2022-2023学年北京市顺义重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市顺义重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={一2,0,2},B={x∣x≥0},则4CB=()

A.{0,2}B.{2}C.{-2,2}D.{-2,0,2}

2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

z2

A.y=(∣)B.y=-xC.y=log2xD.y=2∣x∣+1

3.设α=log3O.4,b=log30.3,c=O.33,则()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD,b<a<c

4.在C-2x)6的展开式中，常数项为()

A.-120B.120C.-160D.160

5.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件4“取到的2个数之和为偶数”，事件B:“取

到的2个数均为偶数”，则P（BM）等于（）

11

A.8-4-D

c∙tI

6.在无穷等差数列{%1}中，公差为d,则“存在meN*,使得的+a2+=α7n”是“％=

∕cd（k6N*）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wzog2（1+

焉）.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的

平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中需叫作信噪比.当信噪比比较大时，公

式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比,从IOOo提升到

8000,则C大约增加了（仞2=0.301）（）

A.10%B.20%C.30%D.50%

8.已知函数f(x)是定义域为(—8,+8)的奇函数，满足"2—x)=f(2+x),若/(I)=2,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+/(2022)=()

A.-2B.0C.2D.4

9.已知函数/(x)=e∖M">°n,若y=/(x)图象上存在关于原点对称的点，则实数α

kX+1—CLfX<Z\)

的取值范围是()

A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)

10.已知函数f(x)=|2"—α∣-kx—3,给出下列四个结论:

①若α=1,则函数f(x)至少有一个零点；

②存在实数α,k,使得函数/(x)无零点；

③若α>0,则不存在实数k,使得函数/(X)有三个零点；

④对任意实数α,总存在实数A使得函数/(x)有两个零点.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.不等式2>一2的解集是____.

x-2

12.首项为1的等比数列｛an｝中，4a1,2a2,g成等差数列，则公比q=.

1913-

13.计算：Iog3IS—log-3S—2°+lnVe=.

14.已知正数X,y满足X+y=4,若a≥Xy恒成立，写出一个满足条件的α值____.

15.在数列｛%j｝中，对任意的n∈N*都有αrι>0,且a"1一的+】=即，给出下列四个结论：

①数列｛即｝可能为常数列；

②对于任意的n≥3,都有a⅛≥2；

③若0<a1<2,则数列｛0｝为递增数列；

④若%>2,则当n≥2时，2<arι<a「

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12.0分)

已知等差数列｛an｝的公差为d,前Ti项和为%，满足的-1,d>0,且%,c⅛,S3成等比数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式：

a

(2)记匕=an+2n,求数列｛bn｝的前n项和用.

17.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=X2—2ax—3.

(1)当α=1时

①写出函数图象的对称轴方程，顶点坐标：

②求解f(x)>O不等式.

(2)若Xe[1,3]>求函数/(久)最小值g(α)的解析式.

18.(本小题12.0分)

某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生.为了解全校学生两个月以来的

课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了IoO名学生进行问卷调查，将样本中的

“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：

[0,10),[10,20),[20,30),[30,40).[40,50],得到初中生组的频率分布直方图和高中生组的

频数分布表.

分组区间频数

[0,10)2

[10,20)10

[20,30)14

[30,40)12

[40,50]2

高中生组

(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数；

(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记f为3人中初中生的人数，求

f的分布列和数学期望；

(3)若用样本的频率代替概率，用G表示高中阅读时间，“A=l”表示阅读时间在[30,50]情

况，=0”阅读区间在[0,30)的阅读情况.相应地,用心表示初中组相应阅读时间段的情况,

直接写出方差DG，大小关系•(结论不要求证明)

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ax3+bx2,在点(Ij(I))处的切线方程是y=-3.

(1)求α,b的值：

(2)设函数g(x)=/(x)-m(m∈/?),讨论函数g(x)的零点个数.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=kx—ln(l+x)(∕c>0).

(I)当k=1时，求曲线y=/(X)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若函数/(无)在(0,+8)上有最小值，求k的取值范围；

(3)如果存在XOe(O,+8),使得当x∈(0,x°)时，恒有/(x)</成立，求A的取值范围.

