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中考试题中三角板问题的归类探析三角板的拼摆、叠放、平移、旋转,能使图形千变万化,运动着的三角板中蕴含着深厚的数学知识,这成为中考数学的一道亮丽风景,三角板问题操作性强,能较好地考查学生各种综合运用能力,同时也充分体现了新课标“动手实践和探究创新”的能力要求.下面就近几年中考数学中涉及到的三角板问题进行归纳整理和分类,并作简要赏析,以供参考.一、三角板的拼摆1.求拼出的图形中角的度数例1一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图1中方式叠放,则∠α等于().(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°简析在解答例1时,关键就是看考生是否能注意图形中隐含了相对两边的平行性,并利用这个平行性,将要求解的目标角进行集中,且与三角板角联系起来.如果考生抓住了这个隐含条件,就能顺利解答.2.求拼出的图形中的线段的长度例2一副直角三角板如图2放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.简析在解答本题时,关键是要用好“平行线间距离处处相等”,再抓住三角板中边角关系即可.3.求拼出的图形的面积例3将一副三角尺如图3所示叠放在一起,若AB=14cm,则阴影部分的面积是_______cm2.简析解答本题的关键是利用已知的两个三角板的特殊角,以此求出阴影部分三角形的边长,从而获解.4.判断拼出的图形形状及数量与位置关系例4如图4,将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,按图示画线得到四边形ABCD,则四边形ABCD的形状是_________.例5如图5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连结BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.简析在本例中,三角板AED为我们提供了EA=ED,∠EAD=∠EDA=45°,∠AED=90°,结合已知条件“在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点”,可以得到△EAB≌△EDC.因此有BE=EC,∠AEB=∠DEC,从而∠BEC=90°,所以BE=EC,且BE⊥EC.二、三角板的平移、旋转以“三角板”的平移、旋转为背景的操作探究题,立意新颖、构思巧妙,为学生提供了实践操作的空间,较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力,逐渐成为中考命题的一个新的热点.例6如图6,三角板ABC的斜边AB=12cm,∠A=30°,将三角板ABC绕C顺时针旋转900至三角板A'B'C'的位置后,再沿CB方向向左平移,使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上,则三角板A'B'C'平移的距离为().(A)6cm(B)4cm(C)(6-2)cm (D)(4-6)cm简析本题借助三角板的旋转与平移,综合考查考生利用三角板自身的角度与边长,求得平移的距离.例7将一副三角板放置如图7那样,等腰直角三角板ACB的直角顶点A在直角三角板EDF的直角边DE上,点C,D,B,F在同一直线上,点D,B是CF的三等分点,CF=6,∠F=30°.(1)三角板ACB固定不动,将三角板EDF绕点D逆时针旋转至EF∥CB(如图8),试求DF旋转的度数;点A在EF上吗?为什么?(2)在图8的位置,将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°,请问此时AC与DF有何位置关系?为什么?简析(1)EF∥CB时,旋转角∠FDB=∠F=30°.且线段AD与线段EF,CB均垂直,所以只要考虑两个直角三角形斜边上的高是否相等,即可判断点A与线段EF的位置关系,由题意易求两个直角三角形斜边上的高均为2.(2)由(1)知三角板EDF绕点D已经旋转了30°,再旋转15°后,总的旋转角就是45°了,从而∠FDB=45°=∠C,线段AC与DF的位置关系可得.三、在函数类试题应用例8如图9,在平面直角坐标系中,将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B在抛物线y=ax2+ax-2上.(1)点A的坐标为_______,点B的坐标为_______;(2)抛物线的关系式为_______;(3)设(2)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB'C'的位置,请判断点B'、C'是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.简析易求(1)(2)(3)答案:A(0,2)、B(-3,1),关系式为y=0.5x2+0.5x-2.△DBC的面积为1.875.第(4)问是一个开放性问题,必须借助旋转的性质及坐标特征、三角形全等来求得B'(1,-1),C'(2,1)在抛物线上.本例巧妙地将等腰直角三角板的旋转放置在平面直角坐标系中进行.先通过三角板的特殊角来计算点的坐标,求出抛物线的解析式,而后利用旋转的性质来确定旋转后的点的坐标.将旋转、全等三角形、平面直角坐标系及二次函数图象的相关知识有机的统一在一起,有效地考查了学生
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