（福建专用）高考数学总复习 第八章第5课时 空间中的垂直关系课时闯关（含解析）

一、选择题1．若三个平面α，β，γ之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β()A．垂直 B．平行C．相交 D．以上三种可能都有解析：选D.垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，故选D.2．(2012·龙岩质检)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.直线l⊥平面α，当α∥β时，l⊥β，又因为m⊂平面β，l⊥m，①正确；当α⊥β时，l与m的位置关系无法判断，②错误；当l∥m时，根据l⊥平面α，得m⊥平面α，又因为m⊂平面β，根据面面垂直的判定定理得α⊥β，③正确．故真命题有2个．3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′ B．BDC．A′D′ D．AA′解析：选B.如图，连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.4．(2012·长沙质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A．15° B．30°C．45° D．60°解析：选B.如图所示，连结AC交BD于O点，易证AC⊥平面DD1B1B，连结B1O，则∠CB1O即为B1C与对角面所成的角，设正方体棱长为a，则B1C＝eq\r(2)a，CO＝eq\f(\r(2),2)a，∴sin∠CB1O＝eq\f(1,2).∴∠CB1O＝30°.5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选A.在原图中连结AC与BD交于O点，则AC⊥BD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝eq\f(\r(3),2)，由于DO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos∠DOB＝eq\f(OD2＋OB2－DB2,2OD·OB)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(3,4)－1,2×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(1,3)，故选A.二、填空题6．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2012·扬州质检)已知二面角M－l－N的平面角是60°，直线a⊥M，则直线a与平面N所成角的大小为________．解析：如图，二面角M－l－N中a⊥M，垂足为A，交平面N于B，过A作AC⊥l垂足为C.连结BC.根据三垂线定理有BC⊥l.所以∠ACB为二面角M－l－N的平面角．∠ACB＝60°，∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥M,AC⊂M))⇒∠BAC＝90°⇒∠ABC＝30°.过A作AE⊥BC，垂足为E.∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥平面ABC,AE⊂平面ABC))⇒AE⊥l，∴AE⊥平面N，∴∠ABC＝30°是直线a与平面N所成的角．答案：30°三、解答题9.(2012·南京调研)如图，已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．求证：(1)BC⊥A1D；(2)平面A1BC⊥平面A1BD.证明：(1)由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，则A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，则BC⊥A1O，又BC⊥CO，A1O∩CO＝O，则BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，故BC⊥A1D.(2)因为ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D.由(1)知BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，则A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD.从而有平面A1BC⊥平面A1BD.10．(2010·高考辽宁卷)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.一、选择题1．(2012·泉州质检)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β答案：B2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析：选C.∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌△Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.选C.二、填空题3.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是__________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③4．如图，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：①、④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥．所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法，还可否定③.∵AM≠AP≠AN.也易否定②.答案：①④⑤三、解答题5.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝eq\r(3)，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系．并说明理由；(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB.又∵PB∩BE＝B，PB、BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE.∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.6.(2011·高考上海卷)已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1与B1D1的交点．(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A－B1D1－A1的大小为β，求证：tanβ＝eq\r(2)tanα；(2)若点C到平面AB1D1的距离为eq\f(4,3)，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．解：(1)证明：设正四棱柱的高为h，连接AO1，如图①，∵AA1⊥底面A1B1C1D1于A1，∴AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1＝α.∵AB1＝AD1，O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1.又A1O1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A­B1D1­A1的平面角，即∠AO1A1＝β.∴tanα＝eq\f(AA1,A1B1)＝h，tanβ＝eq\f(AA1,A1O1)＝eq\r(2)h＝eq\r(2)tanα.图①(2)法一：如图①，连接AC，过C作CH⊥AO1于H.∵B1D1⊥平面ACC1A1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1，∴CH⊥平面AB1D1，故CH＝eq\f(4,3).又∠O1AC＝β，AC＝eq\r(2)，在Rt△ACH中，AH＝eq\r(2－\f(16,9))＝eq\f(\r(2),3)，∴tanβ＝eq\f(\f(4,3),\f(\r(2),3))＝2eq\r(2)＝eq\f(h,\f(\r(2),2))，∴h＝2，即正四棱柱的高为2.图②法二：建立如图②所示的空间直角坐标系，则A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0，－h)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1，－h)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)．设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al