2023年江西省中考一轮复习数学专题练-9三角形

2023年江西省中考数学专题练——9三角形一、选择题（共6小题）1．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠D C．∠AEF+∠D＝180° D．∠AFC＞∠FCD2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，连接AC，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为3，则点P的位置有（）A．4处 B．3处 C．2处 D．1处4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝120°，AD=6，AB＝4-3，BC＝4，则A．23 B．15 C．39 D．435．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（）A．12 B．32+3 C．6+33 D．6二、填空题（共12小题）7．在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交y正半轴于点B，交x轴正半轴于点A，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP，若OP＝22，则点P的坐标8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为．9．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为．10．如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB边上的高CD与BC边上的中线AE相交于点F．已知CF=233．则AE的长为12．在边长为4的等边三角形ABC中，点D在BC边上，且BD＝1，点P是射线AD上不与点A重合的一点，若△PBD中有一个角与∠BAD相等，则AP的长为．13．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为．14．如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知AD＝3，AC＝2，∠BAC＝90°，求高AE＝．15．如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，线段AB的垂直平分线交AC于点N，则△BCN的周长为．16．我国南朱著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为平方丈．17．如图，△ABC为直角三角形，∠B＝90°，∠C＝60°，点E、F分别在边BC、AC上，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的点D，若ED平分∠BEF，AC的长为a，则EC＝．（用含a的式子表示）18．在数学实践课上，张老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上），则等腰三角形的周长为cm．三、解答题（共9小题）19．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O．如果AB＝AC．求证：AO平分∠CAB．20．如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AC的中点．求证：∠DEC＝2∠BAD．21．如图，D是△ABC外一点，DA＝DC，∠DCB＝∠DAB，作DE⊥CB的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，求证：DE＝DF．22．（1）解方程组：x+（2）如图，∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，求证：AD垂直平分BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是BC的中点，在AE的延长线上取点D，使DC＝AC．求证：AB∥CD．24．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AC，AB边上的中线BD，CE相交于点O，请在图1中画出△ABC的内角平分线AF；（2）如图2，∠D＝∠E＝90°，请在图2中画出△OBC的边BC上的高OM．25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．（1）求证：∠BOC=12∠A（2）如图1，若∠A＝60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．（3）如图2，∠A＝90°，F是ED的中点，连接FO．①求证：BC−BE−CD＝2OF．②延长FO交BC于点G，若OF＝2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．26．（1）计算：（2022+π）0+|﹣2|﹣（﹣1）2；（2）如图，在△ABC中，点D是BC边中点，AD⊥BC，点E和F分别是AB、AC边的中点，求证：DE＝DF．27．如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠DAC＝∠C．求证：AD＝BD．

2023年江西省中考数学专题练——9三角形参考答案与试题解析一、选择题（共6小题）1．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠D C．∠AEF+∠D＝180° D．∠AFC＞∠FCD【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积=12×5×3故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，连接AC，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为3，则点P的位置有（）A．4处 B．3处 C．2处 D．1处【解答】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅AB∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝120°，AD=6，AB＝4-3，BC＝4，则A．23 B．15 C．39 D．43【解答】解：如图，过点D，C分别作AE，DF垂直于直线AB，垂足分别为E，F，过点D作DG⊥CF，垂足为G．∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAB＝45°，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DE＝AE，在Rt△AED中，AD=6∴AE＝DE＝AD•sin45°=6∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝60°，∵CF⊥BF，∴∠F＝90°，∵BC＝4，∴CF＝BC•sin60°＝4×32=∴BF＝BC•cos60°＝4×12∴EF＝AE+AB+BF=3+（4-3）+2在Rt△CDG中，DG＝EF＝6，CG＝CF﹣GF＝CF﹣DE＝23-根据勾股定理得CD=D故选：C．5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，AE＝EC，∴∠BCF＝∠EFC，∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC=12AC＝故选：B．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（）A．12 B．32+3 C．6+33 D．6【解答】解：∵AB的中垂线l交BC于点D，∴AD＝DB，∴∠B＝∠DAB＝15°，∴∠ADC＝30°，∵∠C＝90°，AC＝3，∴AD＝6，CD=33BC＝BD+CD＝6+33故选：C．二、填空题（共12小题）7．在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交y正半轴于点B，交x轴正半轴于点A，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP，若OP＝22，则点P的坐标（2，2）【解答】解：如图，由作图知点P在第一象限角平分线上，∴设点P的坐标为（m，m）（m＞0），∵OP＝22，∴m2+m2＝（22）2，∴m＝2，∴P（2，2），故答案为：（2，2）．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为60°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵△A′PD由△APD翻折而成，∴∠A＝∠PA′D＝60°，∠PDA＝∠PDA′．∵A′P∥AC，∴∠A′DC＝∠PA′D＝60°，∴2∠PDA′+∠A′DC＝180°，即2∠PDA′+60°＝180°，解得∠PDA′＝60°．故答案为：60°．9．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为25°．【解答】解：∵∠B＝40°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝50°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠ACB＝∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝25°．故答案为：25°．10．如图，l1∥l2，AE⊥BE于点E．若∠2＝140°，则∠1的度数为130°．【解答】解：如图：∵∠2＝140°，∠4+∠2＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝40°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°．∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝40°，∴∠1＝∠3+∠AEB＝40°+90°＝130°．故答案为：130°．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB边上的高CD与BC边上的中线AE相交于点F．已知CF=233．则AE的长为【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB边上的高CD与BC边上的中线AE相交于点F，∴点F是△ABC的重心，∵CF=2∴CD=3∴AC=2∴CE=12BC=1∴AE=A故答案为：30212．在边长为4的等边三角形ABC中，点D在BC边上，且BD＝1，点P是射线AD上不与点A重合的一点，若△PBD中有一个角与∠BAD相等，则AP的长为121313【解答】解：如图所示，过A作AO⊥BC交BC于点O，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，BO＝OC＝2，BD＝DO＝1，∴∠ABC＝60°，∠BAO＝30°，∴AO＝AB×cos∠BAO＝23，在Rt△ADO中，DO2+AO2＝AD2，AD=13∵△PBD中有一个角与∠BAD相等，当∠BPD＝∠BAD时，点P与点A重合，不符合题意，∴∠PBD＝∠BAD，又∵∠BDA＝∠PDB，∴△PBD∽△BAD（AA），∴PDBD∴PD=13即AP＝AD﹣PD=12如图，当点P在线段AD的延长线上时，在△PBD中，∠PBD＝∠PAB时，∵∠BPD＝∠APB，∴△PBD∽△PAB，∴PDPB∴PB＝4PD，PB2＝PD•PA，∴（4PD）2＝PD（PD+AD），16PD2＝PD2+13PD∴PD=1315或PD＝此时AP＝AD+PD=13如图，当点P在线段AD的延长线上时，在△PBD中，∠BPD＝∠BAD时，过点B作BF⊥AP于点F，∴∠BFD＝∠AOD＝90°，AB＝PB，∴AP＝2AF，又∵∠BDF＝∠ADO，∴△FBD∽△OAD，∴BDAD=FD∴FD=13此时AF＝AD+FD=13∴AP＝2AF＝2×14综上所述，AP的长为：为：121313；1613故答案为：121313；161313．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为18°．【解答】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线，∴EG=12CD，FG=∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠EGF＝144°，∴∠GEF=12×（180°﹣144故答案为：18°．14．如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知AD＝3，AC＝2，∠BAC＝90°，求高AE＝423【解答】解：∵AD＝3，∠BAC＝90°，AD是BC边上得中线，∴BC＝2AD＝6，∵AC＝2，∴AB=BC2∵AE⊥BC，∴BC⋅∴6⋅AE解得AE=4故答案为：4215．