辽宁省大连市高新园区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

九年级（上）期末检测数学

满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项正确）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

C

△二XD△

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：A：选项A不是中心对称图形，故选项A不符合题意；

B：选项B是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C：选项C是中心对称图形，选项C符合题意；

D：选项D不是中心对称图形，故选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

2.如图，在；ABC中，NC=90°,AC=3，AB=5,则sinB的值是（）

【答案】A

【解析】

3

【分析】根据直角三角形正弦等于对边比斜边可知sinB=g

【详解】解：：在《ABC中，ZC=90°

：AC=3，AB=5

故选:A

【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识点，熟记正弦的定义是解题的关键.

3.与点A（l,-2）关于原点对称的点B的坐标是（）

A.（2,1）B.（1,2）C.（-2,1）D.（一1,2）

【答案】D

【解析】

【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点尸（x，y）,关于原点的对称点是（-x，-y）,关于原点对称的

点，横纵坐标都变成相反数”即可得出结论.

【详解】解：•.•根据原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数

4。，一2）关于原点对称的点的坐标是（—1,2）

故选：D

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征

是解题的关键.

4.用配方法解方程》2—4%+2=0,下列配方正确的是（）

A.（工-2）2=0B.（X+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2））=2

【答案】D

【解析】

【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数Y的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化

为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可.

【详解】/一4x=—2，

x2-4x+4=-2+4，

(x-2>=2.

故选：D.

【点睛】本题考查了配方法在解一元二次方程中的应用，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤.

5.如图，A6是1。的直径，AC.BC是。。的弦，若NA=20。，则N6的度数为（）

c

A80°B.70°C.60°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可.

【详解】•••A3是。。的直径,

，ZACB=90°,

：.RtAABC在中，NB=90°-ZA=70°,

故选：B.

【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键.

6.将抛物线y=2（x-3）?+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为

（）

A.y=2（x-5y+5B.y=2x2

C.y=2（x-l）2+5D.J；=2（X-1）2-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可.

【详解】解：将抛物线y=2（x-3y+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解

析式为y=2（x—3+2『+2+3,

即y=2（x-iy+5,

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函

数解析式是解题的关键.

7.在一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个，这些球除颜色外都相同.小明从袋子中摸一次，摸到

黄球的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据概率公式即可得到结论.

【详解】解：因为一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个，

从袋子中摸一个球共有10种可能，

摸到黄球有4种可能，

所以，小明从袋子中摸一次，摸到黄球的概率：

4_2

To-51

故选：A.

【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键.

8.关于x的一元二次方程x2_2x+左=0有两个实数根，则人的取值范围是()

A.k>\B.k<lC.k>-lD.k<}

【答案】B

【解析】

【分析】当ANO时、一元二次方程有两个实数根，据此求出人的取值范围即可.

【详解】解：关于》的一元二次方程Y—2x+%=0有两个实数根，

,-.(-2)2-4X1XA:>0.

解得ZW1，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式A-4ac判断方程的根的情况，解答此题的关

键是要明确：当△之0时，方程有两个实数根.

9.如图，在一ABC中，以C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点、E、F,再分别以E、F

为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N.连结CN交AB于点。，过。作BC的平行线交

2

AC于M,若8C=3,AC=2,则。M=()

A

【答案】B

【解析】

【分析】由作图知道是角平分线，再由平行得到等腰三角形和三角形相似，利用相似的性质求解即可

得到答案.

【详解】解：设。M=X,

由题意得：CO平分

:.ZACD=ZBCD,

QBC//DM,

:.ZMDC=ZBCD,

:.ZMDC=ZACD,

DM=CM=x,

AM=2—x>

QBC//DM,

:uADMs二ABC，

AMDM

"~AC~~BC'

即上NJ,

23

解得x=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了作图和角平分线的定义、三角形相似的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形相似

的性质是解题的关键.

10.如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线丁=-：/+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他

与篮筐底的距离/是（）

3.05m

A.3mB.3.5mC.4mD.4.5m

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得，当y=3.05时，即—（炉+3.5=3.05,求出x=±1.5，由于篮圈中心在V轴的右

侧，所以％=1.5,从而可求出小强与篮筐底的距离/.

11

【详解】解：球的运动路线是抛物线丁=-yd+3.5的一部分，篮圈中心在y轴的右侧，高度为

3.05m,

1

.•.令y=3.05,则一二0/+3.5=3.05,

解得：x=±L5,

篮圈中心在）'轴的右侧，

x>0>

x—1.5,

，小强与篮筐底的距离/为：3+1.5=4.5m,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据y=3.05求出X的值，再根据篮圈中心在y轴的右侧确定

x的具体值是解题的关键，解答本题需采用数形结合的思想.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.关于x的一元二次方程f—3x+c=0的一个根为-1,则另一个根是.

