江苏决胜新高考2024届高三12月大联考数学试卷含答案

江苏决胜新高考2024届高三12月大联考数学试卷

2024届高三年级大联考

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有

项符合题目要求.

1.已知言•=♦,则l=

A.1+iB.1-iC.3-iD.3+i

2.已知集合/={xeN||x-2|<3},则集合/的真子集个数为

A.15B.16C.31D.32

AB

3.若空间中四点4B,C,。满足4刀+k=4丽，则==

BC

A.1B.3C.TD.4

344

4.设函数/。)=炮12_办+1)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值集合为

A.[2,+8)B.(2,+8)C.{2}D.(—8,—2]

5.记数列{g}的前〃项和为则”{%}为等差数列“是"S"=〃色詈"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等.

它们之间可用公式M=m+5-51g与转换，其中M为绝对星等，加为目视星等，d为

到地球的距离(单位：光年).现在地球某处测得1号星的绝对星等为,目视星等为叫：

2号星绝对星等为此，目视星等为色.则1号星与2号星到地球的距离之比为

W|+n)2—(+M2)-A/)—(m2-Afj)

A.105B.10

-A/2)

c.1025D.

7.已知实数加，〃满足（加+1）5+1）=2,则加，〃可能是

A.m=tan,〃=tanB.加=tanj,〃=tan等

lo16oo

C.=cos77,n=tanD.m=cos〃=tan萼

lolooo

8.已知圆C:/+y2=4与x轴正半轴的交点为。，从直线/:x+y=4上任一动点尸向圆作

切线，切点分别为工，8,过点（。，1）作直线ZB的垂线，垂足为〃，则。，的最小值为

A.&B,拒TC.1D.恒

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得。分.

9.某校举办庆元旦歌唱比赛，一共9位评委对同一名选手打分.选手完成比赛后，每位评

委当场打分，作为该选手的初始评分.去掉一个最低分与一个最高分，选择剩余7位评

委的评分作为该选手的最终得分.则下列说法正确的是

A.同一个选手的初始评分的中位数等于最终评分的中位数

B.同一个选手的初始评分的下四分位数等于最终评分的下四分位数

C.同一个选手的初始评分的平均数不低于最终评分的平均数

D.同一个选手的初始评分的方差不低于最终评分的方差

10.已知/（x）=sin（（yx+卧。＞0,下列结论正确的是

A.若使|/（占）-/卜2）|=2成立的|西-401„,=兀，贝!J。=2

B.若/（X）的图像向左平移方个单位长度后得到的图像关于y轴对称，则0mm=1

C.若/（X）在［0,2兀］上恰有6个极值点，则。的取值范围为《，号

D.存在。，使得〃尤）在卜■!，£］上单调递减

11.在平面直角坐标系xQy中，动点尸（x,y）到两个定点6（-1,0）,月（1,0）的距离之积等

于1,记点尸的轨迹为曲线E,则

A.曲线E关于原点对称B.曲线E与x轴恰有3个公共点

C.与外的周长最小值为4D.△尸耳外的面积最大值为1

12.在四棱锥尸-/BCD中，P4_L平面底面48。是等腰梯形，AD//BC,

AB=BC=2,PA=4,AD=4,则下列说法正确的是

A.PBLBD

B.棱尸。上存在点E,CE〃平面

C.设平面PBC与平面尸40的交线为/,则/与的距离为2

D.四棱锥尸-/BCD的外接球表面积为32兀

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置

±.

13.已知随机变量且尸(X<2〃)=0.8,则』(0<X<〃)=▲.

10

14.已知数列｛氏｝满足6=5,%+4+1=4〃,贝Xfl2'=▲.

i=\

2222

15.设椭圆G3+2=1双曲线C2：mr-t=i共焦点片，B，离心率分别为e”2,其中

abmn

e2=2ei.设曲线G，C2在第一、三象限的交点分别为点P，Q,若四边形片。尸?尸为矩

形，则e2=▲.

16.已知三次函数/(x)=x3+bx2+cx+d,其导函数为了'(X),存在re(1,4),满足

/(2-z)=/(z)=/'(0=0.记/(X)的极大值为则M的取值范围是▲.