21.(本小题12.0分)

若数列｛an｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称｛即｝为“△数列”.

(I)分别判断数列1，2,3,4,与数列2,6,8,12是否为“△数列”，并说明理由；

(口)已知数列｛%｝的通项公式为勾=2"1+1,判断｛bτt｝是否为“△数列”，并说明理由;

(IIl)已知数列｛cjl｝为等差数列，且ClH0,cn∈Z(nCN*),求证｛%｝为“△数列”.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合A={-2,0,2}.B={x∖x≥0),

∙∙AC∖B={0,2}.

故选:A.

利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：4函数为减函数，不满足条件.

B.函数y=—M在(0,+8)上为减函数，不满足条件.

C.函数的定义域为(0,+8),为非奇非偶函数，不满足条件.

D∙fD=f⑺，则/Q)为偶函数，当x>0时，y=2x+l为增函数，满足条件，

故选：D.

分别判断函数的奇偶性和单调性进行判断即可.

本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断是解决

本题的关键，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为对数函数y=log3X在(0,+8)上是单调递增的，

所以log3O.3<Iog30.4<Iog3I=0,

又因为C=0.33>0,所以b<a<c.

故选：D.

根据指对函数单调性可解决此题.

本题考查指对函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题.

先求出通项，然后令X的指数为零即可.

【解答】

解：由题意得：几+1=(―2∕C"2k-6,

令2k—6=O得/c=3,

故常数项为7；=(-2)3/=-160.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查条件概率的计算公式，属于基础题.

用列举法求出事件A="取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求PQ4),同理求出

P(AB),根据条件概率公式P(B∣4)=鬻即可求得结果.

【解答】

解：事件力="取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：

(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4),

42

N="

事件B="取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),

∙∙∙^β)=⅛=⅛

∙・"⑶=制∏∙

故选：B.

6.【答案】B

【解析】解：先检验充分性：

af

由QI+α2+α3=m得3的+3d=α1+(m-l)d,即Ql=号

若a】=kd,mEN*,当沅=5时，fc=ɪ,不满足题意，充分性不成立；

再检验必要性:

若%=kd,则Ql+α2+α3=3α1+3d=3d(k+1),am=α1÷(m—l)d=kd+(m—l)d=

(k+m—l)d,

a

令Qi÷α2÷ɑɜ=m»得3d(k÷1)=(fc+m-l)d,则2k=m-2,

易知取k=l,m=3满足题意，必要性成立，

故选：B.

αa9

根据的+α2÷3=%n可得的=ɪʃ-d,从而可检验充分性；若%=kd,令的+α2+α3=m

得3d(k+1)=(fc÷m—l)d,则2/c=m—2,从而可检验必要性.

本题考查等差数列的通项公式，涉及充分、必要条件，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，

属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：当》=IOOO时，C1=Wlog2IOOO,

当需=8000时,C2=Wlog2SOOO,

.C1_WIogz8000_Ig8000_3+3∕g2_

-,

"CiWlog2IOOO-IglOoO——3~2"

故C大约增加了30%.

故选：C.

根据已知条件，分别求出6,。2,再结合对数的公式，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解:Tf(X)是奇函数,fi∕(2-x)=f(2+x),

.∙.f(2-X)=/(2+x)=-f(x-2),即f(x+4)=-f(x),

则/(X+8)=-/(X+4)=f(x),即f(X)的周期是8,

∙∙∙f(x)是奇函数，:/(0)=0,

若"1)=2,则f(l+2)=/(2-1)=/(1)=2,即f(3)=2,

/(4)=-/(0)=0,/⑸=-/(1)=-2)/(6)=一/(2),/⑺=/(-1)=一/⑴=-2,

则/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+∙∙∙+f(7)=0+2+/(2)+2+0-2-/(2)-2=0,

则f(1)+/(2)+/(3)+•••+/(2022)=252X[/(0)+f⑴+/(2)+f(3)+∙∙∙+/(7)]+/(1)+

/(2)+∕(3)+f(4)+f(5)+∕(6)

=2+/(2)+2+0-2-/(2)=2,

故选：C.

