应用高等数（高职）全套教学课件

应用高等数学全套可编辑PPT课件第1章函数目录第2章极限与连续第3章导数与微分第5章定积分及其应用第4章不定积分第6章常微分方程第7章级数与积分变换第8章线性代数第9章数学实验第1章

函数学习目标知识目标正确理解函数的概念，并会求函数的定义域及函数值。掌握函数的性质。熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和性质。能够区分初等函数、复合函数、反函数和分段函数。学习重点函数与复合函数的概念，函数定义域的确定及函数的性质。章节导读函数是研究客观世界变化规律的最基本、最重要的数学工具之一，也是描述变量之间相互依赖关系的一种数学模型。本章在总结中学已有函数知识的基础上，进一步阐述初等函数的概念，为后续知识的学习奠定必要的基础。1.1函数的概念和性质项目导航1.2初等函数1.3

反函数与分段函数1.4

数学建模初步数学建模（1）——函数模型本章思维导图1.1

函数的概念和性质1.1函数的概念和性质三个引例引例1【焊接火花的控制问题】如图所示，一焊接工人在垂直于地面的一根柱子OA的顶端进行焊接，OA=1.25m.

焊接时，柱子顶端A处的喷头会向外喷溅火花，为确保下面人员的安全，设计要求喷溅出的火花在距离OA一米处达到距离地面的最大高度，最大高度为2.25m.若要求喷溅出的火花全部落在一个有效范围内，那么这一有效范围的半径至少为多少米，才能满足设计要求？1.1函数的概念和性质三个引例引例1问题的本质是要满足设计要求，因此，首先要确定火花喷溅出来的形状与什么函数的图形相近，然后根据已知条件，抽象出相关量之间的关系，即解决这一问题需要找出这些量之间的对应关系，这也是本节的第一个重要概念——函数。在同一自然现象或技术过程中，往往有多个变量在变化着，这些变量并不是孤立地在变化，而是相互联系并遵循着一定的变化规律。这里我们通过下面两个引例先观察两个变量之间的简单变化关系。1.1函数的概念和性质三个引例引例2

【自由落体运动方程】在自由落体运动中，物体下落的距离s随下落时间t的变化而变化，下落的距离s与时间t的关系为。伽利略比萨斜塔实验1.1函数的概念和性质三个引例引例3

【电量问题】学院后勤处电工组记录了男生宿舍6-206室今年3月到10月在正常情况下的用电量（x表示月份，y

表示用电量），如表所示。表中给出了“月份x”与“用电量y”之间的联系。x/月份345678910y/度4045505525055521.1函数的概念和性质三个引例以上两个引例中，两个变量同时变化，它们之间相互依赖、相互联系。函数就是对各种变量之间相互依赖关系的一种抽象，是微积分学研究的主要对象。1.1.1函数的概念1．函数的定义定义1

设D与B是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f

，使得对D中任何一个实数x

，在B中都有唯一确定的实数y

与x对应，即

则称y为x的函数，记作

其中，x称为自变量，y称为因变量。对于确定的x0∈D，与之对应的y0称为函数y=f(x)

在点x0处的函数值，记作y0=f(x0)或。1.1.1函数的概念1．函数的定义，当自变量x取遍数集D

中的每个数值时，对应的函数值的全体组成的数集称为函数的值域。例如，就是一个函数，x

为自变量，f(x)为因变量，f为对应法则，即

1.1.1函数的概念2．函数的两要素，函数的两要素是定义域和对应法则。当两个函数的定义域相同，对应法则也相同时，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关。例如，与，就是相同的函数；与不是同一函数，因为它们的定义域不同。1.1.1函数的概念【思想火炬】在函数的四则运算中，定义域是十分重要的，即在定义域中的运算才是有意义的。在我们的生活中，法律法规便是我们行为活动的“定义域”，我们应树立法律意识，遵守法律、执行法律，营造办事依法、遇事找法、解决问题用法、化解矛盾靠法的法治环境。1.1.1函数的概念3．函数的表示方法，函数常用的表示方法图形法表格法解析法1.1.1函数的概念3．函数的表示方法，名称定义优点缺点图形法用函数的图形来表示函数的方法直观性强、可观察函数的变化趋势根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于做理论研究表格法将自变量的某些取值与其对应的函数值列成表格表示函数的方法简明、直观、查找函数值方便，一些科技手册常采用这种方法数据有限、不便于做理论研究1.1.1函数的概念3．函数的表示方法，(续表)名称定义优点缺点解析法用数学式子（即解析式）表示函数的方法形式简明，便于做理论研究与数值计算不如图形法形象直观，如图所示1.1.1函数的概念例1求下列函数的定义域。（1）

