湖南省长沙市平高教育集团六校2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题

2023～2024年度平高教育集团湖南六校秋季学期期末质量检测高一数学试卷本试题卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则的值为（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论，即得解.【详解】若，则，不合题意，舍去；若，则，易知当时满足题意.故选B【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.详解：若是第一象限角，则：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本题选择C选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可.【详解】函数定义域需满足，解得且，即，故选：C4.函数的零点所在区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据根的存在性定理结合单调性讨论函数零点所在区间.【详解】由题：在其定义域内单调递增，，，所以函数在一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间.故选：C【点睛】此题考查根据根的存在性定理确定函数零点所在区间，关键在于准确得出区间端点函数值的正负，结合单调性说明函数零点唯一.5.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数和指数函数的性质可得.详解】，且，，，故，故选：A.6.德国数学家狄里克雷（JohannPeterGustayDejeuneDirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可知.检验或化简各项，即可得到答案.【详解】根据函数定义，知若，则.，是个有理数.而其它选项都是无理数.故选：C．7.若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数（且）在R上为减函数知道.即在上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.【详解】因为函数（且）在R上为减函数.所以.因为函数，定义域为，故排除A、B.当时，函数在上单调递减.当时,函数在单调递增.故选:D.【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数（且）在R上为减函数，判断出，即.在上单调递减.8.若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，当时，函数至多两个零点，因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，当时，令，可得，必有，解得，所以，，解得；当时，由，可得或，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围为.故选：C.二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9.已知角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.10.已知函数的图象经过点，则（）A.的图象经过点B.为奇函数C.在定义域上单调递减D.在内的值域为【答案】ABD【解析】【分析】将代入求出函数解析式，根据幂函数性质判断选项即可.【详解】函数的图象经过点，得，得，所以，对于A.代入，即成立，故A正确；对于B.的定义域为，满足，是奇函数，故B正确对于C.在定义域内不单调，在上单调递减.故C错.对于D.当时，，即在内的值域为.故D正确.故选：ABD11.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“”的否定是“”C.的充要条件是D.若，则至少有一个大于1【答案】BD【解析】【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；故选：BD.12.设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A.4与3 B.5与3 C.6与4 D.8与4【答案】BCD【解析】【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.【详解】令，，∴，∴为奇函数，设的最大值为t，最小值为，∴，，可得，∵，∴2b为偶数，故选：BCD三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分．13.计算：______.【答案】##【解析】【分析】根据指数幂的乘方运算性质即可求解.【详解】.故答案为：14.扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是，则此扇形的面积为________．【答案】.【解析】【分析】根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，因为扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长是，可得，解得，所以扇形的面积为.故答案为：.15.若，则的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案：3．16.已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用复合函数的单调性列不等式，解出的取值范围即可.【详解】要使函数是的递减函数，只需，当时，不成立；当时，可化为，解得：，即实数的范围是.故答案为：.【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为：内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)；内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).四、解答题，本题共6小题，17题10分，其它各题12分，共70分．17.已知全集，集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用并集的概念计算即可；（2）利用交集和补集的概念计算即可.【小问1详解】易知；【小问2详解】易知.18.已知二次函数的图象过点.（1）求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；（2）求不等式的解集．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，求解即可；（2）原不等式可转化为，根据一元二次不等式的解法求解即可.【小问1详解】因为函数的图象过点，所以,解得.所以的解析式为.，故的单调递增区间为.【小问2详解】即为,即，解得或.故不等式的解集为.19.已知函数，且．（1）求a．（2）用定义证明函数在上是增函数．（3）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）最大值为和最小值为【解析】【分析】（1）根据，列出方程，即可求解；（2）化简，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；（3）由（2）知，得到在上为单调递增函数，进而求得函数的最值.【小问1详解】解：因为函数，且，可得，解得；小问2详解】解：由（1）知，任取且，则，因为且，可得，则，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.【小问3详解】解：由（2）知，函数在上为单调递增函数，所以，，所以函数在区间上的最大值为和最小值为.20.已知集合（1）若，求实数m的取值范围.（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.②当B不是空集时，∵，，∴综上①②，.（2），使得，∴B为非空集合且.当时，无解或，，∴.21.为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长.（1）写出第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？（参考数据：）.【答案】（1），（2）该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元【解析】【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域；（2）由（1）得，然后利用对数运算求解集.【小问1详解】第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）则，其定义域为【小问2详解】由（1）得所以，即所以，故该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元.22.已知函数的定义域关于原点对称，且．（1）求b，c的值，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）为奇函数