辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体

2022-2023学年度上学期期末高一年级试题

数学

第倦选择题（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.设集合/={x|x-2Z0},5={X|X2-2X-8<0},全集U=R,则83电/=（）

A.（4,+oo）B.

C.[4,+oo）D.（-8,-4]

2.若a,6均为实数，则“ln〃>lnb”是"e0>e〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.从高一（男、女生人数相同，人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件/为“三

名学生都是女生”，事件5为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男

生"，事件Z）为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（）

A.尸（/）=：B.P（C）XP（D）

C.事件/与事件8互斥D.事件力与事件C对立

4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方式估计该运动员

三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定

1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果,

经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683

829436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A.-B.|C.—D.|

48128

5.如图，已知函数/（x）=3i,则它的反函数y=/T（x）的大致图像是（）

试卷第1页，共5页

6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都

可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据：

lg2»0.3,lg3»0.48）

A.第5代种子B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子

7.已知log?〃=0.5"=0.2",则（）

A.a>b>\B.b>a>\

C.b>\>aD.a>\>b

8.设=关于x的方程［/（x）『+h/（x）+l=0,给出下列四个命题，其

中假命题的个数是（）

①存在实数左，使得方程恰有3个不同的实根;

②存在实数3使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数上，使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数3使得方程恰有6个不同的实根.

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对

的得2分.

9.秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前

一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：，C）依次为

36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3,则该组数据的（）

A.极差为0.4°CB.平均数为36.2℃

C.中位数为36.1℃D.第75百分位数为363c

io.设2,B是两个非零向量，则下列描述错误的有（）

A.若卜+.=忖-w，则存在实数4>0，使得2=义反

B.若力B，贝川4+*卜-©.

C.若p+*同+忖,则（反向.

D.若々〃几则5一定同向

试卷第2页，共5页

11.下列命题正确的有（）

A.命题“Vx>l,2,-1>0”的否定“也41,2r—1>0”

B.函数〃x）=bg|（6+'-2才2）单调递增区间是|__1,2）

514）

a,

C.函数〃X）=—X，x«一]是R上的增函数，则实数a的取值范围为（旧3、

（3-2<7）X+2,x>—1

D.函数〃x）=：-log2X的零点所在区间为（2,3）且函数/（另只有一个零点

12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地

区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人

数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的

是（）

A.平均数嚏43

B.标准差S42

C.平均数143且极差小于或等于2

D.众数等于1且极差小于或等于4

第II卷非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.当xe（0,+8）时，基函数夕=（/-机-1卜"'5-3为减函数，则加=.

14.已知函数〃x）=a（e、-eT）+bx+2,（"H0）,若/⑷=—2019,则〃叫=.

15.已知A/8C中，~AN=^NC,〃为线段8N上的一个动点，^AM=xAB+yAC（x,

y均大于0）,则,+2的最小值_____.

xy

16.已知函数/（X）=ln（x2+e2）（e为自然常数，e«2.718）,g{x）=ax2+2x+a+\,若

总三々€[0,+8）,使得/（xJ=g（X2）成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

17.计算下列各式的值.

⑴271+（；）2_（3_乃,+；

|02

⑵Iog28-(lg4+lg25)-log58log25+7^.

18.设p:24x<4,q：实数x满足Y-2ax-3a2<。(q>0).

试卷第3页，共5页

(1)若。=1,且p，q都为真命题，求x的取值范围：

(2)若。是g的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

19.平面内给定三个向量1=(3,2),5=(7,2)忑=(4,1).

(1)求满足”"夜+川的实数"?，"；

(2)设—满足(2v)〃(万+5).且口/=1,求向量屋

20.某校高二(5)班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图

(1)求总人数N和分数在120~125的人数〃；

(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？

(3)现在从分数在115~120分的学生(男女生比例为1：2)中任选2人，求其中至多含

有1名男生的概率.

21.某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感

2

兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为不且各场比

赛互不影响.

⑴若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；

(2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.

22.若函数"X)对于定义域内的某个区间/内的任意一个x,满足/(-x)=-/(x),则称

函数/(X)为/上的“局部奇函数“；满足/(-x)=/(x),则称函数/(X)为/上的“局部偶函

数”.已知函数/(x)=2'+02-，,其中％为常数.