解（1）要使函数有意义，需要满足故函数的定义域为。1.1.1函数的概念例1求下列函数的定义域。（2）

解（2）要使函数有意义，需要满足即，故函数的定义域为。1.1.1函数的概念小结

函数由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的一切实数值所组成的集合。因此求函数的定义域时应遵守以下原则。（1）解析式中的分母不能为零。（2）偶次根式内的式子非负。（3）对数中的真数大于零，底必须大于零且不等于1。1.1.1函数的概念【说明】（1）函数的定义域一般用区间或集合表示。（2）在实际问题中，除了要根据解析式本身来确定自变量的取值范围外，还要考虑变量的实际意义。（3）在讨论函数时，经常用到邻域概念。我们称开区间为点x0的邻域，简称点x0的邻域（见图），为正数，称为邻域的半径。

1.1.1函数的概念

例2求下列函数的函数值。（1）设，求和。解（1）因为的对应法则为，所以可得

1.1.1函数的概念

例2求下列函数的函数值。（2）设，求。解（2）令，则，代入，得

，

则

。

1.1.2函数的性质1．奇偶性设函数的定义域D关于原点对称，若对任意x∈D都有，则称为偶函数；若对任意x∈D都有，则称为奇函数。既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数。1.1.2函数的性质1．奇偶性偶函数和奇函数图形的几何特性：偶函数的图形关于y轴对称，如图（a）所示；奇函数的图形关于原点对称，如图（b）所示。常数函数y=0

是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数。（a）（b）1.1.2函数的性质1．奇偶性奇偶性是函数的整体性质，判断一个函数的奇偶性，首先要看它的定义域是否关于原点对称。若对称，再计算f(-x)，看它等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若不对称，则是非奇非偶函数。1.1.2函数的性质2．单调性设函数y=

f(x)

，对于任意x1

，x2∈(a,b)，当x1

<x2时，有f(x1)<

f(x2)，则称函数y=

f(x)

在区间(a,b)上单调递增，区间(a,b)称为单调增区间；当x1

<x2时，有f(x1)>

f(x2)，则称函数y=

f(x)在区间(a,b)上单调递减，区间(a,b)

称为单调减区间。1.1.2函数的性质2．单调性单调递增的函数的图形表现为从左至右单调上升的曲线，如图（a）所示；单调递减的函数的图形表现为从左至右单调下降的曲线，如图（b）所示。（a）（b）单调性是函数的局部性质，其总是与区间相联系的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。1.1.2函数的性质3．周期性对于函数y=

f(x)

，如果存在一个不为零的正数T

，对于任意x∈D，有x+T∈D

，且使恒成立，那么称函数y=

f(x)

为周期函数，满足上式的最小正数T

称为函数y=

f(x)

的最小正周期。通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。例如，和都是以2π

为周期的周期函数；和都是以π为周期的周期函数。周期函数图形的几何特性：周期函数在每一个周期内的图形是相同的。1.1.2函数的性质4．有界性设函数y=

f(x)

的定义域为D，如果存在M>0

，对于任意x∈D都有，那么称函数y=

f(x)为有界函数，否则称其为无界函数。例如，函数在上有界；函数在上有界，而在上无界；函数在上无界，而在上有界。因此，说一个函数是有界或无界时，应指出其自变量的相应范围。有界函数图形的几何特性：有界函数的图形介于直线y=-M

与y=M之间。同步训练1.11．函数的定义域为____________。2．函数，则____________。3．下列函数为奇函数的是（）。A．

B．

C．

D．4．与相同的函数是（）。A．x

B．

C．

D．课堂小结函数的概念和性质函数的概念函数的性质1.2

初等函数1.2.1基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。函数名称表达式定义域与值域图形性质常数函数（1）除y=0外均为偶函数（2）函数图形为平行于x轴的直线（3）为有界函数1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质幂函数根据α值的不同,

