第3章 电阻电路的一般分析-电气12级教材

电阻电路的一般分析第三章1

§3-1电路的图

§3-2KCL和KVL的独立方程数

§3-3支路电流法

§3-4网孔电流法

§3-5回路电流法

§3-6节点电压法目录2目的：找出求解线性电路的一般分析方法

。对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。

(可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）应用：主要用于复杂的线性电路的求解。复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和节点电压法。元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律)电路的连接关系—KCL，KVL定律基础：3

§3-1

电路的图

(Graph)4

“网络图论”就是应用图论（即图的理论）通过电路的结构及其联接性质，对电路进行分析和研究。电路的图电路图图论概念，只有结点、支路，无具体元件只表明电路的结构及其连接方式（拓扑性质）既有电路连接形式，又有具体元件5

电路中一个元件，或几个元件的组合

一条支路在图中用线段表示支路的连接点或端点在图中用点表示支路(branch)结点(node)复合支路+-6电路的“图”是由支路（线段）和结点（点）所组成的，通常用G来表示。定义:一个图G是节点和支路的一个集合，每条支路的两端都联到相应的节点上。12345①②③④电路图的图12345①②③④电路图

Us

抛开元件性质图（graph）一个元件作为一条支路7R5i6i1i3iS5＋－

①②③④＋－R1R2R3R4R6i2i4i56i2uS

①＋－R6i66i2③③④R5iS5i5i1

①R1－＋④uS元件的串联及并联组合作为一条支路④①②125643③8有向图：赋予每条支路方向的图。（电流、电压取关联参考方向。）无向图：未赋予支路方向的图。R2+-usR1L1L2M例：R1R2CL13452i2i4i5+-us有向图13245有向图（orientedgraph）9从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。路径(path)10连通图（connectedgraph）图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一条闭合路径。闭合路径11

子图(subgraph)若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。12树是一个连通图G的子图，该子图中包含了连通图G的全部节点，但不包含任何回路。树(Tree)

不是树树13④①②63③不是树④①②125643③④①②63③14④①②43③1④①②125643③④①②253③都是树15④①②263③④①②125643③(2,3,6)

④①②463③(3,4,6)树支(treebranch)

：构成树的支路连支(link)

：属于G而不属于T的支路树支与连支共同构成图G的全部的支路。(2)(4)162）树支的数目是一定的：连支数：特点1）对应一个图有很多的树17L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通(2)每个节点只关联2条支路（闭合路径所经过的节点都是不同的）回路(Loop)12345678253124578不是回路回路18单连支回路（基本回路）(fundamentalloop)由树支和一条连支所形成的回路，且这一连支并不出现在其他基本回路中。2）基本回路的数目是一定的，为连支数特点1）对应一个图有很多的回路3）对于平面电路，网孔数为基本回路数19◎对一个节点数为n

，支路数为b

的连通图，

其独立回路数l=b–n+1 =b–(n–1)

由全部连支形成的基本回路构成基本回路组基本回路组称独立回路组独立回路组20④①②263③145（1，2，3）

单连支回路数为:b－（n

－1）

6－（4－1）=3（2，4，6）（2，3，5，

6）树支（2，3，6）连支（1，4，5）基本回路组④①②125643③21例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。87658643824322平面图非平面图平面图一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。否则为非平面图。23156324④①②263③145网孔肯定是回路，但回路不一定是网孔。网孔(mesh)平面图的一个孔是一个“网孔”，它所限 定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔数即为其独立回路数。24KCL和KVL的独立方程数§3-2

25同一个电路中可以列写的KCL和KVL方程个数很多，但这些方程之间并不都是相互独立的，有些方程之间是线性相关的。而我们在分析电路时需要的是一组相互之间彼此独立的方程组。26I1I2R1R2R3I3US1US2+__+ab根据基尔霍夫电流定律（入负出正）：节点a