根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期是8,利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.

本题主要考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，利用周期性进行转

化求解是解决本题的关键，是中档题.

9.【答案】D

【解析】解：∙∙∙y=%3一/关于原点对称的函数为-y=-∕-χ2,即

y=X3+x2,------------A--------*

而函数/0)图象上存在关于原点对称的点，/J

则y=X2+1-α与y=X3+然在(-8,0)上有交点，7ʃ=J"

•••方程χ2+1_α=/+无2在(_8,0)上有实数根，虱g∣

即1-α=炉在(_8,0)上有实数根,

即y=1一α与g(χ)=N的图象在(一8,0)有交点,

Vg'(x)=3x2>0,g(x)在(-8,0)上单调递增，

则g(x)<g(0)=0,可得l-α<0,即α>L

故选：D.

由题设，将问题化为1-a=/在(_8,0)上有实数根，即y=1-a与g(χ)=/的图象在(—8,0)有

交点，利用导数研究g(x)=/在(_8,0)的值域，数形结合求参数范围.

本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，是中档题.

10.【答案】B

【解析】解：①当a=1时，/(x)=∣2x-1∣-fcx-3,令/(x)=0,得|2"—1|=丘+3,

在同一坐标系中作出y=|2丫一1∣,y=fcc+3的图像，如图所示：

由图像及直线y=kx+3过定点(0,3)知函数/(x)至少有一个零点，故正确;

②当α=-4,k=0时，作出y=|2工+4|,y=3的图像,

由图像知，函数/(x)无零点；

③当a=6,k=-3时，在同一坐标系中作出y=∣2*—6∣,y=-2x+3的图像，如图所示:

由图像知：函数”X)有三个零点，故错误;

④当a=0时,

由图像知：对任意实数α,总存在实数k使得函数/(x)有两个零点，故正确.

故正确为：①②④.

故选:B.

在同一坐标系中作出y=|2工一α∣,y=Zcx+3的图像，利用数形结合法求解.

本题考查了函数的零点，分类讨论思想及数形结合思想，难点是针对每种情况能准确作了图象,

属于中档题.

11.【答案】(-8,2)u(2,+8)

【解析】解：搐>-2=言>OQ(2x-I)(X-2)>0,

解得X<2或X>2.

故答案为：(—8，)u(2,+8).

进行移项通分，变形成一元二次不等式求解.

本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

12.【答案】2

【解析】解:设等比数列｛αn｝的公比为q,且诙=1，

4α1,2a2‹生成等差数列，

4α2=4α1+a3,即4q=4+q2,

.∙.(q-2)2=0,解得q=2,

故答案为：2.

由题意得4c⅛=4%+。3,利用等比数列的通项公式可得4q=4+q2,求解即可得出答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想,考查逻辑推理能力和运算能力,

属于基础题.

13.【答案】一|

,θz3

【解析】解:Iog3IS-Iog3S—2°+lnV-e=log3(3×5)—Iog3S-3+Ine2=1+Iog3S—

Iog3S-3+ɪ=—|,

故答案为：—p

结合对数的运算性质，即可得出式子的值.

本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题.

14.【答案】4(答案不唯一，大于等于4均可)

【解析】解：正数％,y,若α≥孙恒成立，则α≥(xy)Tnax，

因为X+y=4,所以Xy≤(ɪ)2=4,

当且仅当％=y=2时取等，所以α≥(xy｝max=4.

故答案为：4(答案不唯一，大于等于4均可).

由基本不等式求出(Xy)JnaX即可得出答案.

本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.