(1)若/(x)为［-3,3］上的“局部奇函数”，当xe［-3,3］时，求不等式/(幻＞；的解集；

(2)己知函数/⑺在区间卜1,1］上是“局部奇函数”，在区间［-3,-1)口(1,3］上是“局部偶

试卷第4页，共5页

/(x),xe[-l,l]

函数“，F(x)=

/(x),xe[-3,-l)u(l,3]

(i)求函数尸(x)的值域；

(ii)对于［-3,3］上的任意实数再/2户3，不等式尸(石)+尸(》2)+5＞加产(》3)恒成立，求实数

机的取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案

1.B

【分析】解不等式可求得集合48,由补集和并集定义可求得结果.

【详解】由X-2W0得：x>2,则4=[2,+oo),Q,/=(-oo,2)；

由x」-2x-8<0得:-2<x<4,则8=(-2,4),=(—00,4).

故选：B.

2.A

【分析1根据函数V=lm:与y=e、解不等式，即可判断.

【详解】解：因为lna>ln6,由函数y=lnx在(0,”)上单调递增得：a>b>0

又e">eM由于函数了=砂在R上单调递增得：a>b

由“4>6>0”是“"b”的充分不必要条件

可得“lna>lnb"是％">*'的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

【分析】由独立乘法公式求尸(，)，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、

D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为则P(4)=A正确;

42两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；

C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，

其对立事件为A,D正确；

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，

与C事件含义相同，故尸(C)=P(D),B错误：

故选：B.

4.A

【分析】根据随机数找出三次投篮恰有两次命中的数组，再根据古典概型的概率公式计算可

得.

【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137,271,436共3个，

答案第1页，共11页

31

所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P=—=-.

故选：A

5.C

【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得p=/1卜)=1。831+1,再由解析式选择图

像即可.

【详解】由题意得，函数/(x)=3、r的反函数是、=广«)=k^x+l,

这是一个在(0,+8)上的单调递增函数，且Vlogs1=0,所以只有选项C的图

像符合.

故选：C.

6.C

【分析】设第x代种子的数量为15一，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得

到结果.

【详解】设第x代种子的数量为15、T,由题意得15IN10"得xNlogJO'+l.因为

log107+l=-----------+1————+1«6.9,故种子数量首次超过1000万粒

15Ig3+lg5Ig3+l-lg2

的是第7代种子.

故选：C.

7.D

【分析】根据0.5">0得出log2a>0,从而得出1<“<正<2,0.2">0.2得出6<1可得答案.

【详解】因为。>0,所以咋2q=0.5">0,可得

0.5"<0.5,log2a<^-=log,-^2,

所以0.5">0.5?>0.2，0.2*>0.2，所以b<l,

所以”>l>b.

故选：D.

8.C

【分析】作出函数图象，令/+丘+1=0,对根的判别式分类讨论即可得解.

【详解】解：•・•/(x)=||x-l卜1|

答案第2页，共11页

可作函数图象如下所示:

(1)当△=公一4=0时，解得k=2或k=-2

①当左=-2时，/+丘+1=0解得x=l由图可知，存在3个不同的实数使得/(x)=l,

即方程[/。)了+上/四+1=0有3个不同的实数根；

②当人=2时，f+fcv+l=O解得尸-1由图可知，不存在实数使得/(x)=T，即方程

[f(x)T+h〃x)+l=O无实数根;

(2)当A=^-4>0时，解得A>2或％<—2,

①当人>2时，方程/+依+1=0有两不相等的实数根，设为与，巧，

则再+>2=—1V0,X1X2=1

.・力，巧均为负数，由函数图象知/(x)20,故不存在实数使得/。)<0,即方程

[”x)T+h/(x)+l=O无实数根；

②当左<-2时，方程+区+1=0有两不相等的实数根，设为玉，巧，

则再+>2=-♦>0,X]X2=1

••.士，/均为正数且再=,，

X2

设七>1则。(玉<1,由图可知，存在2个不同的实数使得/(耳>1,

存在4个不同的实数使得0</(x)<l,

即方程[〃%)了+上/(力+1=0有6个不同的实数根;

(3)当△=f-4<o时，方程无解，则方程卜⑴[+h〃x)+l=0无实数根：

综上可得正确的有①④，错误的有②③

答案第3页，共11页

故选：c

【点睛】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于难题.

9.ABD

【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.

