高考数学冲刺押题卷03（2024新题型）（解析版）

2024年高考数学模拟卷03（新题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．样本数据的中位数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】样本数据从小到大排列为、、、、、、、、、，所以样本数据的中位数为.故选：B2．椭圆与椭圆的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.3．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（）A．50 B．70 C．90 D．110【答案】B【解析】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列所以，所以，解得.故选：B.4．已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】若，，则可能，故A错误；若，，则可能，故B错误；若，，则，故C正确；若，，则，故D错误.故选：C.5．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（）A．564 B．484 C．386D．640【答案】A【解析】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；当在4人组时，有种方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；当在3人组时，有种方法.故这8名同学游玩行程的方法数为.故选：A.6．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点，因为，关于直线对称，所以，可得：.所以，，所以.当时，；当时，，此时，所以.当时，，此时，所以，故.综上所述：，故的最大值为.故选：D.7．若为锐角，且，则（）A．10° B．20° C．70° D．80°【答案】C【解析】由，又为锐角，∴．故选：C．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如下图所示：不妨取渐近线方程为，又易知，则直线的方程为，联立直线与双曲线，可得，所以；且，由双曲线定义可得，当时，可得，所以，解得；因此双曲线离心率的最大值为.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图象关于点中心对称D．函数在区间单调递减【答案】ABD【解析】对选项A，依题意函数的周期为，所以选项A正确；对选项B，因为，即，又，所以，所以选项B正确；对选项C，因为，又，所以点不是的中心对称，所以选项C错误；对选项D，因为，所以，因为在单调递减，所以函数在区间单调递减，所以选项D正确.故选:ABD.10．已知复数，，下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．若复数，满足，则D．若，则的最大值为3【答案】AD【解析】设、；对A：若，则有，即，，即有，故A正确；对B：若，则有，即，不能得到，故B错误；对C：若复数，满足，则有，即，化简得，，故C错误；对D：若，则有，即，其中，即有，则，故当时，有最大值且最大值为，即D正确.故选：AD.11．已知函数满足，，则（）A．B．C．的定义域为RD．的周期为4【答案】ABD【解析】令，则，即，A正确，令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；由可知，令，则，即，故，B正确；，故，即的周期为4，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，则的元素个数是.【答案】【解析】联立可得，则，得原方程组有两组解，即中有个元素.13．如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为．【答案】【解析】球的表面积为，球的半径为，设的中心为，则，且平面，的外接圆半径，连接并延长交于，则为的中点，且，显然，而平面平面，平面平面，平面，则平面，令的外接圆圆心为，则平面，有，又平面，平面，，，平面，则平面，平面，，而平面平面，平面平面，平面，则平面，有，因此四边形为平行四边形，则，，的外接圆半径，的外接圆上点到直线距离的最大值为，而点在平面上的射影落在直线上，于是到平面的距离最大值，是等边三角形，外接圆半径为4，由正弦定理的边长为，的面积为，棱锥体积的最大值为.14．定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为．【答案】【解析】设，，，且，则，，，所以，，若，则，故，设，因此，，故，即，若，则，即，则，故，当且仅当时，等号成立，综上所述，的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为；（2），函数的定义域为，，令，解得或，令，解得，对列表如下：0单调递减极小值单调递增又，且，所以，即，所以，故函数在区间上的，.16．（15分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（2）用X表示取出的2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为，则为一次取出的2个小球数字相同，所以，所以.（2）由题意所有可能的取值为：1，2，，，.；；；；．所以随机变量的分布列为12345随机变量的均值为．17．（15分）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．（1）证明：；（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得，又，即，得，又因为平面平面，平面平面，平面ACFD，所以平面ABC，而平面ABC，则，又，，平面BDH，平面BDH，所以平面BDH，而平面，则，因为，所以；（2）在中，，，，所以，，所以，又，所以，则，由（1）知，平面ABC，所以可以H为原点，为y轴，为z轴，建系如图所示，设平面ABD法向量为，则，即，取，则，得平面的一个法向量为，设CF与平面ABD所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值18．（17分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为：，即，则，解得，故抛物线的方程为：.（2）设A，B两点坐标分别为，，则点P的坐标为.由题意可设直线的方程为，由得，，因为直线与曲线C交于A，B两点，所以，，所以点P的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点Q的坐标为.当时，有，此时直线PQ的斜率，所以直线PQ的方程为，整理得，于是直线PQ恒过定点.当时，直线PQ的方程为，也过定点.综上，直线PQ恒过定点.19．（17分）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.（1）若，，，，求；（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明