新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 平面向量的概念及线性运算

专题32平面向量的概念及线性运算

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：向量的基本概念

型

归题型二：平面向量的线性运算

类

题型三：平面向量共线定理的应用

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

【考点预测】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

的方向.向量养的大小就是向量的旨度(或称模)，记作曲.

(2)零向量：长度为0的向量,记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向和回或曲反的非零向量.向量4,〃平行，记作4〃儿规定：0与任

一向量平行.

(5)相等向量：长度相笠且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

C

(1)交换律：

求两个向量和三角形法则a+b=b+a.

加法

的运算BaQ(2)结合律：

日(a+〃)+c=a+(〃+c)

OA

平行四边形法则

求两个向量差

减法a-b=a~\-(—b)

的运算

三角形法则

规定实数2与

⑴財=胭;

向量4的积是

(2)当%>0时，2a的方向入(ua)=；

一个向量，这

数乘与“的方向梱司；当2<0(%+“)。=Aa+ua；

种运算叫做向

时，施的方向与4的方向Ra+力)=

量的数乘，记

相反;当2=0时，脑=。

作知

3.共线向量定理

向量a(aWO)与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使b=；.a.

【常用结论】

1.中点公式的向量形式：若尸为线段的中点，。为平面内任一点，则决=：(晶+5方).

2.OA=AOB+fiOC^,〃为实数)，若点4B,C共线，则％+〃=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向;

二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

【方法技巧】

1.平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移

混淆.

(4)非零向量4与*的关系：6是与4同方向的单位向量.

1«11«1

2.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反

向量将加减法相互转化.

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及

三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向

量线性表示.

3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加

法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

4.利用共线向量定理解题的策略

(1)。〃劝(AW0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即〃，B,C三点共线=港，病共线.

(3)若a与b不共线且脑=曲，则2=〃=0.

(4)而=2/反(九〃为实数)，若/,B,。三点共线，则2+〃=1.

二、【题型归类】

【题型一】向量的基本概念

【典例1】(多选)给出下列命题，不正确的有()

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若4B,C,。是不共线的四点，且冠=虎，则四边形为平行四边形

C.的充要条件是同=|加且a〃方

D.已知九〃为实数，若痴=〃〃，则”与8共线

【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定

有相同的起点和终点；

B正确，因为懑=比，所以|的|=|比|且荏〃虎，又/,B,C,。是不共线的四点，所以四

边形4BCD为平行四边形；

C错误，当“〃〃且方向相反时，即使同=|〃|,也不能得到a=〃，所以回=|。|且。〃〃不是

的充要条件，而是必要不充分条件；

D错误，当4=〃=0时，a与8可以为任意向量，满足2a=7咫，但。与〃不一定共线.

故选ACD.

【典例2】（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若4,〃都为非零向量，则使各+名=0成立的条件是“与力反向共线

|«|固

D.若b=c,则a=c

【解析】A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

C项，因为号与名都是单位向量，所以只有当匕与名是相反向量，即a与。是反向共线时才成

1«1㈤1«1血

立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确.

故选BCD.

【典例3】对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a〃b”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若a+6=0,

则4=一仇则“〃儿即充分性成立；若。〃儿则4=一〃不一定成立，即必要性不成立，

即％+〃=0”是“aHb”的充分不必要条件.

故选A.

【题型二】平面向量的线性运算

【典例1】设非零向量a,力满足|a+b|=|a—句，则（）

A.alhB.\a\=\h\

C.a//bD.|a|>|Z>|

【解析】方法一利用向量加法的平行四边形法则.

在Q48C。中，设力=a,AD=b,

由|a+b|=|a—臼知，\AC\=\DB\,

从而四边形N8CD为矩形，即丄故a丄也

故选A.

方法二-\a+b\=\a-b\,

・\|々+例2=J。一〃产.

:,/"+2a*b=a2-\~b2—2a*b.

，〃协=0.；・。丄A.

故选A.

【典例2】在△A8C中，BD=^BC,若屜=a,AC=b,则在等于（）

A.++$B5+$

【解析】方法一如图，过点。分别作的平行线交于点E,凡则四边形NEOb

为平行四边形，所以疝=成+力.因为前=1比，所以版=2/，AF=~AC,所以&）=2诵+

3333

；太=；“十；〃，故选A.

方法二历=蒞+防=功+；肥=港+；（左一力）=飘+抖=；+卜，故选A.

方法三由位）=；能，得疝一施=：（病—為），所以历=崩+3（衣-•麺）=|焉+；衣=+

故选A.

【典例3】在等腰梯形49C。中，AB=2DC,点E是线段比的中点，若涯;=2湘+痴b,则%

+〃=.