【答案】4

【解析】

【分析】先将％=-1代入X2—3X+C=0,求得。的值，再解一元二次方程即可得到答案.

【详解】解：关于》的一元二次方程f_3x+c=0的一个根为-1，

.・・将x=_］代入》2_3x+c=0得，(_1)2_3X(_1)+C=0,

解得：c=T,

一元二次方程为：工2一3工一4=0，

.\(x-4)(x+l)=0,

・"-4=0或x+l=0,

.”=-1或x=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二

次方程的解，解答本题的关键是将工二一1代入方程求出。的值.

12.对于二次函数y=(x—2丫+1,当x>3时，了随x的增大而一(填“增大”或"减小

【答案】增大

【解析】

【分析】根据二次函数的解析式得到对称轴光=2,再利用二次函数的图像特征即可求出结论.

【详解】解：•••二次函数y=(x-2p+l

函数的对称轴为：直线x=2

当x<2时，y随x的增大而减小；当了〉2时，y随x的增大而增大

•；3>2,

.•.当x>3时，>随x的增大而增大

故答案为：增大

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键.

13.从〃个苹果和3个桔子中任选1个，若选中苹果的概率是:，则〃的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据概率公式得一々二2;,然后利用比例性质求〃的值即可.

n+33

【详解】解：根据题意得：二J7二2;,

n+33

3〃=2("+3),

3月—2〃=6，

〃=6,

经检验，〃=6是方程的解.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了根据概率公式进行计算，解题的关键是根据概率公式列出关于n的方程，解方程即

可.

14.如图，在平行四边形A3C。中，点E在边8c上，OE交对角线AC于F,若CE=2BE,/XCEF

的面积等于4,那么△4林）的面积等于.

【解析】

【分析】证明得△ADFSACEE，再根据相似三角形的性质求得结果.

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，CE=2BE,

：.AD=BC=3BE

,/AD//BC,

：.ZFAD^ZFCE,ZFDA=ZFEC

•••AADFSACEF，

△CEF的面积等于4,

•q-Q

,•0ADF7，

故答案为：9.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似

比的平方是解决问题的关键.

15.如图，在矩形A8CO中，AB=26，以点4为圆心，4。长为半径画弧交BC于点E,连接AE，

N54E=30。，则阴影部分的面积为.

【答案】6百—乌》

3

【解析】

【分析】根据矩形的性质得出ND4B=N8=90°,A3=2百，可以求出AE的长，由Nfi4E=30。，可以

得出ZD4E的度数，再分别求出矩形A3CO、VA5E和扇形D4E的面积即可.

【详解】解：：四边形A8CD是矩形，

NDAB=NB=90°,

QZBAE=30°,

BE^-AE,

2

AB=26

AE2=AB2+BE2<

2(i、2

即=(2可+6叱|,

解得AE=4，

；.AO=AE=4,8E」AE=2,

2

QZDAE=NDAB-ZBAE=90°-30°=60°,

.♦.阴影部分的面积S=S矩形ABCD-$vABE-S扇形加石

=4x26」x2x2痒^£

2360

=8百-2#-h

3

=6>/3——71

3

故答案为：6^/3—71.

3

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积

转化成求规则图形的面积是解此题的关键.

16.如图，在ABC中，AB^AC^a,将ABC绕点8逆时针旋转得到DBE，若点£恰好为AC的中

点，则BC的长为(用含。的代数式表示).

DA

【解析】

【分析】作BF1AC于点/，由AB=4C=a,E为AC的中点，得AE=CE=，AC=!a,由旋转得

22

BE=BC,所以CF=EF=LcE=』a,再根据勾股定理得BC?—。尸2=人笈一人尸？=§/2,即可求出

24

BC的长.

【详解】解：如图，作BF1AC于点/，则NAEB=NCE8=9()°,

VAB=AC=a,E为AC的中点，

AE=CE=-AC=-a,

22

由旋转得BE=BC,

CF=EF=、CE=La,

24

3

AF=AE+EF=」a,

4

,/BC2-CF2=AB2-AF2=BF2，

•“血

・・BC=——a.

2

故答案为：旦.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的

关键.

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17小明用描点法画抛物线y=—/+以一3.

（1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物

（2）直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标.

【答案】（1）-3,1,0,绘图见解析

（2）抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,1）

【解析】

【分析】（1）将x=0,x=2,x=3分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可;

（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标.

