有理数知识点总结

第二章：有理数

1.1正数与负数

在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.

与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.4.0既不是正数，也不是负数.5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少……例如：向东走2米，记作：+2米；那么向西走3米，记作—3米.6.用正负数表示加工允许误差例如：①图纸上注明一个零件的直径是mm，表示零件的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存在的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.1.2有理数1.2.1有理数有理数的概念：整数和分数统称有理数.分类：（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：（掌握分类方法应注意两点：=1\*GB3①不重复：即同一事物不能归纳到两个类别中；=2\*GB3②不疏漏：即某一事物不能在所有类别中找不到.）【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.2.分数分为正分数、负分数.3.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如0.333…=阅读材料：教材95页《无限循环小数化分数》.4.无限不循环小数是无理数，如：π.5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数.6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。7.几个常见的概念：非负数：指正数和零；非正数：负数和零；1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；【说明】1.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。2.数轴的画法：=1\*GB3①先画一条水平的直线；=2\*GB3②在直线的右边画箭头，表示正方向；=3\*GB3③在直线上任取一点，作为原点，表示数0；=4\*GB3④以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度.3.数轴的性质：=1\*GB3①数轴上的点与有理数一一对应关系；=2\*GB3②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；=3\*GB3③数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。=4\*GB3④数轴上到原点的距离相等的点有2个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.4.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数，右边的总比左边大.5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题.6.数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础.1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.注：一个数的相反数为非负数，那么这个数是（）2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.4.相反数的读法：-(-2)读作负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-(-2)=2.5.一般地，数a的相反数是-a.6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负.1.2.4绝对值在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：注：即：如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0如果=-a那么a满足什么条件？=a，那么a满足什么条件？3.绝对值等于a（a≠0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数.例如：|a|=2，则（）.4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；5.理解：；；6.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：若，则ab≥0；（表示a、b同号或至少其中一个为0）.若，则ab≤0；（表示a、b异号或至少其中一个为0）.若，则ab=0；（表示a、b至少其中一个为0）.1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。【说明】1.进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示：.加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c).用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.1.3.2有理数的减法减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.【说明】1.“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．2.有理数减法常见的错误：①没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“－”；②仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；③只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例如：.可以读作：a加b减c，也可以读作：a，b，-c的代数和.有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数.若ab=1，则a和b互为倒数.几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab=ba.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(ab)c=a(bc).乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b+c)=ab+ac.【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.2.求一个数的倒数的方法：①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置.②求一个整数的倒数：可以把整数看成是分母为1的分数，再把分子、分母颠倒位置.③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置.1.4.2有理数的除法除