2024年广东省高考数学一轮复习第7章第2讲：球的切接问题（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第7章第2讲：球的切接问

题

球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何

体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.

题型一定义法

例1（1）（2023・宣城模拟）在三棱锥P-A8C中，出，平面ABC,PA=2,AB=2吸,AC=4,

ZBAC^45°,则三棱锥P—ABC外接球的表面积是（）

A.14KB.16KC.18TID.20兀

答案D

解析在△8AC中，N84C=45。，AB=2®AC=4,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2~2ABACCOS45。=8+16-2X4X26X^=8,

则BCZ+ABZnAC2,所以BC_LAB,

由雨1.平面ABC,8CU平面ABC,得以_LBC,^PAHAB=A,PA,ABU平面％B,

所以8C_L平面PAB,

所以BCLPB,

所以△PBC为直角三角形,

又△以C为直角三角形,

所以PC是三棱锥P-ABC外接球直径，设。是PC的中点，即为球心,

又AC=4,朋=2,

所以PC^y]AC2+PA2=迎转=2^5,

所以外接球半径为小，

所以所求外接球的表面积S=4TTX（4）2=20兀.

（2）（2022•新高考全国II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3爪和4小，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.1287r

C.1447rD.1927t

第1页共13页

答案A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|x坐X3小=3,|x坐X4小

=4.

设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为。，。2,连接0|。2（图略），则0。2=1,其外接

球的球心0在直线。|。2上.

设球0的半径为R,当球心。在线段0］。2上时，R2=32+oo彳=42+（1-。0］）2,解得00j

=4（舍去）；

2222

当球心。不在线段0|。2上时，R=4+OCi=3+（l+OO2）,解得。。2=3,

所以R2=25,

所以该球的表面积为4兀心=100兀.

综上，该球的表面积为100兀

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心,

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

跟踪训练1已知直三棱柱AfiC-AiBiCi的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,

ABLAC,A4i=⑵则球。的半径为（）

A3yB.2A/T（）C.与D.

答案C

解析由题意作图如图，过球心0作平面4BC的垂线，则垂足为8c的中点

；4B=3,AC=4,AB1AC,

...球0的半径R^OA=yJQ2+62=v.

题型二补形法

例2（1）（2023・大庆模拟）在正方形ABCD中，E,尸分别为线段AB,BC的中点，连接。E,

DF,EF,将△AQE,ACDF,ZXBEF分别沿QE,DF,EF折起，使A,B,C三点重合，得

到三棱锥。一力EF,则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为（）

第2页共13页

A.2小B.4小C.2^6D.A/6

答案C

解析因为在正方形4BCD中，ADLAE,CD1CF,BE1.BF,

所以折起后0，0E,。尸两两互相垂直，

故该三棱锥的外接球，即以。£>,0E,0F为棱的长方体的外接球.

设正方形ABCD的边长为2,则0力=2,0E=\,0F=\,

故2R=旧。》+。序+0尸=加,则R=乎.

设内切球球心为/,由彷-DEF==SAOEF-00=；,三棱锥O-DE尸的表面积S=4,

所以r=；,则有f=2祈.

(2)如图，在多面体中，四边形ABC。为矩形，CE_L平面ABC。，AB=2,BC=CE=1,通过

添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为,

答案|67t

解析如图，添加的三棱锥为直三棱锥E-AQF,

可以将该多面体补成一个直三棱柱AOF-BCE,

因为CE_L平面ABC£>,48=2,

BC=CE=\,

第3页共13页

所以SABCE=3CEX1X1=g,

直三棱柱ADF-BCE的体积

V=S&BCE-AB=^X2—1,

添加的三棱锥的体积为:

方法一如图，分别取AF,BE的中点M,N,连接MM与4E交于点0,

因为四边形AFEB为矩形，所以。为AE,MN的中点，在直三棱柱A。/一8CE中，CEL平

面ABCD,

所以ED_L平面ABCD,即NECB=N^D4=90。，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三

棱柱的外接球的球心即为点。，A。即为球的半径，

因为4M=”尸=勺，MO—\,

,,_I3

所以AO2=AM2+MO2=2+1=2,

所以外接球的表面积为4nAO2=6n.

方法二因为CE,CB,CO两两垂直，故将直三棱柱AD厂一BCE补成长方体，设外接球的

半径为R,则4R2=»+12+22=6,所以外接球的表面积5=4兀代=6兀

思维升华(1)补形法的解题策略

①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求

解；②直三棱锥补成三棱柱求解.