【小问1详解】

解：'/y——x2+4x—3,

••・当x=0时，y=-3；当x=2时，y=l；当x=3时，y=o；

补全表格如下：

X-1012345

y=-x2+4x-3—8-3010-3—8

抛物线如图所示;

【小问2详解】

该抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,1）.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键.

18.某景区检票口有A,B,C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随

机选择一个检票.

（1）甲选择A检票通道的概率是；

（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

【答案】（1）-

3

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）因为景区检票口有A,B,C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通

道的概率是

3

（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：（1）,••景区检票口有A,B,C共3个检票通道，

•••甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.

・・P（选择A）•

故答案为：—；

3

【小问2详解】

由题意列树状图得,

甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，

其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，

._3_1

••P(甲Z■两人选择的遍通机=-=­•

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题

的关键.

19.如图，在中，点力在8c边上，ZADC^ZBAC,8=1,BD=3,求AC长.

【解析】

【分析】由题意可得3C=3O+CZ)=4,根据NAQC=N84C,公共角NC=NC,即可证明

△ADCsaBAC,根据相似三角形的性质即可得到结果.

【详解】解：；CD=1,BD=3,

：.BC=BD+CD=4,

VZADC=ZBAC,ZC=ZC,

AADC^ABAC,

.CD_AC

"AC-BC'

即AC?=CD8C=4，

AAC=2(负值舍去).

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

20.疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数

为5(XX)人，11月份该公众号关注人数达到72()()人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平

均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率.

【答案】20%

【解析】

【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为X,根据题意题意列出方程，解方程即可.

【详解】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为X,

根据题意得：5000（1+x）2=7200，

解得：玉=0.2=20%,X2=-2.2（舍去），

答：该公众号关注人数的月平均增长率20%.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程.

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21.数学兴趣小组测量建筑物的高度.如图，在建筑物AB前方搭建高台CO进行测量.高台CD到

AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40。，测得点B的俯角为30°.（参考数据：

sin40°®0.64,cos40°«0.77,tan40°®0.84,6=1.732）

（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）.

【答案】（1）70

（2）9米

【解析】

【分析】（1）过点。作垂足为E,结合题意，然后利用角的和差关系进行计算即可解答：

（2）根据题意，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出AE，3E的长，从而利

用线段的和差关系进行计算即可解答.

【小问1详解】

解：（1）过点。作DE1AB，垂足为E,

由题意得：

ZADE=40°,NB£>E=30°,

ZADB=ZADE+ZBDE=40。+30°=70°

故答案为：70；

由题意得：£>E=BC=6米，

在R/AAOE中，4M>E=4O°,

AE=DE-tan40°«6x0.84=5.04（米），

在RjOBE中，NBDE=30。，、

：.BE=DE-tan30°=6x®3.46（米），

3

.•.AB=AE+EB=5.04+3.46a9（米），

建筑物AB的高度约为9米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；掌握仰俯角的概念、熟练掌握三角函数解三角形是解题的关

键.

22.如图，_。是的外接圆，A8是:一。的直径，过O作QDLAC于点E,延长OE至点。连结

（1）求证：8是。的切线；

（2）若AB=CD=2非，求AC的长.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

【分析】（1）连接。C,根据垂直的定义得到“EC=90。，求得ND+NDCE=90。,根据等腰三角形的

性质得到NA=NACO,推出OC_LCD,根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到8=5,根据三角形的面积公式得到CE的长，根据垂径定理即可得到结论.

【小问1详解】

证明：连接。c,

ODA-AC,

：."EC=90。，

/.ZD+Z£)CE=90°,

•••Z4=ZD，

ZA+ZDCE=90°,

OA=OC，

：.NA=NACO,

ZACO+ZDCE=90。,

OCVCD,

•；OC是。的半径，

。。是(O的切线；

【小问2详解】

解：•:AB=CD=2后,

•••oc=G

•*-OD=y]CD2+OC2=420+5=5，

•；S“oD=goCCD=；OD-CE,

.—OCCD亚x2也.

••CE=----------=------------=2，

OD5

,/ODLAC，

：.AC=2CE=4.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键.

23.某公司研发了一款成本为30元的新型产品，投放市场进行销售.按照物价部门规定，销售单价不低于

成本且不高于70元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图

所示.

X（元）

（1）求每天的销售量y（个）与销售单价X（元）的函数关系式；

（2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）y=-x+100

（2）销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元

【解析】

【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案.