的定义域和值域也不同 （α>0

的情况）（1）图形都过（0,0）和(1,1）点（2）在上单调递增 （α<0

的情况）（1）图形都过(1,1）点（2）在上单调递减 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质指数函数（α>1的情况）在上单调递增 （0<α<1的情况）在上单调递减 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质对数函数（α>1的情况）在上单调递增 （0<α<1的情况）在上单调递减 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为奇函数（2）周期为2π（3）为有界函数（4）在上单调递增，在上单调递减，其中 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为偶函数（2）周期为2π（3）为有界函数（4）在上单调递减，在上单调递增，其中 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为奇函数（2）周期为π（3）在上单调递增，其中 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为奇函数（2）周期为π（3）在上单调递减，其中 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为奇函数（2）为有界函数（3）在

上单调递增 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为有界函数（2）在

上单调递减 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为奇函数（2）为有界函数（3）在

上单调递增 (续表)1.2.1基本初等函数函数名称表达式定义域与值域图形性质三角函数（1）为有界函数（2）在

上单调递减 (续表)1.2.2复合函数与初等函数引例引例1在自由落体运动中，物体的动能为，而速度v

又是时间

t的函数，即v=gt

。因此，动能E通过速度v的关系而成为时间t的函数，即。这时我们就说，函数是由和复合而成的复合函数。定义有时还会遇到由两个以上的函数所构成的复合函数，只要它们满足构成复合函数的条件即可。一般地，有如下定义。定义1若是u的函数，是x的函数。如果的值域是的定义域的子集，那么y

通过u构成的x

的函数称为x的复合函数，记作，其中，x称为自变量，u称为中间变量，y称为因变量。复合函数的各部分名称如图所示。1.2.2复合函数与初等函数【说明】1.2.2复合函数与初等函数不是任何两个函数都可以构成一个复合函数。例如，和就不能构成复合函数，因为对任意x

，函数，而必须满足才有意义。例11.2.2复合函数与初等函数试将下列函数复合成一个函数。（1）

解（1）将代入得例11.2.2复合函数与初等函数试将下列函数复合成一个函数。（2）

解（2）将代入得，再将代入得1.2.2复合函数与初等函数由此看来，上面讲到的基本初等函数通过复合的方式可以产生一些新的函数。反之，将一个复合函数“拆”成几个基本初等函数，可以清楚地看到它的组成结构，这称为复合函数的分解。定义1.2.2复合函数与初等函数定义2由常数和基本初等函数经有限次四则运算或有限次复合而成的且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数。如，等。

例2

1.2.2复合函数与初等函数指出下列复合函数是由哪些初等函数复合而成的。（1）

解（1）函数是由复合而成的。

例2

1.2.2复合函数与初等函数指出下列复合函数是由哪些初等函数复合而成的。（2）

解

（2）函数是由复合而成的。【说明】1.2.2复合函数与初等函数（1）复合函数不一定是由纯粹的基本初等函数构成的，更多的是由初等函数构成的。（2）复合函数的复合过程是由内到外，函数套函数而成的。分解复合函数则是采取由外到内层层分解的方法，即将其拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算。

例3

1.2.2复合函数与初等函数某玩具公司生产x件玩具将花费元，如果每件玩具卖48元，那么玩具公司生产x件玩具获得的净利润是多少？解经过简单的分析，可以得到该公司生产x件玩具获得的净利润y为【说明】1.2.2复合函数与初等函数净利润=销售收入－成本。同步训练1.21．由函数和复合而成的函数为____________。2．由函数和复合而成的函数为____________。3．函数是由函数________________________复合而成的。4．下列函数中不是基本初等函数的是（）。A．

B．

C．

D．5．下列函数中是初等函数的是（）。A．

B．

C．

D．课堂小结初等函数基本初等函数复合函数与初等函数1.3

反函数与分段函数1.3.1反函数设y=

f(x)的定义域为D

，其值域为M

，如果对于M

中的每一个值y

，通过y=

f(x)

，D中都有唯一确定的数x

与之对应，这就以

M为定义域确定了一个函数，这个函数称为函数y=

f(x)