15•【答案】①③④

-α=a,0-

【解析1解："ɑn+!n+ln∙∙0,n—2=O,n+l~n+l2=(an+1—2)(an+1+1)>

••・任意的n∈N*都有>O,.∙.an+1+1>0,

.∙∙αn-2与αrι+ι-2同号，当0<%<2,则n≥3时，都有0<αjl<2,故②错误；

当的=2时，a2-2=^=0,即c⅛=2,同理得αr,=2(n≥3),此时｛α7l｝为常数列，故①正

确；

0a-0-Q2

n+l~n=n+l+2αn+l=(n+l-I)+1>

由②得若0<%<2,贝IJO<an+1<2,

2

⅝+ι-ɑn=-ɑn+1+2αn+ι=-(¾+ι-I)+1>-1+1=0,

则数列｛arι｝为递增数列，故③正确；

由即一2与即+1—2同号，当的>2,贝∣Jn≥2时，者|5有即>2,

a2

且此时αrι+ι—ατι=~n+ι+2<⅛+ι=—(αn+1—I)+1<—1+1=0,

•・•数列｛an｝为递减数列，

综上所述，若%>2,则当nN2时，2<an<a1,故④正确.

故答案为：①③④.

对数列递推关系变形得到ατι-2=(an+1-2)(απ+1+1),得到a⅛-2与a⅛+1-2同号，当O<的<

2时，O<a7l<2,②错误；当％=2时，推导出此时｛azι｝为常数列，①正确；作差法结合O<%<2

时，O<an+1<2,求出数列｛aj为递增数列，③正确；由c⅛-2与a.+]-2同号∙，得到当%>2,

有即>2,结合作差法得到｛aft｝为递减数列，④正确.

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】解：(I)由题意，可知a2=l+d,S3=3Xl+≡f≡d=3+3d,

∙∙∙a1»a2,S3成等比数列，

a1=a1-S3,即(1+d)2=1•(3+3d),

化简整理，得c12-d-2=0,

解得d=-l(舍去)，或d=2,

.∙.an=1+2(n-1)=2n—1,nE.N*.

a2n1

(Il)由(I),得以=an+2"=2n-1+2~,

则Tjt=瓦+口+∙∙∙+hn

=(1+21)+(3+23)+…+(2n-1+22n-1)

=[1+3+•■•+(2n-1)]+(21+23+•••+22n^1)

n∙(l+2n-l)21-22n+1

2+1-22

经+/二

33

【解析】(I)先根据已知条件及等比中项的性质列出关于公差d的方程组，解出d的值，即可计算

出等差数列｛%1｝的通项公式：

(∏)先根据第(I)题的结果计算出数列｛%｝的通项公式，再运用分组求和法即可计算出前n项和7；.

本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前n项和问题.考查了方程思想，转化与化

归思想，等差数列和等比数列求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)当a=1时，/(x)=X2-2%-3=(%-I)2-4,

①函数/(%)图象的对称轴方程为久=1,顶点坐标为(1,-4),

②由/(%)>O可得/-2x-3>0,解得％<-1或%>3,

所以不等式/(x)>O的解集为｛x∣X<-1或X>3｝；

(2)因为二次函数f(x)图象的对称轴为直线X=a,

①当α≤l时，f(%)在［1,3］上单调递增,则g(α)=f(l)=l-2α-3=-2-2α,

②当l<α<3时，函数f(x)在［l,α)上单调递减，在(a,3］上单调递增，

则g(α)=/(α)=a2-2a2-3=-a2-3,

③当α≥3时，函数f(x)在口3］上单调递减，则g(α)=∕(3)=9-6a—3=6—6α,

(—2CL-2,a≤1

综上所述，g(α)=j—α2—3,1<α<3.

(6-6α,α≥3

【解析】(1)①当a=l时.，将函数f(x)的解析式表示为顶点式，可得出函数〃》)图象的对称轴方

程与顶点坐标；

②利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；

(2)对实数a的取值进行分类讨论，分析二次函数f(x)在区间［1,3］上的单调性，即可得出g(a)在a的

不同取值下的表达式.

