四川省绵阳市江油明镜中学高二数学理期末试卷含解析

四川省绵阳市江油明镜中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m＜1或m＞2参考答案：D【考点】双曲线的标准方程．【分析】由于方程表示双曲线，可得（|m|﹣1）（m﹣2）＞0，解出即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（|m|﹣1）（m﹣2）＞0，解得﹣1＜m＜1或m＞2．故选：D．2.在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（）A．30°或120° B．60° C．60°或120° D．30°参考答案：C考点：正弦定理．

专题：解三角形．分析：由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值．解答：解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°，由正弦定理得，，则sinA===，因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°，故选：C．点评：本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题．3.定义在R上的函数的导函数分别为且。则下列结论一定成立的是

(

)A

BC

D参考答案：A4.若平面α，β，γ中，α⊥β，则“γ⊥β”是“α∥γ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由α⊥β，“α∥γ”，可得γ⊥β，而反之不成立，可能α⊥γ．【解答】解：由α⊥β，“α∥γ”，可得γ⊥β，而反之不成立，可能α⊥γ．因此α⊥β，则“γ⊥β”是“α∥γ”的必要不充分条件．故选：B．5.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程没有实根

B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根

D．方程恰好有两个实根参考答案：A6.对于任意的x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立．则实数a的取值范围是（）A．a≤3

B．a<3

C．a≤2

D．a<2参考答案：B7.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C8.如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线AB和CD的夹角的余弦值．【解答】解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图，则异面直线AB和CD所成角为∠EFG，设正方体棱长为2，在△EFG中，EF=DC=，EG=，FG=2，∴cos∠EFG===．∴异面直线AB和CD的夹角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．9.设，，则下列不等式中一定成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A．6 B．3 C． D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，画出图形：点A（1，1），zA=3，B（0，1），zB=2×0+1=1C（3，0），zC=2×3+0=6，z在点B处有最小值：1，故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为__________；参考答案：12.不等式≤的解集为__________________.参考答案：略13.命题“?x∈R，tanx≥0”的否定是

．参考答案：?x∈R，tanx＜0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为：?x∈R，tanx＜0，故答案为：?x∈R，tanx＜014.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知

。若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

.参考答案：a=0.030

4（第一空2分，第二空3分）15.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为．参考答案：4考点：正弦定理的应用．

专题：计算题．分析：先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．解答：解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：4点评：本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用．16.若有极大值和极小值，则的取值范围是__参考答案：或

17.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为．参考答案：【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】分类讨论，利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，计算求得结果．【解答】解：该同学通过测试的概率为?0.62?0.4+?0.63=，故答案为：．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）已知0＜x＜，证明：sinx＜x＜tanx；（2）求证：函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数线．【分析】（1）构造函数f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，求导，即可证明；（2）直接求导，讨论两种情况（利用第一问结论）．【解答】证明：（1）当0＜x＜时，令f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，则f′（x）=1﹣cosx＞0，g′（x）=﹣1＞0，故f（x）和g（x）在（0，）上单调递增，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．（2）f（x）=直接求导，f′（x）=0＜x＜，x＜tanx，∴xcosx＜sinx，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈（0，）上为减函数．≤x＜π，xcosx≤0，sinx＞0，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈[，π）上为减函数．综上所述，函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．19.(12分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？参考答案：20.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）求f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．参考答案：解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）的值域是[，]；（2）由f（A）=sin（2A+）+=，得sin（2A+）=0，又A为锐角，∴A=，又b=2，c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7，即a=，由正弦定理=，得sinB===，又b＜a，∴B＜A，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．考点： 余弦定理；正弦定理．

专题： 三角函数的求值．分析： （1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；（2）由f（A）=以及第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，根据正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答： 解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）的值域是[，]；（2）由f（A）=sin（2A+）+=，得sin（2A+）=0，又A为锐角，∴A=，又b=2，c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7，即a=，由正弦定理=，得sinB===，又b＜a，∴B＜A，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21.如图，是圆的的直径，点是弧的中点，，分别是，的中点，平面．（1）求异面直线与所成的角；（2）证明：平面．（3）若，求二面角的大小。参考答案：略22.某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如表：

每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和（万元）2030产品重量（千克）105预计收益（万元）8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．参考答案：