的反函数，将其记作，其定义域为M，值域为D。习惯上将其记作。函数y=

f(x)与是互为反函数的。它们的图形关于直线y=x

对称，如图所示。例如，的反函数为。1.3.2分段函数引例引例1

在产品销售中往往会遇到这样的事，若某产品销量在100件以内（包括100件），则按每件50元销售该产品；若其销量超过100件，则超过的部分可以打八折，试写出销售收入y与销量x

之间的关系式。分析显然，y

与x之间的关系式要用两个式子表示：当0≤x

≤100时，y=50x

；当x>100时，。所以销售收入y与销量

x之间的关系式可以表示为1.3.2分段函数引例上例中，两个变量之间的函数关系要用两个或多个数学式子来表达，这样的函数称为分段函数。分段函数除个别外，一般不是初等函数。例11.3.2分段函数设求其定义域及，和，并作出函数图形。解函数的定义域为。

，，函数图形如图所示。1.3.2分段函数由例6可知，分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集。

例2

1.3.2分段函数判断函数是不是同一函数。解

分段函数的定义域是R，的定义域也是R，它们的定义域相同，但当x<1

时，，而，即它们的对应法则不同，因此，与不是同一函数。1.3.2分段函数常见的分段函数如下．（1）绝对值函数：（2）符号函数：（3）狄利克雷函数：（4）取整函数：，表示不超过x

的最大整数。（5）单位阶跃函数：它是电学中的一个常见函数。

例31.3.2分段函数某工厂生产某产品，当年产量不超过600台时，每台售价为300元；当年产量超过600台时，超过部分只能打八折出售；当年产量超过800台时，超过部分就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型。解设该产品年产量为x

台，收益函数为y(x)

。因为年产量超过600台时，超过部分的售价要打八折，而超过800台时，超过部分就销售不出去，从而没有收益，因此，将年产量划分为三个阶段来考虑收益。根据题意，有

即收益函数模型为同步训练1.31．设函数则____________。2．函数的定义域是____________。3．函数的反函数为____________。4．函数的反函数为____________。课堂小结反函数与分段函数反函数分段函数1.4

数学建模初步1.4数学建模初步解决来自科学研究、工程实践、经济管理等领域中的实际问题，是一个创造性过程，它需要有相当高的观察力、想象力、创造力和数学素养，且没有固定的方法和标准模型，有时甚至问题本身就是含混不清的。但是，无论实际问题怎么变化，解决问题的基本过程都遵循一定的规律。了解这些基本过程有助于理解和建立恰当的数学模型（即数学建模），从而解决问题。数学建模的步骤一般包括问题陈述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型应用等。1.4.1问题陈述实际问题在研究初期一般是模糊的，一些相关的问题往往交织在一起，无法形成明确的数学问题，或者说建模目的是模糊的。这时需要研究人员通过查阅文献，与专业人士进行座谈，了解问题的背景、已具备的数据条件及必要的信息，进而逐步明确建模的目的和要求，并形成明确清晰的数学建模问题。1.4.2模型假设根据已知信息和建模目的，需要找出问题可能涉及的因素，以及各因素之间的关系或应遵循的规律，分析出关键因素和次要因素。为此，需要做出必要的、合理的假设，忽略一些无关的或次要的因素，从而简化模型的复杂程度，明确问题的解决方向。假设是否合理要看依据假设所建立的模型能否满足问题的要求，而如何做出恰当的假设，则需要长期的经验和相关知识积累，同时还要根据模型的验证结果不断修正假设，使之更加合理、可信。1.4.3模型建立根据假设和问题涉及的因素，引入相关符号或记号，然后将问题中相关变量或因素之间所具有的内在关系或服从的规律及其外部条件用数学的语言加以刻画，形成数学关系表达形式，即包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型等。1.4.4模型求解求解模型的关键是对模型中的参数进行估计。多数模型中会包含一些待定参数，有些参数可以借助实验进行测定，如电阻率、不同介质的热传导系数等，而有些参数则需要根据已知信息利用恰当的数学方法进行估计，如统计学中常用的矩估计、区间估计，数值逼近中的最小二乘估计等。在此基础上，综合利用数学解析法、数值算法、数学软件和计算机编程语言等，便可求出模型的解。1.4.5模型分析建立模型的目的是解决实际问题，评价模型的好坏要看假设是否合理，建立的模型是否正确，将结果用于解释实际问题时是否可信，是否达到了建模目的的要求等，因此应进行必要的模型可靠性、参数的稳定性或灵敏性、结果的合理性和可操作性等分析。没有经过验证的模型，只是一组好看的数学符号，没有实用价值和实际意义。1.4.6模型应用模型应用是指将模型求解结果应用到实际问题，给出问题的解决方案，根据实际问题的建模目的，提出相应的对策或建议等。一个好的模型给出的计算结果，应具有一定的可操作性，没有可操作性的结果可能只是数学意义下的最好结果，但不一定是具有可应用价值的结果。数学建模的基本过程如图所示。小点睛建立实际问题的函数模型，是数学建模中最基本的一种。数学建模是分析处理问题的科学方法，是针对现实世界的某一特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，然后运用适当的数学工具，采用形式化语言，近似表达出一种数学结构，并进行求解、分析等。借助数学建模，能解释研究对象的现实形态，或预测研究对象的未来趋势，或提供最优决策。同步训练1.41．假设是否合理要看依据假设所建立的模型________________________。2．多数模型中会包含一些待定参数，有些参数可以借助____________________进行测定，如电阻率、不同介质的热传导系数等，而有些参数则需要根据____________________利用恰当的数学方法进行估计，如统计学中常用的矩估计、区间估计，数值逼近中的最小二乘估计等。课堂小结数学建模初步问题陈述模型假设模型建立模型求解模型分析模型应用数学建模（1）——函数模型数学建模（1）——函数模型1．问题陈述引例1【焊接火花的控制问题】如图所示，一焊接工人在垂直于地面的一根柱子OA的顶端进行焊接，OA=1.25m.