【解析】取的中点连接。孔则由题意可得CE〃/。，且CF=4D,因为港：=丽+诲：=

a1s

所以』=7〃=?则什

【题型三】平面向量共线定理的应用

【典例1］设两个非零向量。与b不共线.

（1）若港=a+"BC=2a+Sh,CD=3（a-h）,求证：A,B,。三点共线;

（2）试确定实数厶使版+6和。+的共线.

【解析】⑴证明：因为养=。+力，於=2。+8〃，⑸=3（。一。），

所以应）=及+日）=2。+8方+3（。一。）=5（4+。）=5蒞，

所以爲，访共线，又它们有公共点8,

所以/,B,。三点共线.

（2）因为版+。与。+助共线，

所以存在实数九使妬+6=4〃+/。），

即（左一外《=（乂一1）〃.

又m〃是两个不共线的非零向量，

所以A—2=M—1=0,所以上2—1=0,

所以k=±\.

【典例2】已知向量a与8不共线，AB=a+mh,AC=na+h（m,〃WR）,则能与元1共线的条

件是（）

A.m+n=0B.加—〃=0

C.+1=0D.mn—1=0

]/“

【解析】由Z8=a+〃汾，/C=〃a+〃（"7,〃6R）共线，得a+〃法="”a+〃），即，所以

m=2.,

mn—1=0.

故选D.

【典例3]已知P是△N8C所在平面内的一点，若希=次+而，其中2CR,则点P一定在（）

A.△Z8C的内部B.ZC边所在直线上

C.边所在直线上D.8c边所在直线上

【解析】由宓=2成+而得思一而=%再，CP=）^PA.^\CP,屈I为共线向量，又而，屈!有一个

公共点P,所以C,P,/三点共线，即点尸在直线ZC上.

故选B.

三、【培优训练】

【训练一】庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美

的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P,Q,R,S,T

为顶点的多边形为正五边形，且竇=或三.下列关系中正确的是（）

AIL

A.BP-TS=^^-RSB.CQ+TP=^^-TS

C.ES~AP=^^-BQD.AT+BQ=^^-CR

【解析】由已知，BP-TS=TE-7^=SE=^Z^=^^RS,所以A正确：

2

^+TP=PA+TP=TA=^~^ST,所以B错误；

ES-AP=RC-QC=RQ=^-^QB,所以C错误；

AT+BQ=SD+RD,^^CR=RS=Rb-SD,若力+頭=或：或，则豆)=0,不合题意,

所以D错误.

故选A.

【训练二】若2为+命+3成;=0,40。，品/80分别表示厶/。。,/\ABC的面积，则SxdOC:S&ABC

【解析】若2①+场+3沆=0,

,W

设CH'=204,OC=3OC9

可得。为△4'BC的重心，如图,

设S&AOB=X,S&BOC=y,S^AOC=Z,

则S^A-OB=2X,S^BOC=3y,S”、oc=6z,

由2x=3y=6z,

可得S^AOC•SMBC=Z：(x+y+z)=1：6.

【训练三】如图，在厶/台。中，京=ft,P是BN上一点，若扉=凝+納,

则实数f的值为.

【解析】法一因为京=；成7,

所以病=与后，

2

所以苏=/就+1衣=/亚+£施,

36

因为8,尸，N三点共线，

所以/+，=1,所以/=：.

66

法二因为京=1流，所以布=1乘，

设帝=扁,则善=俞+桥

2-**~►

=-AC+XNB

5

=^AC+X(NA+AB)

2f,f-2式+拓

=-AC+^5J

5

=/L45+~(l-X)AC.

—►―►]-►

又〃尸=〃8+丄2。，

3

所以/Afi+1^C=AA5+|(l-X)AC,

t=k,

得2(­)=丄，解得皿得

【训练四】经过△0/8的重心G的直线与0A,OB分别交于点P,Q,^OP=mOA,OQ=nOB,

m,,7ER.

(1)证明：丄+1为定值；

mn

(2)求m+n的最小值.

【解析】(1)证明设1="，OB=b.

由题意知+协)

=；(“+方)，

PQ—OQ—OP=nh—ma,

PG=dG-OP=\3~'，Ja-\-h,

由「，G,。三点共线得，

存在实数人使得户0=2百，

从而

n——k,

3

消去见得丄+丄=3.

nm

(2)解由(1)知，丄+丄=3,

mn

于是m+n=

12+-+-14

rlm凡+（2+2）=彳

3

7A

当且仅当"?=〃=-时，他+“取得最小值，最小值为一.

33

【训练五】经过△0/8的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设舁=机61,OQ=nOB,

m,〃WR*.

(1)证明：丄+丄为定值；

mn

(2)求m+n的最小值.

【解析】(1)证明设为=%OB=h.

