2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章 正弦定理、余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2理解三角形的面积公式并能应用3能利用

正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△Z8C中，若角4B,C所对的边分别是a,h,c,尺为△/8C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

々2=62+/-26ccos/；

内容卜2=+/_2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=42+62-2abcosC

(l)〃=2Rsin4,

b=2HsinB,

.h2+c2—a2

c=2RsinC；cosA=--------------:

2bc

(2)sin^=—,c2+a2~b2

变形2RcosB=--------------；

2ac

h.C

sinB——，sinC——；c4+加一c2

2R2RcosC=--------------

lab

(3)a\b\c

=sin4:sin8：sinC

2.三角形解的判断

Z为锐角A为钝角或直角

zlcc

cX

图形

A卧一B，工一》

ABAB

关系式a=6sinZhsinA<a<ha^ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

⑴5=飙（队表示边a上的高）;

⑵S=$bsinC=^acsin5=：bcsinA；

(3)S=$(a+6+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△N8C中，常有以下结论：

(l)ZJ+ZS+ZC=7t.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)”>b0/>80sinJ>sinB,cos4<cosB.

(4)sin(/+8)=sinC；cos(Z+5)=-cosC；tan(N+8)=-tanC；sincosy；cos^^^—

.C

sin—.

2

(5)三角形中的射影定理

在△/BC中，a—bcosC+ccosB-,b=acosC+ccos/；c—bcosJ+(zcosB.

⑹三角形中的面积S=yJp(p—d)(p5(“*"4

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在△/BC中，若sin/>sin8,则/>A(V)

(3)在△NBC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当62+/—42>0时，△/BC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

1.在△NBC中，4B=5,/C=3,8c=7,则/氏4c等于()

A.-B.-C.—D.—

6336

答案C

解析在△/8C中，

设N8=c=5,AC=b=3,BC=a=l,

iAe?ImZB/9+25—491

由余弦定理得cosZBAC=---------=---------=一一,

2bc302

因为ABAC为4ABC的内角，

所以NBZC=

3

2.记△NBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若△Z8C的面积为4,a=2,3=30。,

则c等于()

A.8B.4

「834A/3

C.----ND.------

33

答案A

解析由&/f8C=|acsin2cX1=4,得c=8.

222

3.在△45C中，角4,B,。的对边分别为〃，b,c,已知B=30。，b=Rc=2,则。=.

答案45。或135°

解析由正弦定理得sinc=曳®£=2sin/0°=啦,

by/22

因为c>6,8=30°,

所以C=45°或C=135°.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2022・新高考全国1)记△4BC的内角N,8,C的对边分别为a,b,c,已知

1+sinA

—sin28

-1+cosIB

⑴若C.，求8；［切入点：二倍角公式化简］

(2)求匕7的最小值.［关键点：找到角8与角C,4的关系］

c2

思路分析

(1)二倍角公式化简一去分

母、两角和与差公式化简一

求出sinB.

(2)由角3,C正余弦关系一

角8与角C,A的关系一空卢

化成正弦一用角8表示角A,

C化简--角8的关系式一基

本不等式.

答题模板规范答题不丢分

/、e“cosAsin2B2sinBcosBsin6①「d一3人八八

解(1)因为—==―口分n<①处二倍角公式化简

l+sinA1+cos2B2ocos2*BPcosB

即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=；•丁3分卜②处两角和与差公式化简

而OvBv手■.所以3=旨.［4分］

(2)由(1)知，sin8二一cosC>0,

所以号vCvf,OvBv手，

而sinB=-cosC=sin(c-*)尸［6分］«③处找角B,C的正弦关系

所以C=*+B,即有4=专-2及@［7分卜------------------------④处用角B表示角C,A

所以空生=皿"券包"［8分］-⑤处正弦定理化边为角正弦

c"sin-C

cos22B+l-cos2i?"

cos2B⑥处将角C,A代入化角

(2cos28-l)2+i-cos28

cos2B

2

=4cos28+as2-5—472-5.'町10分上一⑦处基本不等式求最值

当且仅当COSZB=J|■时取等号，

所以上f的最小值为4后-5」12分］

C

思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两

个定理都有可能用到.