焊接时，柱子顶端A处的喷头会向外喷溅火花，为确保下面人员的安全，设计要求喷溅出的火花在距离OA一米处达到距离地面的最大高度，最大高度为2.25m.若要求喷溅出的火花全部落在一个有效范围内，那么这一有效范围的半径至少为多少米，才能满足设计要求？数学建模（1）——函数模型（1）火花在各个方向沿形状相同的抛物线落下，故可假设火花的喷溅路径为二次函数。（2）火花只要落在有效范围内，可视为安全。（3）有效范围的半径为x

m。2．模型假设数学建模（1）——函数模型建立适当的平面直角坐标系，如图所示。记抛物线的顶点为B，火花下落接触地面的点为C，那么本题中求有效范围的最小半径就是求OC长，即点C的横坐标。根据建立的平面直角坐标系，可以确定点A，B的坐标分别为A(0，1.25)和B(1，2.25)。3．模型建立数学建模（1）——函数模型3．模型建立这样问题就转化为“已知抛物线顶点B和另外一点A的坐标，求抛物线的解析式”。设点C的坐标为

(x，0)，抛物线的解析式为，将点A坐标代入，得a=-1

，所以抛物线的解析式为，即。为求点C坐标，令y=0

，解一元二次方程得或（不符合题意）。因此，有效范围的半径至少为2.5m。课堂小结数学建模（1）——函数模型问题陈述模型假设模型建立模型求解本章思维导图思维导图谢谢观看应用高等数学第1章函数目录第2章极限与连续第3章导数与微分第5章定积分及其应用第4章不定积分第6章常微分方程第7章级数与积分变换第8章线性代数第9章数学实验第2章极限与连续学习目标知识目标掌握数列、函数极限的概念。了解无穷小（大）量的概念。掌握极限的运算法则和两个重要极限。掌握函数的连续性。学习重点极限的概念及求极限的方法，函数的连续性。章节导读极限是微积分学最基本、最重要的概念。一方面，它是建立微积分学的基础；另一方面，极限的思想和运算将贯穿微积分学的始终，函数的连续性是借助于极限的运算来描述的。本章主要讨论函数的极限与连续的概念、性质和运算，为后续的学习奠定基础。2.1极限的概念项目导航2.2无穷大量与无穷小量2.3极限的运算2.4函数的连续性与间断点数学建模应用（2）——极限模型：创业融资本章思维导图2.1