【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4,

极差为36.4-36.0=0.4℃,故A正确；

平均数为36+362+…+36.3=362C,故B正确；

7

中位数为362C,故C错误；

因为7x75%=5.25,所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是363C，故

D正确.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】根据向量加法的意义判断选项A,C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断

选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.

【详解】对于选项A：当|£+可=向-问，由向量加法的意义知5方向相反且向士国，

则存在实数2<0,使得£=几5,故选项A错误；

对于选项B：当£_L兀则以B为邻边的平行四边形为矩形，且|£+可和P-可是这个矩形

的两条对角线长，

则卜+可=卜-囚，故选项B正确；

对于选项c：当|£+可=向+|可，由向量加法的意义知3方向相同，故选项c错误；

对于选项D：当£〃坂时，则各同向或反向，故选项D错误：

综上所述：选项ACD错误，

故选：ACD.

11.BD

【分析】对于A,由全称命题的否定为特称命题即可；

对于B,先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；

对于C,由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等

式求解即可；

答案第4页，共11页

对于D,先判断函数/（x）的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.

【详解】对于A,命题2'-1>0”的否定“*>1，21-1<0,\故A选项错误；

对于B,由6+x—2/>0,得令f=6+x-2x?,则

22

因为j+x*在„，£）上单调递增，在（（，2）上单调递减，

又V=logJ在定义域内单调递减，

2

所以“X）在上单调递减，在2）上单调递增，故B选项正确；

--X<-1

对于C,因为函数/（%）=，X,一是R上的增函数，

（3-2a）x+2,x>-1

a>0

3

所以3-2〃>0,解得：故C选项错误；

2

（3-2a）-（-l）+2>--

—1

对于D,因为函数尸：和函数夕=-1国2》在区间（2,3）上单调递减，

所以函数/。）=：-1084在区间（2,3）上单调递减，

又因为/⑵♦/⑶=（|-1）（1-1鸣3）<0,

所以函数/（X）在区间（2,3）上只有一个零点，故D选项正确.

故选：BD.

12.CD

【解析】根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和

标准差不能确保每天的新增病例数不超过5,可判断A,B错误；再根据平均数及极差综合

判断C,D中数据的可能取值，分析是否符合条件.

【详解】对于A选项，若平均数嚏43,不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意;

对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10,标准差是0,

显然不符合题意；

对于C选项，若极差等于0或1,在嚏43的条件下，显然符合指标；若极差等于2,假设最

大值为6,最小值为4,则（>3,矛盾，故每天新增感染人数不超过5,符合条件，C正确；

对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标.

答案第5页，共11页

故选：CD.

【点睛】本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影

响，其中C、D选项的判断是难点，可采用假设法判断.

13.2

【分析】利用‘幕函数定义即可得到结果.

【详解】•••函数为幕函数，则/-"一1=1,解得加=-1或"?=2,

又因为函数在(0,+8)上单调递减，

OJW/M2-2m-3<0>可得加=2,

故答案为：2

14.2023

【分析】根据解析式可得/(-x)+f(x)=4,然后把/(〃)=-2019代入即可得答案.

【详解】•••/(x)=a(e、-eT)+6x+2,(abH0),

f(-x)=a(e-r-ev)-bx+2,(ab声0),

•••/(-%)+/(x)=4,即/(-A)=4-/(A)=4-(-2019)=2023.

故答案为：2023.

15.36

【分析】苜先转化向量表示前=兀而+5夕而，再结合平面向量基本定理的推论得x+5y=l,

再利用基本不等式求最值.

【详解】由条件可知刀=5而，所以加=x^+5y布，点阴,5N三点共线，

所以x+5y=l,且x>0/>0,

i+-=f-+-\x+5y)=26+比—>26+2忸§士36,

xy\xy)xyy

当x=y='时，等号成立.

6

故答案为：36

16.[0,1]

【分析】设函数〃x)、g(x)的值域分别为集合4-易得/=[2,+8),再根据对任意的王6R,

总存在实数使得/a)=g(xj成立，由/右5,结合二次函数的值域求解.

答案第6页，共11页

【详解】设函数“X)、g(x)的值域分别为集合4、B,

当xe及时,/U)e[2,+oo),所以Z=[2,+8),

因为对任意的占eR,总存在实数々©[0,+00),使得.f(xj=g(z)成立,

所以应有AcB,

故当。<0显然不合要求.