跟踪训练1(2022,全国乙卷)记△力BC的内角aB,C的对边分别为c,已知sinCsin(力

—8)=sin8sin(C—4).

(1)证明：2a2=人2+《2；

75

(2)若a=5,cosA=—f求△Z8C的周长.

(1)证明方法一

由sinCsin(y4—5)=sin5sin(C—J),

可得sinCsin/cos8—sinCeos力sinB

=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

结合正弦定理q=—L=—J,

sinAsinBsinC

可得accosB—bccosA=hccosA—abcosC,

艮PaccosB+ahcosC=2bccos4(*).

由余弦定理可得

a2+c2-b2

accosB=

2

a2+b2~c2

abcosC=

2

222

2/?ccosA=b+c—af

将上述三式代入(*)式整理，

得2。2=62+。2.

方法二因为4+6+。=兀，

所以sinCsin(/4~B)=sin(J+S)sin(y4—B)

=sin2Jcos2^—cos2Jsin2i5

=sin2yi(l—sin2S)—(1-sin2y4)sin2B

=sin2J—sin2^,

同理有sinj?sin(C—J)=sin(C+J)sin(C—^4)=sin2C—sin2J.

又sinCsin(力-8)=sin8sin(C—Z),

所以sin2^—sin25=sin2C—sin2J,

即Zsir^ZusirP^+siMC,

故由正弦定理可得2层=62+4.

2

(2)解由⑴及层=按+^—26ccos4得,a=2bccosA9所以2A=31.

因为b2+c2=2a2=50,

所以(6+。)2=〃+/+2命=81,

得6+c=9,

所以△ZBC的周长l=a+h+c=\4.

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形的形状判断

例2(1)在△48C中，角4,B,。所对的边分别是a,b,c,若c—acos8=(2a—b)cos力,

则△45C的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因为c—acosB=(2a-b)cosA,

C=n-(A+B),

所以由正弦定理得sinC—sinJcosB

=2sinAcos/—sinBcosA,

所以sin/cos5+cosJsin8—sinAcosB

=2sin4cos4-sinBoosA,

所以cos力(sin8—sin/)=0,

所以cos4=0或sinB=sinA,

所以4=1或B=A或8=兀一4(舍去)，

所以△力5C为等腰三角形或直角三角形.

(2)在△NBC中，a,b,c分别为角4B,C的对边，^^sin—,则A/BC的形状为()

2c2

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos8=1—2sin?£,

2

力日.1-cosB七］“c-a1-cosB

sin2-=-----------，所以----=--------,

222c2

即cosB=-.

c

方法一由余弦定理得"3=2,

2acc

即a2+c2-b2=2a2,

所以次+按=02.

所以△ZBC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=血，

sinC

又sin4=sin(3+C)=sinSeosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sin8cosC+cosBsinC,

即sinSeosC=0,又sinBWO,

所以cosC=0,又角。为△Z8C的内角，

所以C=Z所以△/BC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

2

延伸探究将本例⑵中的条件“£N=sin#"改为“皿1=@,(b+c+a)(b+c-a)=3bcn,

2c2sinBc

试判断△/8C的形状.

解因为瓯^二巨，所以由正弦定理得/=2,所以b=c.

sinBcbc

又(b+c+〃)S+c—a)=3bc,

222=

所以b-hc—abc9

所以由余弦定理得cos4=〃+f

2bc2bc2

因为4W(0,7t),所以/ug,

所以△NBC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用4

+8+。=兀这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•浙江)在△/BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知4<7=3C,COSC=1.

(1)求sinJ的值：

(2)若6=11,求△/8C的面积.

解(1)由正弦定理q=-J,

sinAsmC

得sin/©*

c

因为cosC=(,所以sinC=；,

av5匕匕皿."v5sinC

又一=+，所以$1114=工^—=—.

c445

⑵由⑴知sin4=二，

因为4=返々，所以0<4<三，

42

所以cos力=复更，

5

所以sin8=sin(Z+C)=sin/cosC+sinCeos

因为h啖=’r7,即标11=1c，

sinBsinC11-1

255

所以c=4卡,

所以Sz^c=4csin/=lxilX43x近=22.