节点b这两个方程相同，只有1个是独立的。一、KCL的独立方程数27节点①节点②节点③节点④根据KCL，列各节点的电流方程只有三个方程是互相独立的③④①②125643结论：对n个节点的电路的图，能且只能列出（n-1）个KCL独立方程，这些独立方程对应的节点称为独立节点。28b–(n

–1)个独立的KVL方程一个节点数为n

，支路数为b的电路:二、KVL的独立方程数可以列出选用网孔列出的KVL方程一般是独立的。一个电路的独立方程数＝独立回路数29§3–3支路电流法

(branch–currnetmethod)30支路电流法：以支路电流作为变量，应用KCL、KVL以及VCR建立电路方程分析电路的方法。对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。＋－④＋－R1R2R3R4R6iS5uS6uS1R5i4i1i3i2i5i631支路电流法的求解步骤在图中标定各支路电流（电压）的参考方向；选定(n–1)个独立节点，列写其KCL方程；根据KVL和VCR写出b–(n–1)个以支路电流为变量的独立的回路电压方程联立求解上述方程组，得到b个支路电流进一步计算支路电压和进行其它分析。32＋－d＋－R1R2R3R4R6iS5uS6uS1R5设各支路电流及其参考方向如图所示3列KCL方程：(入正出负）解：节点a节点b节点c2判定支路电流数b

和节点数nabci4i1i3i2i5i6例：33＋－④＋－R1R2R3R4R6iS5uS6uS1R5–uS1+R1i1+R2i2+R3i3=0R6i6+uS6–R4i4–R2i2=0

4列KVL方程：l1l2l3回路l1：回路l2：回路l3：i1i3i2i5i6i4如何处理？3634i5＋－④＋－R1R2R3R4R6iS5uS6uS1R5i4i1i3i2i6或：将电流源并电阻等效变换成电压源串电阻后再列KVL：l2回路l2：ixR6uS6＋－④＋－R1R2R3R4uS1R5iS5i4i1i3i2＋－R5i5i6l235代入已知量，联立解方程组，可求解出各支路电流–uS1+R1i1+R2i2+R3i3=0R6i6+uS6–R4i4–R2i2=0得支路电流方程组36R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例：列写支路方程有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:列KVL写方程：取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行用VCR消去支路电压得：回路1回路2回路3123n1:n2:n3:3738例

如图所示电路已知：求：各支路的电流及电源输出的功率。R2R3US2_+

baIS139KCL方程：KVL方程：

1解：设参考方向节点b为参考节点US2R2R3+-baIS1I1I3I240代入数据整理，得联立方程式解得电流源输出的功率为:故

1Uab+_US2I1I2I3R2R3+-baIS141对于电压源US2，其输出的功率为

(负号表示吸收功率）US2I1I2I3R2R3Uab+_+-baIS142(1)电源的处理，尤其是电流源的处理支路电流法的难点

(2)受控源的处理支路电流法的特点支路法列写的是

KCL和KVL方程，

所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。43独立源处理方法独立源电流源电压源直接列方程利用等效变换转换为电压源列方程(1)增加一个变量：电流源上的电压

(多出一个变量)(2)补充一个该支路的电流方程(保持变量数与方程数一致)列方程理想实际44例节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1.(2)b–(n–1)=2个KVL方程：Loop2:11I2+7I3=

ULoop1:7I1–11I2=70-Ua1270V6A7

b+–I1I3I27

11

增补方程：I2=6A+U_–I1–I2+I3=07I1–11I2=70-U11I2+7I3=

UI2=6A451解2.70V6A7

b+–I1I3I27

11

a由于I2已知，故只列写两个方程节点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=7046受控源处理方法受控源依独立源方法处理首先看成独立源多出一个变量增加一个控制量与支路电流的关系方程(保持变量数与方程数一致)控制量是否为支路电流变量数与方程数一致是不是47例3.节点a：–I1–I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解回路2：11I2+7I3=5U回路1：7I1–11I2=70-5U增补方程：U=7I3a1270V7

b+–I1I3I27

11

+5U_+U_48重要结论(1)求解n个变量，就必须建立n个独立的方程

——方程的独立性。(2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用相互独立的变量——变量的独立性。(3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流