由题意知名=；x；(为+勘)=:(a+b),

PQ=OQ-OP=nb-ma,

PG=OG-OP=

由P,G,0三点共线得,

存在实数人使得戶0=有,

〃+丄劝,

即nb-ma=l

3

—id

从而

n—~k,

3

消去/得丄+丄=3.

nm

(2)解由(1)知，丄+1=3,

mn

于是加+〃=(加+〃)

1[2+-+-1

14

mnJ幸+2)=§.

3

74

当且仅当加=〃=-时，加+/?取得最小值，最小值为一.

33

【训练六】已知O,A,8是不共线的三点，且初=〃?%+〃油(加,”£R).

(1)若加+〃=1,求证：A,P,8三点共线；

(2)若4P,3三点共线，求证：m+n=l.

【证明】(1)若加+〃=1,

则。P="?。4+(1—in)OB

=OB+m(OA-dB),

所以成一勘=皿①一/)，

即丽=加瓦(，所以办与扇共线.

又因为丽与晶有公共点8,

所以N,P,8三点共线.

(2)若4,P,8三点共线,

则存在实数九使丽=湿，所以办一命=〃为一访).

又赤="?晶+”命.

故有加为+（〃-1）/①-AOB,

即（〃?一力为+（〃+%—1）仍=0.

因为O,A,8不共线，所以61,西不共线，

ITI—2=0,

所以，所以加+〃=1.

〃+%—1=0,

四、【强化测试】

【单选题】

1.若。，6为非零向量，则“"=号’是%，〃共线”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析产，金分别表示与a,8同方向的单位向量，匕=与，则有”，。共线，而a,8共线，

1«1血1«11*1

则*名是相等向量或相反向量，所以‘'?=2'是%，〃共线”的充分不必要条件•

\a\冋\a\|6|

故选B.

2.设”=（蒞+近））+（前+房），〃是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a//bB.a+b=a

C.a+b=bD.|a+6|=|a|+|6|

【解析】由题意得，a=（AB+Cb）+（BC+DA）=AC+CA=O,且8是一个非零向量，所以a〃8

成立，所以A正确；由“+/>=〃，所以B不正确，C正确；由|a+b|=|旬,|«|+|/||=|Z>|,

所以|0+。|=同+网,所以D正确.

故选B.

3.如图所示，在正六边形4BC。所中，易+近）+彷等于（）

A.0B.5E

C.ADD.次

【解析】根据正六边形的性质，

易得，BA+CD+EF

=BA+AF+EF

=5F+CS=CF.

故选D.

4.已知平面内一点。及△Z6C,若屈!+而+无=懑，则点尸与△48C的位置关系是（）

A.点P在线段上B.点尸在线段8C上

C.点P在线段ZC上D.点尸在厶/台。外部

【解析】由届+丽+我:=焉，得再+而+同=而一再，即危=一2再，故点P在线段/C上.

故选C.

5.已知。是正方形的中心.若庆＞=房+兩，其中九代R,则匚（）

A.-2B.--

2

C.一/D./

【解析】及＞=%+乃=①+就＞=养一充+1衣=48—1衣，所以2=1,〃=-1,因此,=

222//

故选A.

6.矩形Z8C。的对角线相交于点。，E为“。的中点，若无=/麺+〃疝（九〃为实数），则户

+户=（）

A.-B.-C.lD.—

8416

【解析】OE=AE-Ab=-AC-Ab

4

=~（AB+Ab）-AD=[AB--Ab,

444

.,1_3.12丄2-1丄95

..A——,u.=...z2+/z2-=1

4'4'16168

故选A.

7.在△/8C中，点M为ZC上的点，且施=納:，若麻=%比1+〃病，则%—〃的值是（）

112

B.丄C.1D.-

233

【解析】由而=：統，得麺=:就，所以麻=或+就/=扇+：就=旗+；（比一或）=；或+

;能，又因为说/=%或+〃比，所以2=|,//=|,故

故选C.

8.如图，在平行四边形N8CZ）中，E为8c的中点，E为。E的中点，若静=./^+3在，则

4

x等于（）

32

A.-B.-

43

C.-D.-

24

【解析】连接（图略），因为尸为。E的中点，

所以办=；（彳b+而），

一一>>>>|»AI'>

而4E=4B+BE=4B+丄BC=4B+\4D,

22

所以善'=g(Jb+函

SAD+AB+-Ab\

If3f

=-AB^-AD,

24

-f3f

又力产=»8+当。，

4

所以x=1.

故选C.

【多选题】

9.下列选项中的式子，结果为零向量的是（）

A.A5+5C+C/1

^.AB+MB+BO+OM

C.OA+OB+BO+CO

V>.AB-AC+BD-Cb

【解析】利用向量运算，易知A,D中的式子结果为零向量.

故选AD.