225

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=ga6sinC=$csinB=^>csmA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

例4(2023•厦门模拟)如图，已知△48C的内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,Z)(1+cos

C)=3csinN/8C且△ZBC的外接圆面积为等.

⑴求边c的长；

(2)若a=5,延长C8至M,使得cos求8例.

解(1)设△ZBC的外接圆半径为凡由题意成2=等，解得R=平.

由题意及正弦定理可得sinN48c(1+cosQ

=3sinCsinZABC,

因为sinNZBCWO,所以1+cosC=[5sinC,

fc—

即2sin16j=l,

%I

因为0<CV7T,所以c—K6l6’6J,故C一四=四，即C=工.

6663

故c=2RsinC=2X撞X迫=7.

32

iri25H-力2—49

(2)因为a=5,c=7,C=一，故cos。=一=----------,得加一5/?-24=0,

322X5X8

解得6=8(6=—3舍去).

,2-1-72—R21

在△4SC中，由余弦定理可得cosN48C=------------=二

2X5X77

所以sinN/8C=生鱼.

7

由35/4n。=电得sinZAMC=-

77

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMQ

=sinZABCcosZAMC—cosZABCsinZAMC=^~^-f

49

在△ZBM中，由正弦定理可得———=———,则8M=（后X坦也=5.

sinZBAMsinZAMB27749

7

思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问

题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具

体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出

来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2（1）（多选）（2023•合肥模拟）已知△45C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

下列四个命题中正确的是（）

A.若acos4=bcosB,则△/BC一定是等腰三角形

B.若bcosC+ccos8=6,则△/8C是等腰三角形

C.若一2一=—2—=一^,则△48C一定是等边三角形

cosAcosBcosC

D.若8=60。，b2=ac,则△N8C是直角三角形

答案BC

解析对于A,若acosN=6cos8,则由正弦定理得sin/cosZ=sin8cos8,

Asinsin25,则2/=28或2/+28=180。，即Z=8或4+5=90。,则△ZBC为等腰三

角形或直角三角形，故A错误；

对于B,若bcosC+ccosB—b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeos8=sin（8+C）=sin4=

sin8,即4=8,则△/8C是等腰三角形，故B正确；

对于C,若」^=j-=’一,则由正弦定理得迎々=迦岂=迎£则tan4=tanB=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

即/=B=C,即△48C是等边三角形，故C正确；

对于D,由于5=60。，h2=ac,由余弦定理可得〃=〃（?=*+C2—可得（〃一°）2=（）,解得

a=c,可得力=C=8,故△ZBC是等边三角形，故D错误.

（2）在①〃+Sac=a2+c2；②cos8=bcos/；③sin8+cos8=/这三个条件中任选一个填在

下面的横线中，并解决该问题.

己知△NBC的内角Z,B,C的对边分别为°,b,c,________,Z=工，b=\!i,求△/8C的

3

面积.

解若选①，则由62+Sac=°2+c2,

得/ac=/+c2—b2.

由余弦定理得cos8=/+*—方=盘=也.

2aclac2

因为B£（0,兀），

所以B=N

4

由正弦定理得，一=一匕，

sinAsinB

即一、=t，解得a=3.

sin-sin-

34

因为C=7t—A—B=n—---=—

34129

所以sinC=sin—=sinl仔6+研4J

12

7171.71.n#+S

=sin-cos--rcos-sin-=------，

64644

所以SM8c=kbsin

2244

若选②，因为cosB=bcosZ,A=~,b=也,

3

所以cosB=bcosA=y[2cos-=^.

32

因为8W（0,兀），

所以8=2

4

由正弦定理得£=工，

sinAsmB

即t=£,解得a=3.

兀.兀

sin-sm-

34

f-rl_/c_7C7C_5兀

因为C=n—A—B=Ti-----=—，

3412

所以sinC=sin—

12

.兀兀[71.71#+/

=sin-cos--Heos-sin-=-------,

64644

所以Sasc=』QbsinC=1x3X啦

2244

若选③，则由sin5+cos8=他,

得缶m°+力=电

所以sin仿l+4j=l.

