2023届高考数学一轮复习作业 函数的奇偶性与周期性北师大版

函数的奇偶性与周期性

［4组在基础中考查学科功底］

一、选择题

1.下列函数中，为偶函数的是()

A.y—(x÷l)2B.y-2~x

C.F=IsinxID.y=lg(x+l)+lgU-l)

C［对于A,函数图像关于x=-l对称，故排除A.

对于B,f(―ɪ)=2x≠f(ʃ),函数不是偶函数.

对于C,f(―x)=Isin(—x)I=I—sinx∣=ISinXl=f(x),因此函数是偶函数.

［x+l>O

对于D,由C得x>l,函数的定义域为(1,+8),定义域不关于原点对称,

X—1>0

因此函数不是偶函数，故选C.］

9t+l

2.函数f(x)=T=的图像()

A.关于X轴对称B.关于y轴对称

C.关于坐标原点对称D.关于直线y=x对称

9'+l

B[因为f(x)=÷^=3'+3Λ易知f(x)为偶函数，所以函数f(力的图像关于y

ɔ

轴对称.］

3.设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数.当0WΛ≤1时，f(x)=f—X,则f

-\()

1111

-氏----

A.2C.4D.2

-

c［由4题意知Fe)=l+2)=f㈢=T(3=T⅛)W,故选C∙］

4.如果奇函数f(x)在区间［―7,—3］上是减函数且最大值为5,那么函数f(x)在区

间［3,7］上是()

A.增函数且最小值为一5

B.增函数且最大值为一5

C.减函数且最小值为一5

D.减函数且最大值为一5

C［由题意知，函数/"(X)在区间［3,7］上是减函数且f(7)为最小值，又/"(一7)=5,

则f(7)=-f(-7)=-5,故选C.]

1--V

5.（2021•全国卷乙）设函数f（X）=E，则下列函数中为奇函数的是（）

A.f(X-I)-IB.f(%-1)+1

C.f(Λ∙+1)-1D.fU+1)+1

C「、r/、1-X/、1—x~12-X八

B[法一,：因为f(Λ)—।-'所以f(X-1)=[^,=’ft(x1+1)=

1-TX1+χ-∖X

1-x+1____X

1+%+1x+2'

2—Y2—2X

对于A,/(X)=F(X—1)—1=丁-1=1—,定义域关于原点对称，但不满足〃(X)

=-F(一才)；

O-Y9

对于B,G(X)=F(X—1)+1=丁+1=7定义域关于原点对称，且满足G(X)=-6(一

X)；

—Xx~~γ^-22Λr-1-2

对于C,f(ɪ+1)-1=~^-1=ʌ=-Ξ⅛Γ-定义域不关于原点对称；

X十2X+2χ∙τ∆

—Y—V—|—v—|—22

对于D,fU+D+1=-—+1=--？―=—,定义域不关于原点对称.故选B.

X十2X-V1X+2

1—V9—*+19

法二：fω=⅛δ=ɪɪ-1,为保证函数变换之后为奇函数，需将函

数y=f(X)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的

函数为y=fG-1)+1,故选B.]

{χ-aχfxW0,

6.已知函数F(X)=2ι八为奇函数，则f®=()

[ax+x9x>0

A.-1B.1C.0D.±1

C[Y函数F(X)是奇函数，,f(一x)=-f(x),则有F(—1)=一F(1),即1+日

=-a-l,即为=-2,得3=—1(符合题意)，

∖x+x,%≤0,

Λ/(ɪ)=1八

[―x2+1x,M>0.

：.f(-ι)=(-ι)2+(-ι)=o.]

二、填空题

7.已知函数F(X)是定义在R上的奇函数，当x£(—8,0)时，F(X)=Iog2(—x),

则f(/(2))=.

O[f(2)=—/(―2)=—log22=-1,所以F(f(2))=F(―1)=Iogzl=O.]

