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文档简介
2024年广东省高考数学一轮复习第7章第2讲:球的切接问
题
球的切、接问题,是历年高考的热点内容,经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何
体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.
题型一定义法
例1(1)(2023・宣城模拟)在三棱锥P-A8C中,出,平面ABC,PA=2,AB=2吸,AC=4,
ZBAC^45°,则三棱锥P—ABC外接球的表面积是()
A.14KB.16KC.18TID.20兀
答案D
解析在△8AC中,N84C=45。,AB=2®AC=4,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2~2ABACCOS45。=8+16-2X4X26X^=8,
则BCZ+ABZnAC2,所以BC_LAB,
由雨1.平面ABC,8CU平面ABC,得以_LBC,^PAHAB=A,PA,ABU平面%B,
所以8C_L平面PAB,
所以BCLPB,
所以△PBC为直角三角形,
又△以C为直角三角形,
所以PC是三棱锥P-ABC外接球直径,设。是PC的中点,即为球心,
又AC=4,朋=2,
所以PC^y]AC2+PA2=迎转=2^5,
所以外接球半径为小,
所以所求外接球的表面积S=4TTX(4)2=20兀.
(2)(2022•新高考全国II)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3爪和4小,其顶点
都在同一球面上,则该球的表面积为()
A.100兀B.1287r
C.1447rD.1927t
第1页共13页
答案A
解析由题意,得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|x坐X3小=3,|x坐X4小
=4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为。,。2,连接0|。2(图略),则0。2=1,其外接
球的球心0在直线。|。2上.
设球0的半径为R,当球心。在线段0]。2上时,R2=32+oo彳=42+(1-。0])2,解得00j
=4(舍去);
2222
当球心。不在线段0|。2上时,R=4+OCi=3+(l+OO2),解得。。2=3,
所以R2=25,
所以该球的表面积为4兀心=100兀.
综上,该球的表面积为100兀
思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,
找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
跟踪训练1已知直三棱柱AfiC-AiBiCi的6个顶点都在球。的球面上,若AB=3,AC=4,
ABLAC,A4i=⑵则球。的半径为()
A3yB.2A/T()C.与D.
答案C
解析由题意作图如图,过球心0作平面4BC的垂线,则垂足为8c的中点
;4B=3,AC=4,AB1AC,
...球0的半径R^OA=yJQ2+62=v.
题型二补形法
例2(1)(2023・大庆模拟)在正方形ABCD中,E,尸分别为线段AB,BC的中点,连接。E,
DF,EF,将△AQE,ACDF,ZXBEF分别沿QE,DF,EF折起,使A,B,C三点重合,得
到三棱锥。一力EF,则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为()
第2页共13页
A.2小B.4小C.2^6D.A/6
答案C
解析因为在正方形4BCD中,ADLAE,CD1CF,BE1.BF,
所以折起后0,0E,。尸两两互相垂直,
故该三棱锥的外接球,即以。£>,0E,0F为棱的长方体的外接球.
设正方形ABCD的边长为2,则0力=2,0E=\,0F=\,
故2R=旧。》+。序+0尸=加,则R=乎.
设内切球球心为/,由彷-DEF==SAOEF-00=;,三棱锥O-DE尸的表面积S=4,
所以r=;,则有f=2祈.
(2)如图,在多面体中,四边形ABC。为矩形,CE_L平面ABC。,AB=2,BC=CE=1,通过
添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱,那么添加的三棱锥的体积为,
答案|67t
解析如图,添加的三棱锥为直三棱锥E-AQF,
可以将该多面体补成一个直三棱柱AOF-BCE,
因为CE_L平面ABC£>,48=2,
BC=CE=\,
第3页共13页
所以SABCE=3CEX1X1=g,
直三棱柱ADF-BCE的体积
V=S&BCE-AB=^X2—1,
添加的三棱锥的体积为:
方法一如图,分别取AF,BE的中点M,N,连接MM与4E交于点0,
因为四边形AFEB为矩形,所以。为AE,MN的中点,在直三棱柱A。/一8CE中,CEL平
面ABCD,
所以ED_L平面ABCD,即NECB=N^D4=90。,所以上、下底面为等腰直角三角形,直三
棱柱的外接球的球心即为点。,A。即为球的半径,
因为4M=”尸=勺,MO—\,
,,_I3
所以AO2=AM2+MO2=2+1=2,
所以外接球的表面积为4nAO2=6n.
方法二因为CE,CB,CO两两垂直,故将直三棱柱AD厂一BCE补成长方体,设外接球的
半径为R,则4R2=»+12+22=6,所以外接球的表面积5=4兀代=6兀
思维升华(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去求
解;②直三棱锥补成三棱柱求解.
