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文档简介
3.2矩阵三角分解法。
定义将矩阵A分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即
A=LU称为A的三角分解或LU分解。
。例如A=这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般，若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D，则
A=(LD)(D-1U)=L1U1也是A的三角分解。。杜利特尔分解(Doolittle)常用的两种三角分解克洛特分解(Crout)定理
n阶矩阵A存在唯一的杜利特尔分解或克劳特分解的充要条件是A的顺序主子矩阵Ak
(k=1,2,…,n-1)非奇异。
例设讨论a
取何值时，矩阵A可作LU分解。
解
当A的顺序主子式不为零，矩阵A有LU分解。
所以，有
非奇异矩阵不一定存在LU分解。例
解
A是非奇异矩阵，假设有LU分解（杜利特尔分解）
比较等式两端第1列，可得上二式不能同时成立，即非奇异矩阵A不存在LU分解。复习：矩阵乘法
＝A=BC3.2.2Doolittle分解步骤
＝A=LU
＝令i=r,r+1,…,n，(即
i大于等于r)例紧凑格式3.2.3用三角分解求解线性方程组设A非奇异，并有三角分解A=LU，则方程组Ax=b
就化为
LUx=b
只须求解两个简单的三角形方程组：（1）解Ly=b
顺代求出
y（2）解Ux=y，回代求出x.求得L、U后再求解方程组Ly=b,Ux=y例用杜利特尔分解法求解方程组解先对系数矩阵进行杜利特尔分解A=LU
求解两个三角形方程组，
得方程组Ax=b
化为
Ux=y
时，A通过LU分解得到U，b
通过LU分解得到y，则Ax=b化为Ux=y
时，将b增广到A进行
LU分解得到y。例用杜利特尔分解法求解方程组解先求增广系数矩阵的杜利特尔分解，即例用杜利特尔分解法求解方程组系解先求增广矩阵的杜利特尔分解，即3.2.4追赶法(托马斯法）：解三对角线性方程组系数矩阵为三对角矩阵，非零元素分布在主对角线及其相邻两条次对角线上。三对角线性方程组Ax=f对系数矩阵A进行克劳特分解A=LU
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