四,解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

711

设正项数列｛叫的前"和为S"，舟==一(一.

(1)证明：数列｛2｝为等差数列；

(2)若％=1,求数列的前〃项和7；.

18.（12分）

已知函数/(x)=e*+xsinx+cosx,x》0.

(1)求曲线V=/(x)在点(0，/(0))处的切线方程;

(2)证明：/(x)在［0,+8)上单调递增.

19.（12分）

在中，内角4,B,C所对边分别为。，b,c,bsin/=0acos孝■.

(1)求方•前的值；

(2)若a=2,c=，点产在△Z8C内部，且P4=PB,PBLPC,求的面

积.

20.(12分)

如图，在正六边形地CAM中，将△痂沿直线BF翻折至使得

二面角H-BF-C的大小为空，。为3尸的中点，H在线段/'C上，。//〃平面

(1)记五棱锥H-8COE/的体积为匕，四面体O-EF4的体积为匕，求#；

(2)求H8与平面/\DE所成角的正弦值.

21.(12分)

某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是

从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.已知第1周选择使用A密码.

(1)求第3周使用A密码的概率；

(2)求第上周使用A密码的概率；

(3)记前力周中使用B密码的次数为丫，求E(Y).

22.(12分)

已知抛物线氏/=4y的焦点为尸，过点4-1,-1)的直线分别与£相切于点8,C,

点。在曲线E上，且在8,C之间，曲线E在。处的切线分别与48,/C相交于“，N.

(1)求面积的最大值；

(2)证明：△4MV的外接圆经过异于点4的定点.

2024届高三年级大联考

数学参考答案与评分细则

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有

项符合题目要求.

1.已知仁三=7,贝1」二=

1+1

A.1+iB.1-iC.3-iD.3+i

【答案】B

【解析】=2-==1-in==1+i,==1-i,选B.

2.已知集合4={xeN||x-2|<3},则集合4的真子集个数为

A.15B.16C.31D.32

【答案】C

【解析】|x-2|<3n-3<x-2<3n-l<x<5,因为xeN,所以x=0,l,2,3,4,所以4

的真子集个数为T-1=31，选C.

AB

3.若空间中四点4B,C,。满足4五i+X=4而，则==

A.1B.3C.1D.4

344

【答案】A

【解析】4DA+AC=4DB^AC=4(DB-DA)^>AC=4AB,则嘤=4，选A.

4.设函数/(X)=lg(x2-ox+1)在区间(0，1)上单调递减.则"的取值集合为

A.[2.+oo)B.(2,+8)C.{2}D.(―8,—2]

【答案】C

【解析】令，=--6+1,对称轴为x=f则彳2,又因为〃x)在(0.1)上有意义，所以

l-a+l，0naW2,故a=2,选C.

5.记数列{q}的前〃项和为$“，则"{4}为等差数列”是“S=心普1”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

［解析】若｛4｝为等差数列，则S,="”吗.若S.="（%；&）,则S-=（-1）（；+%）,

“N2.两式相减，得2。"=q，即4+（“-2以“-（〃-1）4_1=0,

所以4+（"-3）0—=0,〃23,两式相减，得。=%„_1,即

-=%-%,所以数列｛q｝为等差数列，选C.

6.星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等.

它们之间可用公式川=旭+5-5国与转换，其中时为绝对星等，小为目视星等，d为

3.ZO

到地球的距离（单位：光年）.现在地球某处测得1号星的绝对星等为，％,目视星等为小:

2号星绝对星等为屈2，目视星等为则1号星与2号星到地球的距离之比为

T+fTM+/)叫一A，]一(f一/)

A.105B.105

C.1025D.10m2-Mj

【答案】B

【解析】设i号星到地球的距离为4,2号星到地球的距离为4,所以

A/1=吗+5-51g1^,A/2=w2+5-51gj^-,两式相减可得

1Z..d,.&m.-m,-(Mi1-A/,)m,-A/.-(m,-Af,)

Ml-M2=ml-m2-51g-!-,则lg-^=~——.=————',

所以手=105,故选B.

d2

7.已知实数加，〃满足(初+丫〃+1)=2,则m,“可能是

A./n=tan普，力=tan斐B.切=tan[,〃=tan率

161688

C.m=cos♦w=tanD.w=cos^♦n=tan

161688

【答案】A

【解析】由5+lX”+l)=2,得也…类比皿”加黑二L选人.