——变量的完备性。49§3-4网孔电流法

(meshcurrentmethod)50网孔电流法：以网孔电流作为变量，对各独立网孔用KVL列出用网孔电流表达的回路电压方程。

im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－网孔电流：沿网孔边界流动的假想电流。仅适用于平面电路51网孔1网孔2整理i1=im1i2=im1

im2i3=im2网孔电流的引入已自动满足KCLim1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－52整理后得到网孔1网孔2整理im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－53im1im2网孔1网孔2整理若选不同的回路绕向？i1=im1i2=im1+im2i3=

im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－54整理后得到im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－55网孔1网孔2相同绕向不同绕向网孔1网孔256自阻自阻恒为正im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－某网孔的所有电阻之和自阻总结57正互阻负im1和im2在公共支路上参考方向相反im1和im2在公共支路上参考方向相同im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－互阻某两个网孔之间的共有电阻之和58im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－网孔1网孔259总电源电压各电压源的参考方向与网孔电流相反时，取“＋”各电压源的参考方向与网孔电流一致时，取“－”im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－某网孔的所有电源电压之和60网孔方程可写为im1im2i3＋－R1R2R3i1uS1i2＋－uS2uS3＋－61推广到具有m

个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式为R11im1+R12im2+R13im3+---+R1mimm=us11R21im1+R22im2+R23im3+---+R2mimm=uS22

------------------------Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3+---+Rmmimm=uSmm其中：Rjj为网孔j的自电阻恒为正Rij为网孔i,j的互电阻有正、负两回路电流在共有支路上参考方向相同时为正两回路电流在共有支路上参考方向相反时为负全部顺时针或逆时针为负62各电压源的方向与回路电流不一致时，取“＋”各电压源的方向与回路电流一致时，取“－”Usjj为网孔j的全部电压源的代数和(或电压源沿回路电流升为正)63网孔法直接列写规则：64网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。网孔法步骤设定网孔电流的参考方向；按照规律列网孔方程；解网孔电流；解其他变量65例用网孔法求解电流i.解：网孔有三个，对应的网孔电流为：i1,i2,i3i1i3i2（1）不含受控源的线性网络

Rjk=Rkj

,系数矩阵为对称阵。（2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时，Rjk均为负。RSR5R4R3R1R2US+_i66含有电流源支路时的处理方法处理方法：（1）有伴时：化为电压源模型；（2）无伴时:

方法1：巧选网孔法：

使无伴电流源所在支路移至网孔最外边，只有一个网孔电流流过。该网孔电流即IS

。

方法2：附加变量法： 将无伴电流源两端的电压作为变量。 增列一个辅助方程：网孔电流和电流源电流的关系方程。67例：

求ix5

+5V-5+10V-21Aix3A22A5-10V+解:独立电流源处理685

+5V-5+10V-21Aix3A2-10V+（1）设网孔电流方向

i1

，i2，i3，i4

i1i2i3i4(2)列方程辅助方程+ux-69（3）求其它解方程得70含受控源网络的网孔方程（1）受控源按独立源处理，列网孔方程；（2）辅助方程：控制量用网孔电流表示。71例：

列网孔方程2

+12V-6

-2u+4

+u-

i1

i2解：（1）设网孔电流方向i1

，i2

(2)列方程辅助方程由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。72§3－5回路电流法

(loopcurrentmethod)73回路电流法：以回路电流作为变量，对各独立回路用KVL列写用回路电流表达的回路电压方程。

回路电流：连支电流沿基本回路流动的假想电流。电路变量：连支电流L=b-(n-1)条连支，L个基本回路，L个KVL方程回路法是网孔法的推广适用于平面电路或非平面电路。74列KVL:加连支1，得基本回路IR1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3AB5C64D1I75回路IIR1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3AB5C64