当。=0时，在[0,-Foo)上g(x)=2x+1€[1,+8)符合要求.

当a>0时，g(x)=a(x+，)+a+l-L在[0,+8)上递增,

所以g(x)e[a+[+<»),故a+lV2,解得a41,

综上，ae[0,l]

故答案为：[0』]

17.(1)125

(2)0

【分析】(1)按照指数运算进行计算即可：

(2)按照对数运算进行计算即可；

2/1\-2(1_口62

【详解】(1)273+1§J-(3-^)°+|^23x32=@3)3+32-i+2<33=9+9—1+4x27=125；

,og72

(2)log28-(lg4+lg25)-log58-log25+7=3-lgl00-log28+2=3-2-3+2=0.

18.(l){x|2<x<3}；

⑵g，+8).

【分析】(1)求得4命题对应的不等式解集，与。命题对应的不等式取交集即可；

(2)求得4命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.

【详解】(1)当。=1时，可得》2-2办一3/<0,

可化为/_2尤-3<0,解得-l<x<3,

又由命题。为真命题，则24x<4.

所以P,4都为真命题时，则x的取值范围是{X|24X<3}

答案第7页，共11页

(2)由f-2QX-3〃2<0,(。>0),解得一

因为p:2Kx<4,且。是夕的充分不必要条件，

即集合｛x|2Vx<4｝是卜卜a<x<3a｝的真子集，

一a<2

44

则满足3心4,解得〃之§,所以实数。的取值范围是或+8

a>0L

⑴掰=、,(

19./2=-12)2=卜当+或2=

13fli—〃=4

【解析】⑴根据三拓+〃即可得出（4,1）=（3优-〃,2〃?+2〃），从而得出2切+2；=1'解

出ZM,〃即可：

（2）根据（）/）//（"+1），|7-4=1，得到方程组，解得.

【详解】解:（1）・；=（3,2）4=（-1,2）1=（4,1）且三族+川

（4,1）=（3川-〃2%+2〃）

37H-w=4

2m+2〃=1

(2)d-c={x-4,y-l),a+b=(2,4)

又(2_c)〃(a+B),口-4=1,

4后4亚

x=4+——x=4------

4(x-4)-2(y-l)=05

解得5或“

=2

(x-4)+(y-l)=1,2亚,275

产1+工V—1--------

5

或2=卜一号/一

所以"-=(4+亚*1+要2后\

X.7

【点睛】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求

向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

答案第8页，共11页

20.(1)4；

（2）众数和中位数分别是107.5,110；

14

(3)—•

-15

【分析】（1）先求出分数在110-120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在

120-125内的学生的频率，由此能求出分数在120-125内的人数.

（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数.

（3）由题意分数在115-120内有学生6名，其中男生有2名.设女生为4，4，4，4,男

生为四，B2,从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率.

【详解】（1）分数在110-120内的学生的频率为々=（0.04+0.03）x5=0.35,

14

该班总人数为"==40.

0.35

分数在120-125内的学生的频率为：7^=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）x5=0.1（,

分数在120-125内的人数为"=40x0.10=4.

（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为一；"°=107.5.

设中位数为“，­••0.01x5+0.04x5+0.05x5=0.50,.-.0=110.

•・・众数和中位数分别是107.5,110.

（3）由题意分数在115-120内有学生40x（0.03x5）=6名，其中男生有2名.

设女生为4，4，4，4,男生为反，B2,从6名学生中选出2名的基本事件为：

（4，A2）,（4，A,）,（4，4）,（A,,线），（4，BJ,（4，4）,（4，4），

（4,A）,（A2,BJ,（4,4,）,（4，BJ,（4,5,）,（4，吕），（4，BJ,

（4,＜）,（4,B2）,（4，Bl）,（B,,B2）,共15种，

其中至多有1名男生的基本事件共14种，

,其中至多含有1名男生的概率为尸=三.

21.⑴上（2）感

【解析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一（二）场比赛

答案第9页，共11页

甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.

(2)五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢

了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.

【详解】解:设4(i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜

(1)所求概率为:尸(44)+尸(4豆4)+尸(彳44)=自+|'停)乂2=卷

⑵所求概率为:尸(4不㈤+*4%)+尸(石4彳)《(|卜3=寻

【点睛】本题考查相互独立事件的