因为86(0,n)，

他5]t\

所以8+3丘|/4J,

所以8+匹=匹，所以8=匹.

424

由正弦定理得，一=一匕，

sinAsinB

即'二=±，解得a=3.

7171

sin-sin-

34

因为C=7t—/—8=兀一支一匹=2，

3412

所以sinC=sin—=sinv54J

12

=sin-cos-+cos-sin匹=出土也，

64644

所以S^ac=-aZ>sinC=1X3X/X

2244

(3)(2022•重庆八中模拟)已知△/8C的内角B,C所对的边分别为a,b,c,在①c(sin/-

sinO=(a-6)(sinZ+sin8)；②26cos4+a=2c；③V^acsin8=〃2+°2一〃三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解答.

①若,求角8的大小；

②求sinJ+sinC的取值范围；

③如图所示，当sinZ+sinC取得最大值时，若在△/BC所在平面内取一点与8在4c

两侧)，使得线段QC=2,D4=l,求△8CZ)面积的最大值.

解①若选①，

因为c(sin4—sinC)=(a—6)(sin4+sinB),

由正弦定理得c(a—c)—(a-b){a+b),

222

整理得a-{-c—b=ac9

次+/一心1

所以cosB=

2ac2’

又0<8<兀，所以8=；.

若选②，

因为2bcosA+a=2c9

由余弦定理得为守

化简得,a2+c2—b2=ac,

ac_\

所以cosB=

2ac~2

又0<8<兀，所以3=匹.

3

若选③，

因为^-^tzcsinB=a1-\-c1—br,

3

由余弦定理得“^〃csin5=2^ccosB,

3

化简得tanB=3,

又0<8<兀，所以8=N

3

②由①得，A+C=—

3f

则0<J<—,

3

停-q=为福+%“=嬴

sinA+sinC=sinA+sinl

22TJ,

所以卜小+人,

则sinZ+sinC的取值范围是停I4

③当sin/+sinC取得最大值时，/(+-=-,

62

解得

又3=三，所以△ZBC为等边三角形，

3

令NACD=6,ZADC=a,AB=AC=BC=a,

则由正弦定理可得一@一=一1一，

sinasin0

所以sina=asin0.

又由余弦定理得，a2=22+l2-2X2XlXcosa,

所以a2cos20=a1—a2sin20=cos2ot_4cosot+4,

所以acos8=2—cosa.

1g+4

S^BCD=-XCIX2smUJ

=-tzcos0+-asin0

22

=¥(2-cosa)+；sina

=y[3+smbl"

当且仅当a=//OC=宜时等号成立，

6

所以△BCD面积的最大值为3+1.

课时精练

过基础保分练

1.在△N8C中，C=60。，a+2b=8,sin/=6sin£则c等于()

A诉B诉C.6D.5

答案B

解析因为sin4=6sinB,

则由正弦定理得a—6b,

又〃+2b=8,所以〃=6,h=\,

因为C=60°,

所以由余弦定理c1=a2-\-b2—2abcosC,

即C2=62+12-2X6X1X-,

2

解得c=3L

2.在△48C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若(a+6)(sin4—sin8)=(b+c)sinC,

a=7,则△N8C外接圆的直径为（）

A.14B.7C.—

33

答案D

解析已知(Q+b)(sinA—sinB)=(b+c)sinC,

222

由正弦定理可得(a+b)(〃-6)=S+c)c,化简得b+c—a=—hc9

62+/—q2_—be1

所以cosA

2bc2bc2

又因为4W（0,n）,所以/=与,

所以sin/=sin型=*,设△/BC外接圆的半径为我,

32

由正弦定理可得法=高=套学，

2

所以△48C外接圆的直径为皿.

3

3.（2022•北京模拟）在△Z8C中，a,b,c,分别是角4B,C的对边，若韵“sin8=6cos4

且b=2芯,c=2,则a的值为（）

A.2sB.2

C.2电一2D.1

答案B

解析由已知及正弦定理得,3sin/sin5=sinBcosA且sinBW0,可得tanA——,又0<A<n,

3

所以力=四，又b=2®c=2,

6

所以由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA=16-12=4,解得a=2.

