数学北师大版必修2课时作业1-7-3球

课时作业13球时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是(B)A．36π，144π B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π解析：球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(C)A．2 B．eq\r(2)C．eq\r(3,2) D．eq\f(1,2)eq\r(3,4)解析：设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，得R＝eq\r(3,2).3．棱长为2的正方体的外接球的表面积是(C)A．8π B．4πC．12π D．16π解析：正方体的体对角线长为2eq\r(3)，即2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.4．长方体的体对角线长度是5eq\r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(C)A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200π解析：∵对角线长为5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×(eq\f(5\r(2),2))2＝50π.5．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为(A)A．21 B．23C．2π D．25解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，则eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故选A．6．有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V球和V正，球的直径为d，正方体的棱长为a，则(A)A．d>a，V球>V正 B．d>a，V球<V正C．d<a，V球>V正 D．d<a，V球<V正解析：S球面＝4πr2＝6a2＝S正方体，∴eq\f(r2,a2)＝eq\f(6,4π)，eq\f(d2,a2)＝eq\f(6,π)>1，∴d>A．V球V正＝eq\f(4,3)πr3a3＝πd36a3＝da，∴V球>V正．7．若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(C)A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2解析：解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，得req\o\al(2,1)＝Rr，故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(A)A．eq\f(500π,3)cm3 B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3 D．eq\f(2048π,3)cm3解析：本题考查球的体积的计算．如图正方体的上底面截球的小圆直径为8cm，∴r＝4cm，设球的半径为R.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝R－2，,d2＋r2＝R2，))∴R＝5，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3).二、填空题9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π.解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π.10．如图(1)，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，如图(2)．则eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2·r，故eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，则棱锥O－ABCD的体积为8eq\r(3).解析：本题主要考查球的几何性质以及锥体的体积公式．依题意，矩形的对角线AC＝4eq\r(3)，∴球心O到平面ABCD的距离d＝2.∴V棱锥O－ABCD＝eq\f(1,3)×d×|AB|×|BC|＝eq\f(1,3)×2×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3).三、解答题12．已知三棱锥P－ABC内接于球，三条侧棱两两垂直且长都为1，求球的表面积与体积．解：三棱锥可扩展为正方体，正方体也内接于球，正方体的体对角线就是球的直径，正方体的体对角线长为eq\r(3)，球的半径长为eq\f(\r(3),2).则球的表面积为4πr2＝3π，球的体积为eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π.13．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内的水平面的高是多少？解：设球未取出时高PC＝h，球取出后水面高PH＝x.如图所示．∵AC＝eq\r(3)r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝eq\f(1,3)πAC2·PC＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r＝3πr3.V球＝eq\f(4,3)πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝eq\f(1,3)π·EH2·PH＝eq\f(1,3)π(PH·tan30°)2·PH＝eq\f(1,9)πx3.而V水＝V圆锥－V球，即eq\f(1,9)πx3＝3πr3－eq\f(4,3)πr3，∴x＝eq\r(3,15)r.故球取出后水面的高为eq\r(3,15)r.——能力提升类——14．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面圆的面积的最小值为4π.解析：将正四面体ABCD放置在如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，设球心为O.∵正四面体ABCD的棱长为4，且正四面体ABCD的棱长是正方体的面对角线长，∴正方体的棱长为2eq\r(2)，∴正方体外接球的半径R满足(2R)2＝(2eq\r(2))2×3，解得R＝eq\r(6).E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，当截面到外接球的球心O的距离最大时，截面圆的面积最小，此时球心O到截面的距离d等于正方体棱长的一半，即d＝eq\r(2).由截面的性质可得截面圆的半径r＝eq\r(R2－d2)＝eq\r(\r(6)2－\r(2)2)＝2.∴截面圆的面积的最小值为S＝πr2＝4π.15．如图，AO1是棱长为a的正四面体的高，O为AO1上一点且OO1AO＝13.(1)求证：AO＝CO；(2)求正四面体外接球和内切球的表面积．解：(1)证明：∵AB＝AC＝AD，∴O1为正三角形BCD的外心，如图，连接BO1延长交CD于E点，则E为DC中点，连接O1C，OC， 在Rt△O1EC中，O1C＝eq\f(\f(1,2)CD,cos30°)＝eq\f(a,\r(3))，在Rt△AO1C中，AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝eq\f(\r(6),3)a，又OO1AO＝13，则OO1＝eq\f(1,4)AO1＝eq\f(\r(6),12)a，OA＝eq\f(3,4)AO1＝eq\f(\r(6),4)A．在Rt△OO1C中，CO＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋CO\o\al(2,1))＝eq\f(\r(6),4)a，∴AO＝CO.(2)由(1)知A