(2)正方体与球的切、接问题的常用结论

正方体的棱长为“，球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=小a;

②若球为正方体的内切球，则2R=a;

③若球与正方体的各棱相切，则2R=@.

(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则27?=迎+"+广

跟踪训练2(1)在三棱锥A-BCQ中，侧棱AB,AC,AQ两两垂直，△ABC,/XACD,△AOB

的面积分别为坐，坐，坐,则三棱锥4—88的外接球的体积为()

第4页共13页

A.加兀B.2\6nC.3#兀D.4%兀

答案A

解析在三棱锥A—BCZ）中，侧棱48,AC,AO两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球

是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.

设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c,由题意得h=#,ac=-\[3,bc=也,

解得。=巾，b=-\[2,c=l,所以球的直径为。（小）2+（小）2+1=#,它的半径为半，球的

体积为专义（坐）=#兀.

⑵（2023•焦作模拟）已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且勿=36，

PB=PC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.

答案34兀

解析根据题意，三棱锥P-A8C可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的

面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为mb,c,如图所示，

22222222

则o+b=R12=i8,a+c=PB=25,b+c=PC=259解得〃=3,b=3,c=4.所以该三

棱锥的外接球的半径R=“#蓝2++所以该三棱锥的外接球的表面积

S-4兀/?2=4兀*（当32=34兀

题型三截面法

例3（1）四棱锥P-ABC。的顶点都在球。的表面上，△以。是等边三角形，底面ABCD是

矩形，平面B4OJ_平面A8CD,若AB=2,BC=3,则球。的表面积为（）

A.12兀B.16KC.20兀D.32K

答案B

解析如图，连接AC,BD,ACHBD=G,取AD的中点E,连接PE.

•.•四边形A8CQ为矩形，，G为四边形ABC。的外接圆圆心；

在线段PE上取ME=^PE,

•.•△玄。为等边三角形，为△附。外接圆圆心,

第5页共13页

过G,M分别作平面ABCQ和平面B4。的垂线，则两垂线的交点即为球。的球心0,连接

0P,

•.•△布£>为等边三角形，：.PE±AD,

:平面以£>_!平面ABC。，平面南。C平面ABC〃=A。，PEU平面办力，

PE_L平面ABCD,：.PE//0G；

同理可得，0MMEG,...四边形0MEG为矩形；

0M=EG=^AB=1,PM=|PE=|^=^3,

OP=qOM?+PM2=2,即球O的半径R=2,

...球O的表面积S=4nR2=16兀.

（2）如图所示，直三棱柱ABC—A181cl是一块石材，测量得NA2C=90。，A8=6,BC=8,A4i

=13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球

的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（）

C.6n,43

答案D

解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.易知

AC=^y/AB2+BC2=10,设健身手球的半径为R,则Tx（6+8+10）XR=；X6X8,解得R=2.

则健身手球的最大直径为4.

因为AAi=13,所以最多可加工3个健身手球.

44427r

于是一个健身手球的最大体积丫=界3=上义23=苧.

思维升华（1）与球截面有关的解题策略

①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径；

②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

（2）正四面体的外接球的半径尺=坐4,内切球的半径其半径之比R：r=3：l（a为该

第6页共13页

正四面体的棱长）.

跟踪训练3（1）（2022•淮北模拟）半球内放三个半径为小的小球，三小球两两相切，并且与球

面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（）

A.1+小B.小+小C.小+巾D.小+巾

答案D

解析三个小球的球心。，Oi,。3构成边长为2爪的正三角形，则其外接圆半径为2.设半

球的球心为O,小球01与半球底面切于点A.

如图，经过点0,0i,A作半球的截面，则半圆。。的半径为0C,0CL0A,作。山，0C

于点B.

则。4=0归=2.设该半球的半径是凡在Rt^OAOi中，由（R一小）2=22+（小门可得+

市.