【小问1详解】

解：设丁="+仪左。0）,

40女+/?=60

将点（40,60）,（60,40）代入得：〜,,八，

60女+力=40

z-_1

解得L=…，

b=100

每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式y=-x+100；

【小问2详解】

设每天获得的利润为w元，

由题意得叩=（x-30）（-%+100）=-x2+130x-3（X）0=-（x-65）2+1225.

•..按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于70元，

30<x<70,

•••。=一1<0,抛物线开口向下，

...当x=65时，w有最大值，%大值=1225,

•••销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性

质.

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.。为AC中点，过。作OE1AC交

AB于点E.动点P从点。出发，沿射线以1cm/s的速度运动.过。作D以〃A3,过P作

夕/0_1。”于点M.设点P的运动时间为f（s）.△PDA/与。重叠部分图形的面积为S（cm2）.

（1）当点M落在BC边上时，求「的值；

（2）当点〃在，ABC内部时，求S关于，的函数解析式，并直接写出自变量，的取值范围.

25

【答案】（1）y

紫（。</3）

⑵S二13654（25、

—t----3<r<—

I252513）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得AB=10cm,DM=5cm,再根据DM〃AB,PMA.DM可得

NPDM=NB,NPMD=ZACB=90。，从而可证APDMsABC,根据相似三角形的性质可得

25

PD=—cm,以此即可求解；

3

（2）当点M在内部时，在（1）的情况下，达到了最大值，①当0<rW3时，S=sPDM，此时尸。=人

4325

由，PDA/sA3C可得PM=T,DM=-t,以此即可算出S；②当3<rW—时，如图，过E作

553

EQJ.DM交D”于点Q,此时S=S四边形&谢=5£现+5四边形於“2,根据题意可得DE=3,四边形

91254

ENMQ为矩形，再由dOQEs68cA得OQ=g,QE=M,SEDQ=^-,根据MENs,EDQ得

EN=-（t-3）,以此即可算出S.

【小问1详解】

解：如图，此时点M落在5c边上，

D

・・・ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,

AB=y/AC2+BC2=10cm，

为AC中点，DM//AB，

；.*CDMsCAB,

DM=—AB=5cm,

2

,/DEIAC,

；•NPDC=90。,

DM//AB，

：.ZA=/MDC，

,/ZA+N8=90°,ZPDM+NMDC=90°,

•••ZPDM^ZB，

■:PMLDM，

：.ZPMD=ZACB=9Q°,

.PDMsABC,

.PDDMPD5

••=-----9即nn=-f

ABBC106

25

***PD=—cm，

3

25।25

••t=----r1=---S9

33

25

当点M落在BC边上时，f的值为三；

【小问2详解】

解：由（1）可知，当点时在_48。内部时，在（1）的情况下，达到了最大值,

当点P位于点D位置时，达到了最小值，

①当0<fW3时，S=SPDM，此时PO=f，

；,PDMsABC,

.PD_PMDM

"ABACBC

PMDM

即丁•=------,

1086

43

PM=­t>DM=T,

55

13462

一

"'3PDM=2•-t"t=­V

5525

q—q_L_v

。四道彩EDMN~°EDQ丁❶四边形四攻,

•.•。为AC中点，DEIAC,

，DE//BC，

DE=-BC^3,

2

•/EQLDM,PMLDM,

EQ//PM,

四边形ENM。为矩形，

"DQEs^DMP,

：./\DQE^/\BCA,

.DEDQQE3_DQ_QE

••——ft*J——

ABBCAC1068

912

DQ=-,QE=—,

。191254

••5£De=-x-xy=-,

此时PD=t,PE=t-3,

,/DM//AB，

・・PENS-EDQ,

EN

PEENz-3

即亍

~ED~~DQ方,

5

3

EN=：(f-3),

,'S四边形ENMQ=Q£EN=f^(t-3)=w"3),

.5436/、3654

・・3二3四边形=3EDQ+3四边形ENMQ=+(/-3)=­t—5^

^-t2（O<^<3）

综上,S关于r的函数解析式为S”

36^）41

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，三角形的面积以及矩形的面积，熟练

掌握相似三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键.

25.综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在」ABC中，45=AC,点。在8c边上,

AD=AE，ZADE=-ZBAC,延长84至点尸，连结石户.求证：ZDAC=ZEAF.

2

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.

“如图2,连结交AC于G,若NAGE=NGEF,AB=AF，求证AG=L。。.”

2

问题解决：（3）数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对此题进行变式，提出

新的问题，请你解答.

33

“如图3,在二ABC中，48=—4C.点。在8C边上，点尸在一ABC内.AD=-AF,ZDAF=ZADC,

22

ZADB=NBAC,连结■交4。于点E，求——的值”.