4.（2023•枣庄模拟）在△48。中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,4=60。，b=\,

，则--------等于(

S”BC=3a+b+c)

sin力+sin5+sinC

A道B述C演D.23

333

答案A

解析由三角形的面积公式可得5Aj5c=-6csinA=-c=\l3,解得c=4,

24

由余弦定理可得Q=也2+。2—26ccos/=,

ab

设△48C的外接圆半径为「，由正弦定理得=2尸,

sinAsinBsinC

七a+b+c2r(sin/+sin8+sinC)-a2\(39

所以-----------------=-------：-------------=2r=--;==-T--

sin^+sin5+sinCsin^+sinB+sinCsinJ也3

2

5.(2023•马鞍山模拟)已知△ZBC的内角/,B,C的对边分别为mb,c,设(sin8+sinC)2

=sin2J+(2—^/2)sin5sinC,/sin力一2sinB=0,则sin。等于()

A.-B也

22

c#—/c#+啦

C.--------------D.--------------

44

答案c

解析在△/8C中，由(sin8+sinQ2=sin2,4+(2—^/2)sinBsinC及正弦定理得(〃+c)2=a2+Q

7)bc,

即62+^—/=一/她由余弦定理得cos/=£±£3=—也，而0。</<180。,解得Z=135。，

2bc2

由也sin/-2sin8=0得sin8=^sin/=1，显然0°<8<90°,则8=30°,C=15°,

22

所以sinC=sin(60°—45°)=sin60°cos450-cos60°sin45°=^^.

4

6.(2023•衡阳模拟)在△Z8C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cos8(acosC

+ccos/)=Z),lgsinC=，g3-lg2,则△48C的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析V2cosB(acosC+ccosA)=b,

.••根据正弦定理得，

2cos8(sin/cosC+cos/sinC)=sinB,

2cos3sin(Z+Q=sinB,

/.2cosBsin(兀-6)=sinB,

Ep2cos5sin5=sinB,

V5e(0,7t),Asin^^O,

,•,lgsinC=^lg3—lg2,

1gsinC=lg

vce（0,兀），...C=；或,,

B=Z：.C^~,C--

333’

：.A=B=C=~,即△N8C为等边三角形.

3

AC

7.(2022•全国甲卷)已知△48C中，点。在边8c上，ZADB^120°,4D=2,CD=2BD.当"

AB

取得最小值时，BD=

答案St

解析设3。=%（后>0）,则C£>=2左.

根据题意作出大致图形，如图.

在中，由余弦定理得/82=心+92-2/。.85：0$4。8=22+后-2*21一力=必

+2攵+4.

在△ZCD中，由余弦定理得-24>CZ)cosNNOC=22+(2A:)2-2X2X2hj=

4女2—4%+4,

贝1|力。=4区一4左+4

入次一3+2左+4

4(R+2/+4)——12k——12

F+2Z+4

12(左+1)=412(4+1)

k2+2k+4(/+iy+3

12

=A3--

左+1+4一

k+\

：上+1+工》2s（当且仅当左+1=工,

%+1攵+1

即k=3-1时等号成立），

.嚼》4一合=4-24=M-1）2,

AB22勺3

.•.当WC取得最小值毡一1时，BD=k=S-l.

AB

8.（2023•宜春模拟）△力8C的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,已知加inC+csin8=4asin

SsinC,方2+/—°2=8,则△/BC的面积为.

答案¥

3

解析VftsinC+csin8=4〃sin6sinC,sinAsinC>0,

结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsin8=4sinJsin8sinC,

=12

sinA^-9Vb^-Vc—tz—8,

2

结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

可得2bccos4=8,

.•.4为锐角，且cos/="l从而求得历=逮，

23

/\ABC的面积为S=1bcsin小区X1=R^.

22323

9.已知的内角力,B,C的对边分别为〃,9c,_a6cosC=(2a-c)cosB.

⑴求以

(2)若b=3,sinC=2sinJ,求△48。的面积.

解(1)由正弦定理，得sin8cosC=2sinAcos5—cos5sinC,

BPsinBcosC+cos8sinC=2sin4cosB,

/.sin(S+Q=2sinAcosB,

smJ=2sin/cosB,

又：sin4WO,/.cosB=L

2

・・・8为三角形内角，・・・8=匹.