8.已知f(x)是R上的偶函数，且当尤>0时，f(ɪ)=χ-χ-∖,则当XVO时，f(x)

x+χ-∖［当XVo时，-x>0,则/*(―x)=(-x)2—(―x)—1=V+χ-1,

又F(X)是偶函数，

所以F(ʃ)=f{-χ)=x+χ-∖,］

9.已知函数F(X)=X+：—1,f(a)=2,则F(—a)=________.

-4［法一：f(a)+f(一血

:∙f(—a)=-2-/(a)=-4.

法二：由已知得F®=a+,-l=2,

a

即a+［=3,所以f(―a)=—a—1=—(a+3一1=—3—1=­4.］

a∖aj

三、解答题

10.f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(ʃ)=-2∕÷3ɪ÷1,求F(x)的解析式.

［解］当XV。时，-x>0,则f(―x)=-2(—x”+3(—x)+1=—29—3x+l.

由于F(x)是奇函数，

故f(x)=-f(—X),

所以当XVO时，F(X)=2f+3χ-l.

因为F(X)为R上的奇函数，故F(O)=O.

综上可得F(X)的解析式为

—2x'+3x+l,x>0,

f(X)=VO,x=0,

^2x+3x~1,XV0.

(-χ+2x,x>0,

11.已知函数F(X)=(θ,x=0,是奇函数.

［x'+πιx,XVO

⑴求实数/〃的值；

⑵若函数F(X)在区间［-1,a-2］上单调递增，求实数a的取值范围.

［解］⑴设XV0,则一x>0,

所以F(―x)=—(一才>+2(—x)=一1―2x.

又F(x)为奇函数，

所以f［~x)=~f(力，

于是XVo时，f(ɪ)—X+2x=x-∖-mχf

所以∕n=2.

(2)要使F(X)在［-1,2］上单调递增，

—2>—1

a-'所以l<a≤3,

{a-2≤l,

故实数a的取值范围是(1,3].

[B组在综合中考查关键能力]

1.已知函数f(X)=In(e+x)—ln(e—x),则f(x)是()

A.奇函数，且在(O,e)上是增函数

B.奇函数，且在(0,e)上是减函数

C.偶函数，且在(0,e)上是增函数

D.偶函数，且在(0,e)上是减函数

fe÷x>0

A[由得一e<x<e,即函数f(x)的定义域为(-e,e),

le-%>0

又f(一X)=In(e—x)—ln(e+x)=—F(x),因而F(才)是奇函数，又函数尸ln(e+

x)是增函数，y=ln(e-χ)是减函数，则f(x)=ln(e+x)-ln(e—x)为增函数，故选A.]

2.若定义在R上的偶函数/'(x)和奇函数g(x)满足F(X)+g(x)=e*,则g(x)=()

A.B.j(ev+e-0

C.ɪ(e-'-eA)D.ɪ(e'-e^0

D[因为F(X)+g(x)=e',所以F(―x)+g(—x)=F(X)—g(x)=e-λ,所以g(x)=；

(eɪ-e-ɔ.]

3.设F(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数X,恒有F(x+2)=-F(x)∙当X

∈[0,2]时，f(ɪ)=2χ-χ.

(1)求证：f(x)是周期函数：

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.

[解](1)证明：∙.∙F(x+2)=-f(x),

f(x+4)――f(x+2)=f(x).

：.f(x)是周期为4的周期函数.

(2)Vx∈[2,4],/.一x∈[一4,—2],

.*.4—XC[0,2]>

：.f(4-Λ)=2(4-χ)-(4-χ)2=-X2+6Λ-8.

•：f(4—ɪ)=f(—ɪ)=—f(x),：•—f(x)=-χ÷6%-8,

即f(X)=X2—6x+8,x∈[2,4].

［C组在创新中考查理性思维］

1.已知函数f(*)=IOg2(，/+a—x)是奇函数,则a=,若g(x)—

fX,XW0,

则g(g(—D)=.

1yβ［由f(X)=IOgzh/J+a—x)得q∕+a-χ>0,则a>0,所以函数f(x)的定

义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(O)=IogN^=O,解得a=l.所以g(