极限的概念2.1极限的概念引例引例1【阶跃响应状态的确定】已知某生产单位电力系统的输出响应曲线（阶跃响应曲线）如图所示。从图形中你发现什么规律？2.1极限的概念引例引例2【融资问题】某校毕业生创业团队获创业投资50万元，欲将该投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品价值的75%的贷款，再将此贷款进行投资，并将再投资作为抵押品向银行贷款，仍得到相当于抵押品价值的75%的贷款，继续将此贷款进行投资，这样贷款-投资-再贷款-再投资，如此反复进行扩大再生产。问该创业团队最终能获得多少投资？2.1极限的概念实际生活和工程技术中的很多问题都体现了极限思想，都可以用极限来描述，利用极限的运算方法来求解，所以掌握极限的概念和极限的运算方法非常重要。2.1.1数列的极限极限的概念最初产生于求曲边梯形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率。19世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的面积、球的体积等。19世纪之后，柯西（Cauchy,1789—1851）以物体运动为背景，结合几何，引入极限概念。柯西（Cauchy,1789—1851），19世纪前半叶的法国数学家。他为微积分提供了严密的理论基础，是极限概念的奠基人。他在代数学、理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。2.1.1数列的极限后来，维尔斯特拉斯给出了极限的形式化数学语言描述，使极限有了具体的概念表述，这使我们可以计算许多具体的量，如圆周长、圆面积、速度、加速度等。本节，我们首先引入一个特殊函数的极限——数列的极限。维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815—1897）引例引例3【圆面积的计算方法】刘徽曾提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”此即“割圆术”，就是用圆的内接或外切正多边形穷竭的方法求圆的面积和周长。2.1.1数列的极限刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的数学遗产。引例2.1.1数列的极限引例3【圆面积的计算方法】用“割圆术”求圆面积的思路和做法如图所示。设有一半径为R的圆，先作圆的内接正三边形，其面积为A1

，再作内接正六边形，其面积为A2，继续作内接正十二边形，其面积为A3，如此不断地将边数加倍，则可得一个数列：引例2.1.1数列的极限引例3【圆面积的计算方法】从图形上不难看出：随着圆内接正多边形边数的增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近。可以想象：当n无限增大时，An无限接近于圆的面积，即当时，。引例2.1.1数列的极限庄子（约公元前369年—公元前286年），著名思想家、哲学家、文学家，是道家学派的代表人物，是老子思想的继承者和发展者。后世将他与老子并称为“老庄”。据传，他曾隐居南华山，故唐玄宗天宝初，诏封其为南华真人，称其著书《庄子》为南华经。引例4【截丈问题】庄子的截丈问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”设原棰（木棒）之长为一个单位长，每天截取木棒一半的长度（所谓“日取其半”），用an表示第n天截取木棒之后所剩的长度，则可得一个数列

当n无限增大时，an无限接近于零，但它永远不会等于零（所谓“万世不竭”），即当时，。2.1.1数列的极限上述两个引例蕴含了丰富的数列极限思想。下面介绍数列极限的定义。2.1.1数列的极限定义1

对于数列，若当n无限增大时，an无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为数列的极限，记作：当时，或。此时，也称数列是收敛的，且收敛于A；若数列没有极限，则称数列是发散的。其中，“lim”代表极限“limit”，其下面的表示项数n

无限增大。若一个数列是收敛的，则其极限是唯一的。有了数列极限的概念，圆的面积A可以表示为，即圆的面积等于圆的内接正多边形面积所构成的数列的极限。【说明】，数列极限是一个动态的概念，是一个变量（项数n）无限运动的同时，另一个变量（对应的通项）无限接近于某一个确定的常数的过程。这个常数是数列变化的最终趋势。2.1.1数列的极限解可通过观察列出的有限项，来判断当时，各数列的变化趋势。（1）列出数列中的部分项，如表所示。从表中可看出，当时，数列无限接近于0，所以。例12.1.1数列的极限观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限。（1），，，…，，…．

n12345……解（2）列出数列中的部分项，如表所示。从表中可看出，当时，数列无限接近于1，所以。例12.1.1数列的极限n12345…0…观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限。（2）0，，，，…，，…