3

(2)VsinC=2sinJ,/.由正弦定理得c=2〃，

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2z=9,即3a2=9,

；・a=3,c=2y/3f

的面积为5=-acsinB=-X^/3X2^X^=^.

2222

10.(2023・湖州模拟)在△48C中，a,b,c分别为角4B,C的对边，已知Sbsin(j+"

asinB.

(1)求角4的大小；

(2)若6,a,c成等比数列，判断△48C的形状.

解(l)；3hsin(2+')=asinB,由诱导公式得3bcos4=asinB,

由正弦定理得Ssin8cos4=sin力sinB,

Vsin.\\l3cosA=smA9即tan4=3,

・・・4W(0,7t),，Z=；・

(2)・”,a,。成等比数列，，/=bc,

由余弦定理得COS/="+c~—

2bc

_b1~\-c1—bc_1

2bc2’

即/>2+c2—bc—bcy

(b—c)2—0,:・b=c,

又由(1)知力=：，

...△/8C为等边三角形.

立综合提升练

11.(多选)对于△Z2C,有如下判断，其中正确的是()

A.若cos/=cos8,则△Z8C为等腰三角形

B.若A>B,则sinZ>sinB

C.若。=8,c=10,8=60。，则符合条件的△N8C有两个

D.若sin2/+sin25〈sin2C,则△NBC是钝角三角形

答案ABD

解析对于A,若cosZ=cos8,则4=8,所以△48C为等腰三角形，故A正确；

对于B,若/>8,则由正弦定理>一=——=27?,得2/?sin/>2RsinB,即sinN>sin8

sinAsinB

成立，故B正确；

对于C,由余弦定理可得b=、，82+102-2X8X10X：=^,只有一解，故C错误；

〃2—I——(.2

对于D,若sin2yi+sin25<sin2C,则根据正弦定理得标+b2<c2,cosC=--------------<0,所以C

2ab

为钝角，所以△48C是钝角三角形，故D正确.

12.在△A8C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,sin/sin8sinC=L△4BC的面

8

积为2,则下列选项错误的是()

A.abe=16\!2

B.若a=亚,则4=工

3

C.△48。外接圆的半径R=2/

—

D.GinAsin&|2^32sinC

答案B

解析由题可得LzbsinC=2,则sinC=—,

2ab

代入sinJsin8sinC=~,

8

殍4sin/sin1

ab8,

即解=8,即R=2/，C正确；

a6c=8R3sin/sinSsinC=128/x1=16^2,A正确；

8

，则sin%=2=V^=l,此时ZWEB错误；

2R4V243

因为sinJ>0,sinB>0,

所以(sin/4+sin8)2》4sinJsinB,

所以(sin4+sin5)2二4

(sin4sin8尸sin4sinB

由sinJsin8sinC=~,得-------=32sinC,

8sinJsinB

所以(sin力+sin?"Zsinc,即LinAsinfi}2>32sinC,D正确.

(sin力sinB)2

13.(2023•嘉兴模拟)△48C的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知csin/=3acosC,

c=20ab=8,则a+b的值是.

答案6

解析Tcsin/=S〃cosC,根据正弦定理得sinCsin4=3sin/cosC,

Tsin/WO,故tanC=3,VCe(0,兀)，，C=5

再由余弦定理得cosc=i—，=(a+b)2—2叱02=1,

2ablab2

代入C=2*\/5,ab=8,得Q+6=6.

14.在△/8C中，已知43=4,AC=7,8c边的中线那么8C=

2

答案9

解析在△N8O中，结合余弦定理得COSNADB=B9+ADJ4B2

2BDAD

在CO中，结合余弦定理得cosZADC=CD'+AD"~AC"

2CDAD

由题意知8Z)=CD,ZADB+ZADC^n,

所以cosZADB+cosZADC=0,

—AB1.CD2~3\~AD2—AC2

所以---------------1-----------------------=0,

2BDAD2CDAD

CZ）2+92-42CD2+^2-72O

即；+Z=0,解得C£>=一,

2X-CD2X-CO