+log76D.数列1■的前"项和为S"，贝J

S.W4.

三、填空题

19.（2022秋•江苏南京•高三校联考阶段练习）数学中有许多美丽的错误，法国数学家

费马通过观察计算曾提出猜想：形如勺=22"+15=0,1,2,…）的数都是质数，这就是费

马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一

种猜想.现设：4=〃zlog2（£—1）（〃=1,2,3,-），为常数，S”表示数列｛%｝的前"项

和，若$6=126,贝lja5=.

20.（2022•江苏南京•校考模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它

将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一

年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日号长变化量相同，冬至日号长最长，

夏至日署长最短，周而复始.已知冬至日号长为13.5尺，芒种日署长为2.5尺，则一年

中夏至到立冬的日号长的和为_____尺

科长逐渐变小

女率AOO

力・240八20大暑

立秋）

秋分

曷氏逐渐变大

21.（2022秋•江苏常州•高三校联考阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，

很多数学定理以他的名字命名.对A5C而言，若其内部的点P满足

NAPB=ZBPC=ZCPA=120，则称尸为一ABC的费马点.在一ABC中，已知ABAC=45,

设P为..ABC的费马点，且满足NPBA=45。，PA=4.则△3PC的外接圆半径长为

22.（2022•江苏•高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一

世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算

弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式:弧田面积=［（弦

x矢+矢x矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按

照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为看，弦长

为40属的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为

平方米.（其中万〜3,V3-1.73）

23.（2022•江苏盐城•盐城市第一中学校考模拟预测）在ABC中，角A,B,C的对边

分别为。，b,c,若p=g（a+b+c）,则三角形的面积5=Jp（p-a）（p-6）（p-c）,

这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式.将

海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此

直线的同侧)中，即“设凸四边形的四条边长分别为。，b,c,d,p^a+b+c+d),

凸四边形的一对对角和的一半为6,则凸四边形的面积

S=-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abedcos26”.如图，在凸四边形ABCD中，若AB=2,

BC=4,CD=5,DA=3,则凸四边形ABCD面积的最大值为.

24.(2022•江苏连云港•模拟预测)建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组

合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种

部件的面积分别为加，邑，…，斗(单位：n?),其相应的透射系数分别为却，G，…，

如，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值3确定：

「=W「，于是组合墙的实际隔声量(单位：dB)为R=41n2・已知某

墙的透射系数为?，面积为20m2,在墙上有一门，其透射系数为奈，面积为2n

则组合墙的平均隔声量约为dB.(注：e^^.e"一)

1

25.(2022•江苏•高三专题练习)将杨辉三角中的每一个数C；都换成西尸，就得到

一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

111111111

(〃+i)c：+("+i)c：「商7'令诟++高+(“+])《，则""=

1

I

J_J_

22

J_!!

363

1111

412124

11111

52030205

J_J_J_J_J_J_

6306060306

1111111

742W5140W5427

四、双空题

26.（2022秋•江苏•高三校联考开学考试）祖瞄是我国南北朝时期伟大的数学家，他于

5世纪末提出了“幕势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的

两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等,

那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线V=±2与双曲线尤2—J?=4及其渐近线围成

的平面图形G如图所示.若将图形G被直线y=t（-2<t<2）所截得的两条线段绕y轴旋

转一周，则形成的旋转面的面积3=；若将图形G绕V轴旋转一周，则形成的旋

转体的体积.

27.（2022•江苏南京•高三金陵中学校考学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下

面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边,

依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角

形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以A4为斜边画出

等腰直角三角形的直角边A4、44所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代

龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.4、4、人为第一代龙曲线的顶点，设第〃代龙曲

线的顶点数为%,由图可知4=3,a2=5,%=9,则%=___________;数歹叫-----

aa

[„n+i

的前”项和S，,=.

图1