高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.14平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）

第六章平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022秋·湖北·高二期中）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若a⋅bC．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【解题思路】根据零向量的方向是任意的；a⋅b=a⋅c,【解答过程】零向量的方向是任意的，故A错；若a⋅b=a⋅c,长度相等的向量是相等向量或相反向量，故C错；故选：D.2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量AB相等的向量是（

）A．BC B．ED C．AF D．CD【解题思路】由相等向量的定义可知.【解答过程】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与AB方向相同的只有ED；而BC,AF,CD与AB长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B.3．（5分）（2022春·广西南宁·高一阶段练习）2aA．a−2b B．−2b C．0【解题思路】根据向量加减法运算，即可求解.【解答过程】2a故选：B.4．（5分）已知向量a,b满足a⋅b=2，且b=3,−4A．(65,−85) B．(−【解题思路】根据投影向量的概念直接求解即可.【解答过程】解：因为a,b满足a⋅所以b=5，向量a→在向量b→故选：D.5．（5分）已知在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3，点D在线段BC上，且S△ACD=3SA．72 B．52 C．32【解题思路】由S△ACD=3S△ABD，得CD=3BD，然后用【解答过程】如图，因为S△ACD=3S可得AD=则AB⋅故选：B.6．（5分）（2022春·山东聊城·高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知AE=3EF,AB=A．1225a+925b B．16【解题思路】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【解答过程】由题意AE=34即2516所以AE=故选：A.7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2A．|F1B．θ的范围为[0,C．当θ=π2时，D．当θ=2π【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答过程】解：如图，对于选项A：当F1、F2方向同向时，有F1+F2=G，此时对于选项B：当θ=π时，有F1+F2=对于选项C：当行李包处于平衡时，F1+F则有(FF12+F2对于D选项：若θ=2π3，则有则有(F1+故选：B．8．（5分）（2022春·安徽合肥·高二期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sin2A+sin2B−sinAA．1 B．2 C．2 D．3【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cosC=【解答过程】∵sin2∴a2+b2−ab=∵a2+b2−ab=∴ab=4，所以三角形的面积为S=1故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B．若向量AB//CDC．在四边形ABCD中，若向量AB//D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算【解题思路】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正确；对于B中，向量AB//CD，则AB//CD或AB与对于C中，在四边形ABCD中，若向量AB//对于D中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D正确.故选：AD.10．（5分）如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（

）A．AB−CD=C．AD⋅AB=1【解题思路】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积的几何表示即可判断.【解答过程】由正六边形性质可知，正六边形ABCDEF对边平行且相等，对角线交于O将正六边形分成六个全等正三角形.对A，AB−对B，AD+对C，AD⋅对D，AB⋅BC=AB⋅故选：BC.11．（5分）（2022·全国·高一假期作业）已知a=1,2,A．若a∥b，则t=8 B．若aC．a−b的最小值为5 D．若向量a与向量b【解题思路】由向量平行和垂直的坐标表示可得AB正误；利用向量模长运算可知a−b2【解答过程】对于A，若a//b，则1×t−2×4=0，解得：对于B，若a⊥b，则4+2t=0，解得：对于C，因为a−b=(−3,2−t)，所以a−b2=对于D，若向量a与向量b的夹角为钝角，则a⋅b=4+2t<0故选：AD.12．（5分）（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，sinA=45，cosA．cosA=±35C．b=522 D．【解题思路】由题设得sinC=7210，应用正弦定理及边角关系确定A不为钝角，进而确定cosA，应用余弦定理求b【解答过程】由题设sinC=1−cos2C=7所以A不为钝角，否则A、C都为钝角，则cosA=又a2+b整理得10b2−8cosB=a2+c综上，△ABC的面积S=1故A、D错误，B、C正确.故选：BC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有：③⑤⑥⑧⑩．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【解题思路】根据向量的概念判断即可.【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.故答案为：③⑤⑥⑧⑩.14．（5分）（2023·高一课时练习）计算：132a−【解题思路】根据向量的数乘运算法则即可得出结果.【解答过程】易知13故答案为：−715．（5分）在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若AB=mAD+nEC，则m−n=【解题思路】根据平面向量线性运算直接求解即可.【解答过程】∵四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，∴E为AC中点，∴AB=AC+CB∴m−n=−1−2=−3.故答案为：−3.16．（5分）（2023·广西南宁·南宁一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosC+ccosA=2bcosB,a=2c,b=33【解题思路】根据题意和正弦定理、三角恒等变换可得B=60°，结合余弦定理和三角形面积公式可得S△ABC=9【解答过程】由acos得sinA即sin(A+C)=易知sinB>0，则cosB=1得b2=27=a所以S△ABC设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC=1所以△ABC的内切圆的面积为S=π3故答案为：(18−93四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(−2,0)，又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，又CB=2003，所以DB=2002，即D、C两点在坐标系中的坐标为即可作出AB、BC、CD如下图所示.（2）如图，作出向量DA，由题意可知，CD//AB且所以四边形ABCD是平行四边形，则DA=所以DA的模为200318．（10分）（2022·全国·高一专题练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a，OB=b，(1)与a相等的向量有哪些？(2)b的相反向量有哪些？(3)与c的模相等的向量有哪些？【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.【解答过程】(1)由相等向量定义知：与a相等的向量有DO,(2)由相反向量定义知：b的相反向量有OE,(3)由向量模长定义知：与c的模相等的向量有CO,OF,19．（12分）（2022春·广东江门·高一期中）已知平面向量a，b，a=2，b=3，且a与b的夹角为(1)求a(2)若a−b与a+k【解题思路】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.【解答过程】（1）由题意可得a==4+2×2×3×1所以a+（2）因为向量a−b与所以a−解得k=120．（12分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）已知平面向量a，b满足2a+b=2m+5,4(1)若a∥b，求实数(2)若a⊥b，若a+【解题思路】（1）根据向量的坐标运算可得a=m+1,3，（2）根据向量垂直的坐标表示可得m=1，然后利用向量夹角的坐标公式即得.【解答过程】（1）因为2a+b所以5a即a=所以b=2又a∥所以−2m+1解得m=−11（2）因为a⊥所以a⋅解得m=1，所以a=所以a+b=所以a+b=所以cosa21．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）如图，在△OAB中，|OA|=4,|OB|=2,P为(1)设OP=xOA+yOB，求实数(2)若〈OA,OB(3)设点Q满足OQ=34【解题思路】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底OA，OB表示出向量【解答过程】（1）因为BP=2PA，所以所以OP=23（2）OP=−32（3）因为OQ=34因