吉林省榆树市第一高级中学高三上学期（老教材）期末备考卷（B）数学（文）试卷

20202021学年上学期高三期末备考卷文科数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，故．2．若复数满足(为虚数单位），则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以．3．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以．4．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】B【解析】A不正确，因为有可能；B正确；C不正确，因为有可能；D有可能．6．设，满足约束条件，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，易得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该“阳马”最长的棱长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面，∴，，，∴，，，该几何体最长棱的棱长为．8．在中，为重心，记，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵为的重心，∴，∴．9．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，则，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立．10．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是定义域为的奇函数，可得，，即有，即，进而得到，为周期为的函数，若，可得，，，则，可得．11．定义行列式运算，已知函数，满足：，，且的最小值为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，因为的最小值为，所以，则由，得．12．函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，∴在定义域上单调递增，不等式，即，∵，∴．即，∴．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点，，若，则_______．【答案】【解析】因为，所以，解得，故，．14．已知曲线，则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______．【答案】【解析】对求导，，，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，切线与坐标轴的交点为和，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为．15．两直线与平行，则它们之间的距离为_______．【答案】【解析】根据两直线平行得到斜率相等，解得，则直线为，取上一点求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以．16．在四面体中，平面，，，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则_______．【答案】【解析】设的中点为．∵点是的重心，∴．设的外心为，由题意得点在上，令，则有，即，解得．又平面，∴四面体的外接球的半径，由题意得，解得，∴．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知是数列的前项和，，．（1）证明：当时，；（2）若等比数列的前两项分别为，，求的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：当时，∵，∴．（2）解：由（1）知，，∴的公比，且，∴．18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎．（i）若从甲厂提供的个轮胎中随机选取个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率；（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【答案】（1），；（2）（i）；（ii）乙厂的轮胎相对更好，详见解析．【解析】（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为；乙厂这批轮胎宽度的平均值为．（2）甲厂这批轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，（i）．（ii）甲厂标准轮胎的平均数为，方差为．乙厂这批轮胎宽度都在内的数据为，，，，，，平均数为，方差为．由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好．19．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）设为的中点，连接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，且，平面，又平面，∴．（2）连接，在中，∵，，为的中点，∴为正三角形，且，，∵在中，，为的中点，∴，且，∵在中，，∴为直角三角形，且，∴，又，且，∴平面，∴．20．（12分）已知圆关于直线对称的圆为．（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于，两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，直线和．【解析】（1）圆化为标准为，设圆的圆心关于直线的对称点为，则，且的中点在直线上，所以有，解得，所以圆的方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆，交于两点，．因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，设，，由，得．由于点在圆内部，所以恒成立，，，要使，必须使，即，也就是，整理得，解得，所以直线的方程为，存在直线和，使得．21．（12分）设函数．（1）求在处的切线；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，∴在处的切线方程．（2），．∵且仅有，，∴在单调递增，∴．（i）时，，在单调递增，满足题意；（ii）时，，，而连续且递增，所以存在唯一使，，，在上单调递减，取，则，不合题意；（iii）时，，，而连续且递增，，，在上单调递减，取，则，不合题意，综上所述，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的直角坐标方程为．以平面直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立直角坐标系，射线的极坐标方程为．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）设点，分别为射线与曲线，上除原点之外的交点，求的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由曲线的参数方程（为参数），消去参数，得，即，∴曲线的极坐标方程为．由曲线的直角坐标方程，，∴曲线的极坐标方程．（2）联立，得，∴；联立，得，∴，∴．∵，∴当时，有最大值．23．