（2）（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为苧，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4兀C.9兀D.1271

答案B

解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥A。和圆锥3。的高之比为3：1,

即AD=3BD,

设球的半径为R,则誓=竽，可得R=2,

所以AB=AO+BO=4BD=4,

所以BD=1,AD=3,

因为CDLAB,AB为球的直径，

所以△AC£>S/^CB。，

所以隹=器，所以CD=7ADBD=^,

第7页共13页

因此，这两个圆锥的体积之和为

；7tXC£>2.(4D+BO)=&X3X4=4兀

课时精练

1.（2023•岳阳模拟）已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为（）

A.羊兀B.4小兀C.8兀D.12兀

答案B

解析因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2,

故该球的直径27?=/22+22+22=2小.所以/?=小.故该球的体积丫=%/?3=4小兀

2.己知在三棱锥P-ABC中，AC=yf2,BC=1,AC_LBC且巩=2PB,PB_L平面ABC,则

其外接球体积为（）

A.普B.4兀C.31匹D.4、/57t

答案A

解析AB=7Ad+BC2=®设PB=h,则由附=2尸8,可得产彳=2儿解得力=1,可

将三棱锥P-4BC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P—ABC的外接球即为长方体的外接

球，设外接球的半径为凡则2/?=吊？加萨币=2,R=l,

所以其外接球的体积V=y/?3=y.

p

3.（多选）已知三棱锥尸一48c的四个顶点都在球O的表面上，出，平面ABC,PA^6,ABLAC,

A8=2,AC=2#,点。为AB的中点，过点。作球O的截面，则截面的面积可以是（）

n

A.jB.itC.9兀D.13兀

答案BCD

解析三棱锥P—ABC的外接球即为以A8,AC,AP为邻边的长方体的外接球，

.•.2/?=^62+22+（2^3）2=2^13,

；.R=p,

取8c的中点Oi,

第8页共13页

：.0\为aABC的外接圆圆心,

...0011.平面A8C,如图.

当截面时，截面的面积最小，

；0。=血。彳+01。2

=、32+（小）2=2小,

此时截面圆的半径为r=yjR2—OD2=1,

截面面积为m2=n,

当截面过球心时，截面圆的面积最大为兀/?2=13兀，

故截面面积的取值范围是［兀，132.

4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1,则圆锥的体积为（）

A.nB.2兀C.3兀D.4兀

答案c

解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆。。|和外接圆。02,

且两圆同圆心，即△45C的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，

由题意得。Oi的半径为r=l,，4ABC的边长为25，

.•.圆锥的底面半径为小，高为3,

，V=|x7tX3X3=37i.

5.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为47r号的球体与棱柱

的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）

A.6小B.12小C.18小D.24小

答案C

解析根据已知可得球的半径等于I,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,

即底面三角形的高等于3,边长等于2小，所以这个三棱柱的表面积等于3X26X2+2X；

X2^3X3=1873.

6.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为小一

1,则下列说法中正确的是（）

A.正方体的外接球的表面积为12兀

第9页共13页

B.正方体的内切球的体积为个

C.正方体的棱长为2

D.线段MN的最大值为2小

答案ABC

解析设正方体的棱长为“，

则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,

即坐4；内切球的半径为棱长的一半，即多

VM,N分别为外接球和内切球上的动点，

•♦A//Nmin2a1,

解得”=2,即正方体的棱长为2,

...正方体外接球的表面积为47tx（小）2=12兀，内切球的体积为与，则A,B,C正确；

线段的最大值为小+1,则D错误.

7.（2022.聊城模拟）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成

的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这

是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为

1,则该多面体外接球的体积为（）

答案A

解析将该多面体放入正方体中，如图所示.

由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为啦，

因为该多面体是由棱长为也的正方体连接各棱中点所得，

所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线

第10页共13页

长，即2R=q（&）2+（g）2,所以R=l,

所以该多面体外接球的体积V=1x/?3=y.

8.（2022•全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的

球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.1B.4

答案c

解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.

设圆锥的高为〃（0＜伏1）,底面半径为r,

则圆锥的体积丫=；兀户〃=；兀（1—序）/?,

则V'=，兀（1—3后），

令『=；兀（1-3层）=0,得力=乎，

所以1=/贝一〃2M在（0,叫上单调递增，

在惇，1）上单调递减，

所以当/?=乎时，四棱锥的体积最大，故选C.

9.如图，在圆柱002内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱01。2

的体积为％,表面积为S，球。的体积为匕，表面积为S2,则*，蔡=.

33

答

案--

22

解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱。|。2的底面圆的半径为R,高为2R,

2

tV,次女3Si2nR-2R-\-2nR3

所以正=与;=’’豆=一标一=，

10.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

答案坐兀

第11页共13页

解析因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