8.已知圆C:f+V=4与x轴正半轴的交点为。，从直线/：x+y=4上任一动点尸向圆作

切线，切点分别为力，B,过点(0，1)作直线48的垂线，垂足为“，则。”的最小值为

A.五B.近二1C.1D.晅

22

【答案】B

【解析】易得。(2,0),设尸(a,4-a),则直线4B:ax+(4-aW=4n48恒过定点(1,1),

过点(0，1)作直线"的垂线，H在圆上，该圆的圆心为半径为，所以OH

的最小值为吗口，选B.

二、多项选择题：本题共4小修，期小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合■目要求.全部选对得5分，部分选对格2分，有项选错得0分.

9.某校举办庆元旦歌唱比赛，一共9位评委对同一名选手打分.选手完成比赛后，每位评

委当场打分，作为该选手的初始评分.去掉一个最低分与一个最高分，选择剩余7位评

委的评分作为该选手的最终得分.则下列说法正确的是

A.同一个选手的初始评分的中位数等于最终评分的中位数

B.同一个选手的初始评分的下四分位数等于最终评分的下四分位数

C.同一个选手的初始评分的平均数不低于最终评分的平均数

D.同一个选手的初始评分的方差不低于最终评分的方差

【答案】ABD

【解析】设同一选手的初始评分分别为q“2，。3，…，阳，其中qW/W为W-W/Wa”则

该选手的最终评分为，…，4，所以这两组数据的中位数均为％,A正确.初

始评分的下四分位数为可，最终评分的下四分位数为由，B正确.

%+小+的+…+%小+%+…+7(q+09)-2(/+%+…+4)士什

一，----------------7------=------------63-----------'该值

的正负不确定，C错误.去掉最高分与最低分，数据的稳定性增强，D正确.

选ABD.

10.已知/(x)=sin(s+都。＞0,下列结论正确的是

A.若使|/(%)・/(3|=2成立的BfL,=n，则。=2

B.若/(x)的图像向左平移1个单位长度后得到的图像关于,轴对称，则0nll,=1

C.若在［0,2兀］上恰有6个极值点，则。的取值范围为偿，?

D.存在明使得〃x)在卜专用上单调递减

【答案】BC

【解析】对于A,若|/6)-八三)|=2,则|*72匚=手=呆普=%

则。=1,故A错误：

对于B,将/(x)的图像向左平移全个单位长度后得到

j=sin0卜+3+/=sin,ux+呼•+丹，

若所得图象关于y轴对称，则等+/=占+而，得。=1+3«,AeZ,

所以=1，故B正确：

对于C,由xw［O,27t］,得s+卷€层,2兀0+1］,

若/(x)在［0,2K］上恰有6个极值点，

则号■<2ne>+*W号:解得(导导］,故C正确：

对于D,由得如+为,啜+去苧+/，

_O4J61_。646」

因为袅［0，第，所以/(X)在「一为期上不可能单调递减，故D错误.

6L2」Lo4J

选BC.

11.在平面直角坐标系xQr中，动点尸(x，F)到两个定点写(-1,0),5(1，0)的距离之积等

于1,记点尸的轨迹为曲线E,则

A.曲线E关于原点对称B.曲线£与x轴恰有3个公共点

C.△产片外的周长最小值为4D.△尸吊外的面积最大值为I

【答案】AB

【解析】对于A,因为|尸用•|尸工|=1,所以((x+l)2+y2)((x-l)2+/)=i,

用(-x，-y)替换(x,y),方程仍然成立，故A正确.

对于B,设歹=0,得，-1)2=1,解得x=0，土近，故B正确.

对于c,因为|丹讣|尸剧=1,所以1%1+1户用=1产用+曲

讣施=2,当且仅当用=|P周=1时等号成立，此时点?