解（3）列出数列中的部分项，如表所示。从表中可看出，当时，数列无限接近于1，所以。例12.1.1数列的极限n991009991000…10n1.01010.991.00100.999…观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限。（3）2，，，…，，…

解（4）列出数列中的部分项，如表所示。从表中可看出，当时，数列不接近于一个确定的数值，所以不存在。例12.1.1数列的极限n12345…(-1)n

-11-11-1…观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限。（4）-1，1，-1，…，(-1)n，…

例12.1.1数列的极限通过简单的分析，可以得到以下四个简单而常用的数列的极限。（1）(C为常数)。（2）。（3）。（4）。

【思想火炬】2.1.1数列的极限数列的极限是唯一的，这启示着我们，要学会像数列极限一样设定自己的人生目标，并且设立唯一的目标，这样才能把所有的精力集中到一点，确定正确的航行路线，并为此付出不懈的努力和汗水，培养追求卓越与完美的工匠精神。极限就如同我们最起初的理想，我们要不忘初心，砥砺前行，精益求精，方得始终。，2.1.2函数的极限在工程实际和社会生活中，常需要考虑如下问题：人口的变化趋势、传染病的传播趋势等，这些问题都涉及到函数的极限。本节将借助数列极限的思路，讨论函数的极限。在讨论函数极限时，自变量的变化过程有以下两种。（1）自变量x的绝对值无限增大，即。它有两种情况：①当

x>0时，记作；②当x<0时，记作。（2）自变量x任意地接近于某一确定点，即。它也有两种情况：①当x从x0的左边趋近时，记作；②当x从x0的右边趋近时，记作。1．当x

→∞时，函数的极限引例5【水温的变化趋势】将一盆90°C的热水放在一间室温恒为20°C的房间里，水温T将逐渐降低，随着时间t的推移，水温会越来越接近于室温20°C。2.1.2函数的极限通过引例5可以看出，当自变量t逐渐增大时，相应的函数值T接近于某一常数。1．当x

→∞时，函数的极限引例6【自然保护区中动物数量的变化规律】在某一自然保护区中生长着一群野生动物，其群体数量N会逐渐增大，但随时间t的推移，由于自然环境保护区内各种资源的限制，这一野生动物群体的数量不可能无限增大，它应达到某一饱和状态，如图所示。饱和状态就是时间t→∞时野生动物群体的数量。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限2.1.2函数的极限下面具体地考察函数在自变量，，三种情形下的变化情况，如表1和图(a）、图（b）所示。x1101001

00010

000…10.10.010.0010.000

1…x-1-10-100-1

000-10

000…-1-0.1-0.01-0.001-0.000

1…表1（a）（b）1．当x

→∞时，函数的极限2.1.2函数的极限从表1和图（a）可以看出，当自变量时，无限接近于0。此时，常数0就为当时函数的极限。x1101001

00010

000…10.10.010.0010.000

1…x-1-10-100-1

000-10

000…-1-0.1-0.01-0.001-0.000

1…表1（a）2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限定义2设函数在内有定义（a为某实数），若当时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作或。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限从表1和图（b）可以看出，当自变量时，无限接近于0。此时，常数0就为当时函数的极限。x1101001

00010

000…10.10.010.0010.000

1…x-1-10-100-1

000-10

000…-1-0.1-0.01-0.001-0.000

1…表1（b）2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限定义3设函数在内有定义（a为某实数），若当时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作或。从函数的图形（见右图）可以看出，当时，无限接近于常数0；同时当时，也无限接近于常数0。我们就说常数0为当时函数的极限。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限定义4设函数在时有定义（a为某正实数），若当x的绝对值无限增大时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作或。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限【说明】x的绝对值无限增大，即，同时包括和两种情形。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限函数的图形如图所示，从图中可以看出，当时，无限接近于常数0，由定义2知；当时，函数无限接近于π，由定义3知；但，由定义4知在时，极限不存在。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限由上述定义及讨论，不难得到以下重要结论。定理1

。例22.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限设，求，和。解函数的图形如图所示，从图中可以看出，当时，，即；当时，，即。因为，所以。2.1.2函数的极限1．当x