(2)正方体与球的切、接问题的常用结论
正方体的棱长为“,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=小a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=@.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则27?=迎+"+广
跟踪训练2(1)在三棱锥A-BCQ中,侧棱AB,AC,AQ两两垂直,△ABC,/XACD,△AOB
的面积分别为坐,坐,坐,则三棱锥4—88的外接球的体积为()
第4页共13页
A.加兀B.2\6nC.3#兀D.4%兀
答案A
解析在三棱锥A—BCZ)中,侧棱48,AC,AO两两垂直,将其补成长方体,两者的外接球
是同一个,长方体的体对角线就是球的直径.
设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c,由题意得h=#,ac=-\[3,bc=也,
解得。=巾,b=-\[2,c=l,所以球的直径为。(小)2+(小)2+1=#,它的半径为半,球的
体积为专义(坐)=#兀.
⑵(2023•焦作模拟)已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等,且勿=36,
PB=PC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.
答案34兀
解析根据题意,三棱锥P-A8C可以嵌入一个长方体内,且三棱锥的每条棱均是长方体的
面对角线,设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为mb,c,如图所示,
22222222
则o+b=R12=i8,a+c=PB=25,b+c=PC=259解得〃=3,b=3,c=4.所以该三
棱锥的外接球的半径R=“#蓝2++所以该三棱锥的外接球的表面积
S-4兀/?2=4兀*(当32=34兀
题型三截面法
例3(1)四棱锥P-ABC。的顶点都在球。的表面上,△以。是等边三角形,底面ABCD是
矩形,平面B4OJ_平面A8CD,若AB=2,BC=3,则球。的表面积为()
A.12兀B.16KC.20兀D.32K
答案B
解析如图,连接AC,BD,ACHBD=G,取AD的中点E,连接PE.
•.•四边形A8CQ为矩形,,G为四边形ABC。的外接圆圆心;
在线段PE上取ME=^PE,
•.•△玄。为等边三角形,为△附。外接圆圆心,
第5页共13页
过G,M分别作平面ABCQ和平面B4。的垂线,则两垂线的交点即为球。的球心0,连接
0P,
•.•△布£>为等边三角形,:.PE±AD,
:平面以£>_!平面ABC。,平面南。C平面ABC〃=A。,PEU平面办力,
PE_L平面ABCD,:.PE//0G;
同理可得,0MMEG,...四边形0MEG为矩形;
0M=EG=^AB=1,PM=|PE=|^=^3,
OP=qOM?+PM2=2,即球O的半径R=2,
...球O的表面积S=4nR2=16兀.
(2)如图所示,直三棱柱ABC—A181cl是一块石材,测量得NA2C=90。,A8=6,BC=8,A4i
=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球
的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()
C.6n,43
答案D
解析依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大.易知
AC=^y/AB2+BC2=10,设健身手球的半径为R,则Tx(6+8+10)XR=;X6X8,解得R=2.
则健身手球的最大直径为4.
因为AAi=13,所以最多可加工3个健身手球.
44427r
于是一个健身手球的最大体积丫=界3=上义23=苧.
思维升华(1)与球截面有关的解题策略
①定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的
距离相等且为半径;
②作截面:选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.
(2)正四面体的外接球的半径尺=坐4,内切球的半径其半径之比R:r=3:l(a为该
第6页共13页
正四面体的棱长).
跟踪训练3(1)(2022•淮北模拟)半球内放三个半径为小的小球,三小球两两相切,并且与球
面及半球底面的大圆面也相切,则该半球的半径是()
A.1+小B.小+小C.小+巾D.小+巾
答案D
解析三个小球的球心。,Oi,。3构成边长为2爪的正三角形,则其外接圆半径为2.设半
球的球心为O,小球01与半球底面切于点A.
如图,经过点0,0i,A作半球的截面,则半圆。。的半径为0C,0CL0A,作。山,0C
于点B.
则。4=0归=2.设该半球的半径是凡在Rt^OAOi中,由(R一小)2=22+(小门可得+
市.