6

【答案】独立思考：见解析；实践探究：见解析；问题解决:

【解析】

【分析】（1）说明NZM£=NC4/即可证明结论；

（2）首先利用SAS证明^ADC^AAEF，得。C=所，取BE的中点〃，连接A”，可知AH为/\BEF

的中位线，由NAHG=NAG〃，则AG=AH=4EF,即可证明结论；

2

3

（3）延长84至点M,使AC==AM,连接RW,利用两边成比例且夹角相等得△ADCs”也，从而

2

4

说明AD〃EW,得△ABES&WBF,设AB=3a,AC=2a,AM=-a,进而解决问题.

【详解】解：⑴证明：AD=AE,

:.ZADE=ZAED,

:.ZDAE=\S00-2ZADE,

ZADE=-ZBAC,

2

/.ZDAE=180°-ABAC=ZCAF,

/.ZDAC+ZCAE=ZCAE+ZEAF,

：.ZDAC^ZEAF；

（2）证明：AB=AF,AB^AC,

AF^AC,

又ZDAC=ZEAF,AD=AE，

AADC^AAEF（SAS）,

:.DC=EF,

如图2,取BE的中点H，连接A”，

AB=AF，

为5尸的中点,

AH为△BEE的中位线，

：.AH//EF，AH=-EF,

2

:.ZAHB=ZGEF,

NGEF=ZAGE,

:.ZAHB=ZAGE,

:.ZAHG=ZAGH,

AG=AH=-EF,

EF=CD,

AG^-CD-,

2

图2图3

3

(3)如图3,延长84至点M,使AC=；；A〃，连接RW,

2

,ADAC3

一前一而一5'

ZADC+ZADB=\8009ZADB=/BAC,

/.ZADC4-ZBAC=180°,

Nfi4C+NC4M=18。。，

ZADC=ZCAM,

ZADC=/DAF,

..ZDAF=ZCAMf

^DAC=ZFAMf

:.AADC^/\AFM,

.\ZADC=ZAFMf

ZADC=ZDAF,

.\ZDAF=ZAFM,

：,AD//FM^

,AEAB

.・诉一曲’

33

AB=-AC,AC=-AM,

22

4

，设AB=3a,AC=2a,AM=-a,

413

:.BM=AB^-AM=3a+-a=—a,

33

AE3a_9

——a

9

AE=—MF

13f

又/\ADCs/\AFM,

,DCADJi

*MF-AF_2J

3

DC=-MF,

2

AE

.=13=A

,CD~3"13'

Mr

2

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中

位线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

1

X2

26.如图，抛物线y2-+/ZX+C与X轴交于点A（—1,0）和点8,与y轴交于点C（0,—2）,连接AC,BC，

（1）求抛物线的解析式；

4

（2）点。在第四象限的抛物线上，设，ABC的面积为S-PBC的面积为S2,当S2=1S|时，求点p

的坐标；

（3）点M在抛物线上，当NM48=2/ACO时，求点M的横坐标.

I3

【答案】（1）y=-x2一一x-2

'22

（2）尸的坐标为（2,—3）

（3）点A/的横坐标为二或一

33

【解析】

【分析】（1）将A（-l,0）、。（0,-2）代入丁=耳/+法+以列方程组并且解该方程组求出6、c的值，即

i3

可得到抛物线的解析式为y=-x2-jx-2；

（2）先求得8（4,0）,则SAABC=（A8-OC=5,再求得直线8C的解析式为V=g2,作PH_Lx轴

于点/7,交6。于点6,设「。-》2一3%一2）（0＜》＜4）,则6（%」工—2）,所以26=）了一2-（；

22222

3144

X2--X-2）=-y%2+2%＞可求得SPBC=一X-+4x,由S咏=MSABC，得一X?+4x=§x5,解

方程求出X的值即可；

3

（3）取AB点中E，连接CE,则E（一，0）,可证明AAOCSCCOB,得/ACO=/CBO,再证明

2

/ACB=90°,则屈=CE=gAB,即可证明Z4EC=2NCBO=2/ACO,再分两种情况讨论，一

4

是点M在x轴的上方，则AMCE,可求得直线C£的解析式为）'=一%-2,进而求得直线AA7的解析

3

44

式为丁=一%+一，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点M的横坐标；二是点M'在x轴的

33

44

下方，可求得直线A的解析式为y=-—x—-，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点

33

M'的横坐标.

【小问1详解】

解：..•抛物线y=（/+版+C经过点A（-1,0）和点c（o,-2）,

c