→∞时，函数的极限数列可表示成函数形式，可看成一种特殊的函数，即，故有。因此，数列极限是一种特殊的函数极限。2．当x

→x0时，函数的极限引例7【单摆现象】使单摆离开竖直方向，与其成一定的角度，然后让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，随着时间t的推移，单摆与竖直方向所成的角度越来越小，直至为0。也就是说，当t→t0时，单摆与竖直方向所成的角度θ→0。2.1.2函数的极限2．当x

→x0时，函数的极限2.1.2函数的极限函数的图形如图1所示。从图中可以看出，当时，无限接近于常数2，此时常数2就为当时的极限；函数的图形如图2所示，虽然函数在处无意义，但我们可以观察到当时，无限接近于常数2，此时常数2就为当时的极限。图1图22．当x

→x0时，函数的极限2.1.2函数的极限与是两个不同的函数，前者在处有定义，后者在处无定义，但当时，它们的极限都为2。这说明当时，和的极限存在与否与其在处是否有定义无关。2.1.2函数的极限2．当x

→x0时，函数的极限定义5设函数f(x)在点x0附近有定义（点x0本身可以除外），若当x无限接近于x0（记作x→x0）时，f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当x→x0时函数f(x)的极限，记作或。2.1.2函数的极限【说明】x→x0包括x从x0的左、右两侧同时无限接近于x0。2．当x

→x0时，函数的极限3．单侧极限2.1.2函数的极限引例8【矩形波分析】如图所示的矩形波在一个周期内的函数为，求。3．单侧极限2.1.2函数的极限在函数极限的定义中，x

接近于x0的方式是任意的。引例8的函数为分段函数，在

x=0的左、右两侧，f(x)的表达式不同，因此，必须先考虑

x从0的左右两侧接近于0时函数值的变化趋势。另外，我们有时还会遇到只需要考虑x从x0的某一侧接近于x0的函数极限问题。例如，对于

，我们只需要考虑

x从0的右侧无限接近于0时函数值的变化趋势，如图所示。3．单侧极限2.1.2函数的极限定义6当x从x0的左侧(即x<x0)无限接近于x0（记作x→x0-）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)在x0处的左极限，记作或。3．单侧极限2.1.2函数的极限定义7当x从x0的右侧(即x>x0)无限接近于x0（记作x→x0+）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)在x0处的右极限，记作或

。左极限与右极限统称为单侧极限。由上述极限定义，不难得到函数极限与其单侧极限之间有如下重要关系。3．单侧极限2.1.2函数的极限定理2

。例33．单侧极限2.1.2函数的极限判断是否存在。解当时，，即；当时，，即。故由定理2知，不存在。例43．单侧极限2.1.2函数的极限设函数求其在x=0处的左、右极限与极限。解函数y的图形如图所示，从图中可以看出，，。由于，因此不存在。例53．单侧极限2.1.2函数的极限求在x→0时的极限。解因为x≠0时，，所以。【说明】，当x→x0时，函数极限存在与否和函数在该点处的函数值无关。3．单侧极限2.1.2函数的极限同步训练2.11．当x→∞时，下列函数极限存在的是（）。A．cosx

B． C．3x

D．2．下列函数极限不为1的是（）。A． B． C． D．3．当x→_________时，函数的极限为0。4．______；______；______；_____（C为常数）；_______；_______；______。5．设函数且存在，求a。课堂小结极限的概念数列的极限函数的极限2.2

无穷大量与无穷小量2.2无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量反映了自变量在某个变化过程中函数的两种特殊的变化趋势：绝对值无限增大和绝对值无限减小。下面用极限定义无穷大量与无穷小量这两个常用变量。2.2.1无穷大量引例1【存款分析】若某人将一定的本金A存入银行，则当存入年限时，此人的本利和无限增大。引例下面给出无穷大量的定义。2.2.1无穷大量定义1在自变量x的某一变化过程中，若无限增大，则称函数为自变量x在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。当时，为无穷大量，记作；当时，为无穷大量，记作。例如，，，，等都是无穷大量。【说明】2.2.1无穷大量（1）无穷大量不是一个数，它表示一个变量的绝对值的变化趋势是无限增大的，即一个很大的数不是无穷大量，反之亦然。只是为了表达方便，不代表的极限存在。（2）无穷大量一定无界，但反之不然。（3）说一个变量为无穷