新版高中数学人教A版选修1-1习题第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2

2.1.2椭圆的简单几何性质(二)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆A.10 B.12C.16 D.18解析:∵|AB|+|AF1|+|BF1|=4a,∴|AF1|+|BF1|=4×58=12.答案:B2.已知直线l:x+y3=0,椭圆A.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交解析:将y=3x代入x24+y2=1,得5Δ=(24)24×5×32=576640=64<0,方程无解.故直线l与椭圆相离.答案:C3.直线y=x+1被椭圆A.C.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点M(x0,y0),由y=x+1,x24+yx0=y0=x0+1=故中点坐标为答案:C4.直线y=kxk+1与椭圆A.相交 B.相切C.相离 D.不确定解析:y=kxk+1=k(x1)+1,所以直线过点(1,1).又因为点(1,1)在椭圆内,所以直线与椭圆相交.答案:A5.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则A.1 B.1C.-答案:C6.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为4的椭圆与直线x+A.3C.2解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,且m,n>0),与直线方程x+3消去x,得(3m+n)y2+8由Δ=0,得3m+n=16mn,即又c=2,即由①②联立得故椭圆的长轴长为答案:C7.若直线y=x+2与椭圆解析:由得(m+3)x2+4mx+m=0.∵直线与椭圆有两个公共点,∴Δ=(4m)24m(m+3)=16m24m212m=12m212m>0,解得m>1或m<0.又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)8.若直线3xy2=0截焦点为(0,±5解析:设椭圆的标准方程为由y2a2+x2b2=1,3x-y-2=0,联立得(a2+9b2)x∴a2=3b2.①又由焦点为(0,±52)知,a2b2=50由①②,得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程为答案:x9.椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0,且a≠b)与直线x+y1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2解:由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==∵|AB|=2∴设C(x,y),则x=∵直线OC的斜率为代入①得a=∴椭圆方程为10.如图,椭圆E:(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解:由题设知结合a2=b2+c2,解得a=所以椭圆的方程为(2)证明由题设知,直线PQ的方程为y=k(x1)+1(k≠2),代入得(1+2k2)x24k(k1)x+2k(k2)=0.由已知Δ>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ===2k+(2k)=2k+(2k)能力提升1.设P,Q分别为圆x2+(y6)2=2和椭圆A.5C.7+解析:设Q(x,y),则该点到圆心的距离d=(x-∴当y=--dmax==∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=52答案:D2.已知(4,2)是直线l被椭圆A.x2y=0 B.x+2y4=0C.2x+3y+4=0 D.x+2y8=0解析:设l与椭圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),则有①②,得由x1+x2=8,y1+y2=4,可得2(x1x2)+4(y1y2)=0,即故方程为y2=-即x+2y8=0.答案:D3.已知椭圆C:A.1 B.C.解析:由椭圆C的离心率为32∴椭圆C:设A(xA,yA),B(xB,yB),F∵∴∴即将点A,B的坐标代入椭圆C,得③×9②,得∴3xBxA=联立①④,得解得xA=∴yA=-∴k=答案:B4.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆解析:∵直线ax+by+4=0与圆x2+y2=4没有公共点,∴∴∴点(a,b)在椭圆内,即过点(a,b)的直线与椭圆相交,有2个公共点.答案:2★5.如图,过点M(2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于点P1,P2,线段解析:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),代入椭圆方程得设P(x0,y0),则y1+y2=2y0,x1+x2=2x0,k2=y0x0,k答案:-6.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,则k为何值时,解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆.它的焦距为23(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y,并整理得(k2+4)x2+2kx3=0,故x1+x2=-∵∵y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,∴x1x2+y1y2=-又x1x2+y1y2=0,∴k=±当k=±12时,x1+x2|AB|==而(x2x1)2=(x2+x1)24x1x2=★7.已知椭圆G:(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得a=2,b=1,所以c=所以椭圆G的焦点坐标为(-离心率为e=(2)由题意知,|m|≥1.当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为此时|AB|=当m=1时,同理可得|AB|=当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(xm).得(1+4k2)x28k2mx+4k2m24=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),