本题主要考查了二次函数的图象和性质，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

18.【答案】解：(I)IOO名学生中高中生有2+10+14+12+2=40人，初中生有IoO—40=60

人，

设高中部的学生人数为X,则有急/2=%=1200,

IoUUOU

设IOO名学生中初中生在［30,40)小时内的人数为y,

则有0.005×10+0.03X10+0.04X10+,.^.-×10+0.005XlO=Iny=12,

(JLnUnU-zrUn)^1JLU

IOO名学生中高中生在［30,40)小时内的人数为12人，

因此全校学生中课外阅读时间在［30,40)小时内的总人数估计为：

1212

1200X-÷1800X1^^720；

(2)课外阅读时间不足10个小时的样本中，

初中学生人数为0.005×10×60=3人，

高中学生人数为2人，所以f=l,2,3,

因此有P(f=1)=警=余P(f=2)=警=∣,P(f=3)=∣=⅛

所以f的分布列如下:

(3)D<1>Dξ2,理由如下：

A=O,1,则P(&=O)=I=,=0.65,P(A=I)==0.35,

则E(A)=Ox0.65+1×0.35=0.35,

OGI)=(0-0.35)2×0.65+(1-0.35)2X0.35=0.2275,

ξ2=0,1,则P&=0)=0.75,P(ξ2=1)=0.25,

则E(A)=OX0.75+1×0.25=0.25,

D&)=(0-0.25)2X0.75+(1-0.25)2X0.25=0.1875,

则£>&>%

【解析】(1)根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；

(2)根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；

(3)根据数学期望和方差的定义即可得出答案.

本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列，离散型随机变量的期望和方差，考查运

算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为f(x)=ax3+bx2,所以尸(X)=3ax2+2bx,

又因为在点(IJ(I))处的切线斜率为k=∕,(1)=3a+2b=0,

又/(1)=α+b=-3>求得：b=—9,a=6.

(2)由(1)知,f(x)=6x3-9x2,

令g(x)=f(x)-tn=0,则/(X)=m,

求函数g(x)的零点个数即y=f(x)与y=Tn图象的交点个数，

/(x)-6X3—9x2,∕,(x)=18x2-18x=18x(X—1),

令∕v(x)<0,解得：0<x<l;令/^'(x)>0,解得：刀>1或％<0,

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8),(-8,0)上单调递增，

且/(1)=6-9=-3,/(0)=0,f(x)的图象如下：

当?n>0或mV-3,y=/(x)与y=m图象有1个交点，

当m=-3或m=0,y=f(x)与y=Tn图象有2个交点，

当一3Vτn<0,y=/(%)与y=M图象有3个交点.

【解析】(1)由导数的几何意义求解即可；

(2)g(x)=/(%)-tn=0,求函数g(%)的零点个数即y=/(%)与y=τn图象的交点个数，对f(x)求

导,求出y=f(乃的单调性和极值，画出y=∕(κ)的图象，结合图像即可得出答案.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，

属于中档题.

20.【答案】解：(1)当A:=1时,f(x)=x-ln(l+x),求导得：∕,(x)=1-ɪ,则尸(O)=0,

而f(0)=0,

所以曲线y=/(X)在点(OJ(O))处的切线方程为y=0.

(2)x∈(0,+8),k>0,函数f(%)=kx-ɪn(l+x),求导得：f'(x)=k-显然恒有0<<1,

则当∕c≥l时，f(%)>0,函数/(%)在(0,+8)上单调递增，无最小值，不符合题意；

当0<k<1时,由r(X)=0,得X=AI,当0<x<91时,/(无)<0,当%>»1时,/(X)>0,

因此函数f(x)在(Ot-I)上单调递减，在4一1,+8)上单调递增，即当X=Al时，函数/(%)取

得最小值，

所以函数f(x)在(0,+8)上有最小值，k的取值范围是(0,1).

(3)∕(x)<%2<≠>X2—fcx+ln(x+1)>0,

因为存在*∈(0,+8),使得当∙∈(O,%o)时，恒有f(%)V%2成立,

则有存在%0∈(0,+8),使得当％∈(O,%o)时，X2-kxΛ-ln(x+1)>0,

令g(%)=M-kx+ln(%+1),X∈(0,x0),即有Vx∈(O,%o),g(%)>0恒成立，

求导得g'(x)=2x-k+击，令∕ι(x)=2x-k+击,x∈(0,殉)，九'(x)=2-二方>0,

因此函数无(约,即函数g'(x)在(0,殉)上单调递增，而g'(0)=l-k,

当l-k≥0,即0<k≤C时,√(x)>√(0)>0,函数g(x)在(O,xo)上单调递增，∀x∈(O,xo),

g(χ)>g(o)=