如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，线段AB的垂直平分线交AC于点N，则△BCN的周长为20．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴NA＝NB，∴△BCN的周长＝BC+CN+NB＝BC+CN+NA＝BC+AC，∵AC＝12，BC＝8，∴△BCN的周长＝12+8＝20，故答案为：20．16．我国南朱著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为84平方丈．【解答】解：∵72+242＝252，∴该三角形沙田是直角三角形沙田，∴该沙田的面积为：7×242=故答案为：84．17．如图，△ABC为直角三角形，∠B＝90°，∠C＝60°，点E、F分别在边BC、AC上，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的点D，若ED平分∠BEF，AC的长为a，则EC＝a3．（用含a【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝60°，AC的长为a，∴BC=a根据折叠，可知DE＝CE，∠DEF＝∠CEF，又∵ED平分∠BEF，∴∠DEF＝∠DEB，∴∠CEF＝∠DEF＝∠DEB＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE=12DE=∴CE=23BC故答案为：a318．在数学实践课上，张老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上），则等腰三角形的周长为10+52或10+45或10+310．cm．【解答】解：如图1所示：EF=52L＝BE+BF+EF＝5+5+52=10+52（cm如图2所示：BE＝5cm，则AE＝3cm，∵EF＝5cm，∴AF=52-3∴BF=82+42∴L＝BE+EF+BF＝5+5+45=10+45（cm如图3所示：BE＝5cm，则CE＝4cm，∵EF＝5cm，∴CF=52-4∴BF=92+32∴L＝BE+EF+BF＝5+5+310=10+310（cm故答案为：10+52或10+45或10+310．三、解答题（共9小题）19．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O．如果AB＝AC．求证：AO平分∠CAB．【解答】证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ACD和△AEB中，∠ADC∴△ACD≌△AEB（AAS），∴AD＝AE，∴在Rt△AOD和Rt△AOE中，OA=∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴∠DAO＝∠EAO，∴AO平分∠CAB．20．如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AC的中点．求证：∠DEC＝2∠BAD．【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，点D是BC线段的中点．又∵点E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴AB∥DE．∴∠DEC＝∠BAC．∴∠DEC＝2∠BAD．21．如图，D是△ABC外一点，DA＝DC，∠DCB＝∠DAB，作DE⊥CB的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，求证：DE＝DF．【解答】证明：∵DE⊥CB，DF⊥AB，∴∠DEC＝∠DFA＝90°，在△CDE和△ADF中，∠DEC∴△CDE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF．22．（1）解方程组：x+（2）如图，∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，求证：AD垂直平分BC．【解答】（1）解：x+①×2得：2x+2y＝10③，②﹣③得：y＝1，把y＝1代入①得：x+1＝5，解得：x＝4，∴原方程组的解为：x=4（2）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵BD＝CD，∴AD垂直平分BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是BC的中点，在AE的延长线上取点D，使DC＝AC．求证：AB∥CD．【解答】证明：∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵DC＝AC，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠BAD＝∠CDA，∴AB∥CD．24．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AC，AB边上的中线BD，CE相交于点O，请在图1中画出△ABC的内角平分线AF；（2）如图2，∠D＝∠E＝90°，请在图2中画出△OBC的边BC上的高OM．【解答】解（1）如图1，作射线AO，与BC交于点F，则AF就是要求作的△ABC的角平分线；（2）如图2，延长BE、CD，两线交于点H，再作射线HO与BC交于点M，则OM就是要求作的△OBC的边BC上的高．25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．（1）求证：∠BOC=12∠A（2）如图1，若∠A＝60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．（3）如图2，∠A＝90°，F是ED的中点，连接FO．①求证：BC−BE−CD＝2OF．②延长FO交BC于点G，若OF＝2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°−（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB＝180°−12（180°−∠A=12∠A（2）解：BE+CD＝BC．理由如下：如图1，在BC上截取BM＝BE，连接OM，∵∠BOC=12∠A+90°＝∴∠BOE＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠MBO，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOM（SAS），∴∠BOE＝