恰为坐标原点，故的周长最小值大于4,故C错误.

对于D,由题意，得$=了勺尸/”》1。0,故D错误.

选AB.

12.在四棱锥P-H8c。中，尸4_L平面月5CD,底面4BCO是等腰梯形，AD//BC,

AB=BC=2,PA=4,AD=4,则F列说法正确的是

A.PBLBD

B.棱尸。上存在点E,C£〃平面

C.设平面PBC与平面的交线为/,则/与CO的距离为2

D.四棱锥户-48CO的外接球表面积为32n

【答案】ABD

【解析】因为底面48。是等腰梯形，AD//BC,AB=BC=2,4,所以48_L8。，

因为P4_L平面［BCD,所以是P8在平面ZBCO上的射影，所以

故A正确.

取尸。的中点E,月。的中点广，连接CF,EF,则"•〃尸4,得EF〃平面4B,

CF//AB,得CF〃平面218,所以平面CEF〃平面A4B,所以C£〃平面H48,故

B正确.

由4ZV/8C,得力。〃平面尸8C,进而得力。〃/,所以/〃平面486,由P4_L平

面4BCQ,且尸.4=4,得/与CO的距离为4,故C错误.

由E尸〃尸4,PA1ABCD,得£F_L平面48CZ）,因为E4=阳=FC=FL>=2,

所以E4=EB=EC=ED,又因为E是尸。的中点，所以EP=ED,所以E是四棱

锥P-ABCD的外接球球心，因为即=2点，所以外接球表面积为

4xx（20）—32K»故D正确.

选ABD.

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案・接填写在答题卡相应位置

±.

13.已知随机变量且p（x<2〃）=0.8,则［（0<X<〃）=▲.

【答案】0.3

【解析】因为且P(X<2〃)=0.8,所以&XN2〃)=l-0.8=0.2,故

P(XW0)=0.2,ti(,P(0<X<p)=0.5-P(X^O)=0.5-0.2=0.3.

10

14.已知数列｛q｝满足q=5,%+。7=4”，则，,%=▲.

1=1

【答案】4082

【解析】由。3=5，。“+0|=4〃.得%=3,q=l,又4+1+。2=4〃+4,所以

八一&=4，所以％1T=4〃-3，所以所以

10

Z4=2(2+22+--+2'°)-10=4082.

1-1

15.设椭圆q：4+:=1双曲线C”£-二=1共焦点K，入，离心率分别为4,6，其中

crb-m'n~

e2=2e,.设曲线弓，。2在第一、三象限的交点分别为点尸，Q，若四边形片。鸟尸为矩

形，则”▲.

【答案】粤

【解析】设PFt=s,PF2=t,则s=a+m,t=a-m,由^PF2=1,得

(a+/w)2+(a-/w)2=4c2,

所以得±+±=2,又因为e?=2巧，解得%=迫.

662

16.已知三次函数〃x)=f+成+6+4,其导函数为/'(x),存在/e(l,4),满足

/(2-/)=/(/)=/'(0=0.记/(x)的极大值为M，则M的取值范围是▲.

【答案】(0,32)

【解析】因为止(1，+8),所以/>2一,由题意得，是/(x)的零点也是极小值点，所以不

妨设/(x)=&+r-2Xx-/)2,求导后，可得/(x)的极大值M=/(?)=券"-1)，,

因为，41,4),所以A/e(0,32).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.(10分)

21I

设正项数列3)的前〃和为邑，舟==-6.

(1)证明：数列｛".｝为等差数列:

(2)若q=l.求数列1才)的前”项和7；.

【解析】(1)因为2看==1一1十，所以”7*Sz-S“=%,

所以2S.=na”i，...2分

当时去2时，2SI=(〃-1)4,

两式相减,得5+1吊"=叫+1，-^7=—,...4分

当〃=1时，满足号=:，

所以4=¥，即4=〃41....5分

n1

所以--《.=4，

所以｛4｝是等差数列.……6分

(2)因为q=l,所以a”=",

所以2=〃回口=吗色，……8分

“22

斫1?1---•=———=2(-———--)

尸”以S.网〃+1)"〃〃+1八

所以乙=尹»…+==却-土■卜昌.……I。分

18.(12分)

已知函数/(x)=e'+xsinx+cosx,x20.