D32IIIII回路III76BACDi1i4i5i6i2i3由于77BACDi1i4i5i6i2i3AB5C64

D32IIIIIAB5C64D1I78一般形式对于b

个支路n个节点的电路，回路电流方程的一般形式其他情况与网孔法同79回路法分析步骤：1任选一树。2连支电流作为回路电流，列基本回路方程，3求回路电流及其他响应。选连支技巧：（1）电流源尽量选为连支；（2）受控源：控制支路尽量选为连支； 辅助方程——控制量用连支电流表示；（3）待求量尽量选为连支；80

网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况，

——当选择的独立回路为网孔时

采用网孔电流法，只能选择网孔作为独立回路

采用回路电流法，可以选择基本回路作为独立回路，独立回路的选择面比网孔电流法灵活。二、回路电流法与网孔电流法比较81解：（1）选树选连支：电流源， 待求量i

例:求iR1

-11V+R4103AR3=52A4iR2=212(3)解方程组得3（2）列回路方程

82例:求i

解：（1）选树选连支：电流源 受控源 待求量i

R42A2iR3=15R1=105iR2=5(3)解方程组求得IIIIII（2）列回路方程

83§3–6节点电压法

(nodevoltagemethod)84节点电压法：以节点电压为变量，对独立节点用KCL列出用节点电压表达的有关支路电流方程。基本指导思想是用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立方程，以减少联立方程的元数。节点电压法列写的是结点上的KCL方程独立方程数为：与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。85以参考节点为负，其余独立节点为正选节点③为参考节点，则节点①、②的节点电压分别用：

un1

、un2

表示。节点电压的表示一般选参考节点的电位为零节点电压的参考极性+un1–+un2–①②③+u1–+u2–+u5–+u6–+u3─+u4─uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－86将支路电压用节点电压表示+un1–+un2–用节点电压可表示各支路电压①②③+u1–+u2–+u5–+u6–+u3─+u4─u1=un1u2=un1u3=un1-

un2u4=un1-

un2u5=un2u6=un2uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－187uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－

选节点③为参考节点

列KCL方程（入负出正）i1i2i3i4i5i6节点①：节点②：①②二、节点电压方程的建立88

根据元件的VCR，将支路电流用节点电压表示：代入上述的KCL方程＋－uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－i1i2i3i4i5i6①②+un1–+un2–89移项整理①：②：uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－i1i2i3i4i5i6①②+un1–+un2–90整理91返回互电导恒为负G12G11G22G21is11is22uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－①②+un1–+un2–互电导自电导注入电流92进一步改写为uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－①②+un1–+un2–93自电导恒为正自电导uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－①②连在某独立节点上的所有电导之和94互电导互电导恒为负uS4R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－①②连在某两个独立节点之间的所有电导之和95独立节点的注入电流uS4①②③R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－i1i2i3i4i5i6i3i2iS1R6①②R3R2R1R5R4i1i5i6iS4iS6等效电流源96以流入为正流出为负。独立节点的注入电流uS4①②③R3R2R1R6R5R4＋－＋－uS1uS6＋－i1i2i3i4i5i6i3i2iS1R6①②R3R2R1R5R4i1i5i6iS4iS6i497一般情况G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中Gii—自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。恒为正。

当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSni

—流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij

=Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，恒为负。98节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；(5)其它分析。(4)求各支路电流(用节点电压表示)；99例：用节点法求各支路电流。20k

10k

40k

20k

40k

+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5I1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.46mAI4=UA/40=0.546mA各支路电流：解：列节点方程UA=21.8V

UB=-21.82VI5=UB/20=-1.09mA100节点电压法的几种特殊情况：1、电路中有受控源；2、电路中有电流源串联某元件；3、电路中有无伴的电压源；1011、电路中有受控源：（1）先将受控源看作独立源处理；（2）然后补列受控源的约束方程：

即：将受控源的控制量用节点电压表示。102例：列图示电路的节点电压方程。＋50V－20ΩI10Ω＋－15I5Ω4Ω6Ω8Ω103解：①③②选参考节点和独立节点如图，节点①：节点②：节点③：＋50V－20ΩI10Ω