(2)(2021•天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为苧,
两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为()
A.3兀B.4兀C.9兀D.1271
答案B
解析如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点。,
设圆锥A。和圆锥3。的高之比为3:1,
即AD=3BD,
设球的半径为R,则誓=竽,可得R=2,
所以AB=AO+BO=4BD=4,
所以BD=1,AD=3,
因为CDLAB,AB为球的直径,
所以△AC£>S/^CB。,
所以隹=器,所以CD=7ADBD=^,
第7页共13页
因此,这两个圆锥的体积之和为
;7tXC£>2.(4D+BO)=&X3X4=4兀
课时精练
1.(2023•岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上,则该球体的体积为()
A.羊兀B.4小兀C.8兀D.12兀
答案B
解析因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长为2,
故该球的直径27?=/22+22+22=2小.所以/?=小.故该球的体积丫=%/?3=4小兀
2.己知在三棱锥P-ABC中,AC=yf2,BC=1,AC_LBC且巩=2PB,PB_L平面ABC,则
其外接球体积为()
A.普B.4兀C.31匹D.4、/57t
答案A
解析AB=7Ad+BC2=®设PB=h,则由附=2尸8,可得产彳=2儿解得力=1,可
将三棱锥P-4BC还原成如图所示的长方体,则三棱锥P—ABC的外接球即为长方体的外接
球,设外接球的半径为凡则2/?=吊?加萨币=2,R=l,
所以其外接球的体积V=y/?3=y.
p
3.(多选)已知三棱锥尸一48c的四个顶点都在球O的表面上,出,平面ABC,PA^6,ABLAC,
A8=2,AC=2#,点。为AB的中点,过点。作球O的截面,则截面的面积可以是()
n
A.jB.itC.9兀D.13兀
答案BCD
解析三棱锥P—ABC的外接球即为以A8,AC,AP为邻边的长方体的外接球,
.•.2/?=^62+22+(2^3)2=2^13,
;.R=p,
取8c的中点Oi,
第8页共13页
:.0\为aABC的外接圆圆心,
...0011.平面A8C,如图.
当截面时,截面的面积最小,
;0。=血。彳+01。2
=、32+(小)2=2小,
此时截面圆的半径为r=yjR2—OD2=1,
截面面积为m2=n,
当截面过球心时,截面圆的面积最大为兀/?2=13兀,
故截面面积的取值范围是[兀,132.
4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为()
A.nB.2兀C.3兀D.4兀
答案c
解析过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC及其内切圆。。|和外接圆。02,
且两圆同圆心,即△45C的内心与外心重合,易得△ABC为正三角形,
由题意得。Oi的半径为r=l,,4ABC的边长为25,
.•.圆锥的底面半径为小,高为3,
,V=|x7tX3X3=37i.
5.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为47r号的球体与棱柱
的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是()
A.6小B.12小C.18小D.24小
答案C
解析根据已知可得球的半径等于I,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,
即底面三角形的高等于3,边长等于2小,所以这个三棱柱的表面积等于3X26X2+2X;
X2^3X3=1873.
6.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为小一
1,则下列说法中正确的是()
A.正方体的外接球的表面积为12兀
第9页共13页
B.正方体的内切球的体积为个
C.正方体的棱长为2
D.线段MN的最大值为2小
答案ABC
解析设正方体的棱长为“,
则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,
即坐4;内切球的半径为棱长的一半,即多
VM,N分别为外接球和内切球上的动点,
•♦A//Nmin2a1,
解得”=2,即正方体的棱长为2,
...正方体外接球的表面积为47tx(小)2=12兀,内切球的体积为与,则A,B,C正确;
线段的最大值为小+1,则D错误.
7.(2022.聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体,是由边数不全相同的正多边形围成
的多面体,它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这
是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为
1,则该多面体外接球的体积为()
答案A
解析将该多面体放入正方体中,如图所示.
由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为啦,
因为该多面体是由棱长为也的正方体连接各棱中点所得,
所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点,其外接球直径等于正方体的面对角线
第10页共13页
长,即2R=q(&)2+(g)2,所以R=l,
所以该多面体外接球的体积V=1x/?3=y.
8.(2022•全国乙卷)已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的
球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()
A.1B.4
答案c
解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.
设圆锥的高为〃(0<伏1),底面半径为r,
则圆锥的体积丫=;兀户〃=;兀(1—序)/?,
则V'=,兀(1—3后),
令『=;兀(1-3层)=0,得力=乎,
所以1=/贝一〃2M在(0,叫上单调递增,
在惇,1)上单调递减,
所以当/?=乎时,四棱锥的体积最大,故选C.
9.如图,在圆柱002内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱01。2
的体积为%,表面积为S,球。的体积为匕,表面积为S2,则*,蔡=.
33
答
案--
22
解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱。|。2的底面圆的半径为R,高为2R,
2
tV,次女3Si2nR-2R-\-2nR3
所以正=与;=’’豆=一标一=,
10.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.
答案坐兀
第11页共13页
解析因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥
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