10.（多选）下列说法中正确的是（）

A.港+成=0

B.若同=回且4〃Z>,则a=b

C.向量a与8不共线，则。与人都是非零向量

D.若a〃儿则有旦只有一个实数人使得分=勲

【解析】由港，旗互为相反向量，得养+房（=0,故A正确；

由同=回且。〃方，得a=b或a=一4故B错误；

若。与〃不共线，则，与〃都是非零向量，故C正确；

根据向量共线基本定理可知D错误，因为要排除零向量.

故选AC.

11.（多选）设点〃是厶/台。所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若麺=1懑+1病，则点”是边8c的中点

22

B.若就f=2港一式，则点M在边8C的延长线上

C.若麺=一痂一右而，则点M是厶/台。的重心

D.若施=x亚+灰，且x+y=g,则的面积是△Z3C面积的g

【解析】若嬴=丄筋+1比，则点M是边6C的中点，故A正确；

22

若新=2懑一充，即有新一益=麺一衣，

即前f=场,

则点M在边。8的延长线上，故B错误；

若施=一施一诙，

即就/+施+5/=0,

则点”是厶工台。的重心，故C正确；

如图，AM=xAB+yAC,

且x+y--,

2

可得2施=2x懿+2,沅,

设京=2A

则M为力N的中点，

则△儿/8C的面积是厶力台。面积的丄，故D正确.

2

故选ACD.

12.点P是△Z8C所在平面内一点，且满足质一无|一呼十无一2两=0,则△N8C不可能

是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【解析】因为点尸是6c所在平面内一点，且|闻一巧|一|两+无一2成|=0,

所以|旗|一|（岡一百）+（同一①（）|=0,

^?\CB\=\AB+AC\,

所以|海一花=|充+懑

等式两边平方并化简得充•施=0,

所以太丄為，ZBAC=90°,则厶/台。一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可

能是钝角三角形和等边三角形.

故选AD.

【填空题】

13.^\AB\=\AC\=\AB-AC\=2,则|成+並尸.

【解析】因为|懑|=|就|=|懑一並|=|勘|=2,

所以厶/台。是边长为2的正三角形，

所以|成+乃为△Z8C的边8c上的高的2倍，

所以懑+诵=2/.

已知，为平面内两个不共线的向量，种若三点

14.eie2MN=2e\-3e2,=Mi+6e2,M,N,P

共线，则2=.

【解析】因为M,N,尸三点共线，

所以存在实数k使得疯=丽，

所以2«]—3«2=4(浦1+6«2),

又,C2为平面内两个不共线的向量,

2=打

可得，解得见=-4.

-3=6%,

15.已知朝88的对角线/C和亜相交于点O,且为=a,OB=h,则皮=,BC=

.(用4,〃表示)

【解析】如图，DC=AB=OB-OA=b~a,BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.

16.在直角梯形/BCD中，N4=90。，Z5=30°,AB=20BC=2,点E在线段CZ>上，若

AE=AD+nAB,则〃的取值范围是.

【解析】由已知/。=1,CD=0所以爲=2位.

因为点E在线段CO上，所以读=2反(0W/IW1).

因为存=彳5+方方，

又成=疝+毎=疝+2〃虎=在+"近，

A

所以"=1,即4=2

A2

因为0W2W1,所以

【解答题】

17.在△Z8C中，D,E分别为BC,NC边上的中点，G为BE上一点、,且G8=2GE,设瀝=

a,AC—bi试用a,b表小ZZ),AG.

【解析】汪=；(蒞+而=)+%;

AG^AB+BG=AB+-BE=AB-\-L{BA+BO)=-AB+L(AC-AB)=LAB+LAC=^La+Lh.

33333333

18.已知。，A,8是不共线的三点，且凍=〃?为+〃成(加，〃WR).

(1)若〃?+〃=1,求证：A,P,8三点共线；

(2)若4P,8三点共线，求证：加+“=1.

【解析】证明：(1)若"7+〃=1，

则OP="7O〃+(1—m)OB

=OB+m(OA-OB),

所以初一仍=巩为一份)，

即旃=〃?茄，所以而与成共线.

又因为丽与晶有公共点B,

所以aP,8三点共线.

(2)若/,P,8三点共线，

则存在实数九使崩=2成，所以初一油=2(晶一/).

又称=〃?a+〃5k

故有mOA+(/?—1)OB=XOA—AOB,

即(〃?一»为+(〃+%—1)仍=0.

因为O,A,8三点不共线，所以为，匕宓不共线，

〃7-2.=0,

所以，所以加+〃=1.

〃+%—1=0,

19.已知“，力不共线，OA=a,OB=h,OC=c,OD=d,OE=e,设/SR,如果3a=c,26

=d,e=t(a+b),是否存在实数，使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求出实数，的值，

若不存在，请说明理由.

【解析】由题设知，CD=d—c—2b—3a,

CE=e—c~(t—3)a+力,

C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数