(1)求曲线P=/(x)在点(0，/(0))处的切线方程：

(2)证明：/⑶在［0,+8)上单调递增.

【解析】(1)因为/'(x)=e*+sinx+xcosx-sinx=e”+/8SX,

所以/'(0)=1，/(0)=2,……3分

所以曲线y=/(x)在点(0，〃。))处的切线方程为y=x+2,

即x-y+2=0.……5分

(2)由(1)知，/'(x)=e”+jrcosx,

因为cosx2-l,x>0,

所以xcosx2-x，

所以/'(x)，e*-x.8分

设Mx)=e、-x,贝I］导函数/»'(x)=e*-l>0.

所以A(x)在(0,+8)上单调递增，……io分

所以皿x)>M0)=l,

所以/'(x)ZMx)>0,

所以/(x)在［0，+8)上单调递增.……12分

19.(12分)

在△越C中,内角4,B,C所对边分别为a,b,c,bsin4=JLcos专.

(1)求方.前的值：

(2)若。=2,c=币,点尸在△48C内部，且4=P8,PB1PC,求△/>/(7的面

积.

【解析】(1)因为bsin/=J^cos亨，所以根据正弦定理,得

sin8sin4=0sin/cos与,2分

因为0<力<n，所以sinN>0,

因为0<8<n,所以。普

所以cos与>0，sin§=坐，

222

所以？=98=94分

242

所以1B-BC=|JB||BC|COS^=0.5分

(2)如图，以B为原点,BC所在直线为x轴，以所在直线为y轴,

建立平面直角坐标系，则

8(0,0)((2.0),月(0,6),尸［，平).

由/>8_L尸C,得

两前“-2X+A。,

解得I或舍)，

所以孚卜

8分

因为AC=/j,AC:y=-^-x+43,

埠+旦

所以点尸到直线4c的距离4>-£=--------/--------=%='.......1°分

所以△口（7的面积S皿c=；x>/7x^=坐.……12分

20.（12分）

如图，在正六边形4BCDEF中,将Zk/IB尸沿直线8尸翻折至△43F，使得

二面角4-BF-C的大小为牛，。为8尸的中点，H在线段HC上，。"〃平面HEb.

（I）记五棱锥H-5CD即的体积为匕，四面体O-EF”的体积为匕，求白：

（2）求H6与平面HDE所成角的正弦值.

图1

【解析】（1）设正六边形棱长为2a,延长CO交E/延长线于M,连结HA1.

9=J5Bcaef,h.<-BCD£F=|•[6XX（2a）;-任。纽....2分

因为0”〃面©EF,O"u面HCW,面HEFCI面CA14'=HA/,

所以O，〃4'A/,

所以建=3=毁=1

所以HC-0C_08一।'

所以“为HC中点.……4分

所以人如田。也*。="皿，也田。=同x2ax6x坐"卡,

所以'%.BDE，

SM.DEh=S即F-当a，...8分

因为AD=Aa,DE=2a,WE=如。,

2

所以S“0£=.9比=Jx2ax2y/ia=2y/3a，

所以八吉阿明……10分

则。=为哮同，

即48与平面HQE所成角的正弦值为专Ji为.……12分

21.（12分）

某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是

从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.已知第1周选择使用A密码.

（1）求第3周使用A密码的概率：

（2）求第4周使用A密码的概率：

（3）记前〃周中使用B密码的次数为y,求£（丫）.

【解析】（1）因为第1周选择使用A种密码，

所以第2周不选择使用A种密码，

所以第3周从上周未选用的三种密码中任选一种，

所以选择使用A密码的概率为4.……3分

（2）设第A周使用A密码的概率为4,则

第k+1周使用A密码的概率4+i=g（l-q）,……5分

整理得-=-加*-,

因为q=l,所以0（-；=扛0.

所以数列（«*-1）是以弓为首项，公比为-g的等比数列，