2024届一轮复习人教A版 直线与直线垂直 作业

课后素养落实（三十一）直线与直线垂直

（建议用时：40分钟）

[A组基础合格练]

一、选择题

1.已知直线4,b,C,下列三个命题：

①若“与6异面，。与c异面，则〃与c异面；

②若a〃6,a和c相交，则b和c,也相交；

③若aA-b,a_Lc,则b//c.

其中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

A[①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确.可能平行，可能

相交也可能异面.]

2.如图正方体。中，异面直线48与AA所成角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

C[连接BG,AiG（图略），.,.异面直线48与AG所成的角即为直线AiB

与BG所成的角.

在△4BG中，A\B=BC\=A\C\,：.ZA,BCi=60°.

故异面直线48与Ad所成角为60。.]

3.在长方体ABC。-48CQi中，AB=BC=木,44尸血，则异面直线AG与8所所成

的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

C[连接ACi（图略），因为88〃A4i,所以NAiAG为异面直线AG与88所成的角.因

为ta〃/44G=絮所以NA|AG=60°,故选C.]

4.在矩形ABC。中，A8=4,AD=2,P为边AB的中点，现将绕直线0P翻转

至△D4P处，如图所示，若M为线段4c的中点，则异面直线BM与出，所成角的正切值为（）

A.；B.2C.：

A[取AZ>的中点N,连接PN,MN.因为M是4c的中点，即以MN//CD//PB,且

MN=PB,所以四边形P8MN为平行四边形，所以MB〃PN,所以NA'PN为异面直线与

RT所成的角.在Rt^MTP中，tanZA'PN=Yr^=^,故选A.]

AF乙

5.在正三棱柱ABC-AIBIG中，若AB=yf^BBi,则AB与BG所成的角的大小是()

A.60°B.75°C.90°D.105°

C[设=如图，延长CCi至Ci,使CiC2=CCi=l,连接B\Ci,

则B\C2//BC\,所以/A8C2为ABI与2G所成的角（或其补角）.连接AC2,

因为ABi=小，B0=小,ACz=乖,所以Ad=A8；+8（X则NA8C2

=90°.即AB｝与BC\所成的角为90°,故选C.]

二、填空题

6.如图，在正方体ABC£>-A|8ICIOI中，M,N分别是棱C£>,CG的中点，则异面直线

4M与。N所成的角的大小是

90°[如图，过.点、M作ME〃DN交.CCi于点、E,连接4E,则NAME为异面直线4M

与QN所成的角（或其补角）.

3、/5A/41

设正方体的棱长为a,则ME=\a,A\E=\-a,

所以4册+腔2=4序，所以N4ME=90。，则异面直线AM与ON所成的角为90。.]

7.如图，空间四边形A8CC的对角线AC=8,80=6,M,N分别为AB,CQ的中点,

并且异面直线AC与8。所成的角为90。，则MN等于

5[取AO的中点尸，连接PM,PN,则AC//PN,NMPN为异面直线AC

与所成的角，AZMPN=90°,PN=^AC=4,PM=^BD=3,:.MN=5.]

8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

①ABJ_EF；②AB与CM所成的角为60。；③EF与MN是异面直线；④MN//CD.

以上结论中正确结论的序号为.

①③［把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB±EF,EF与MN是异

面直线，AB//CM,MNLCD,只有①③正确.］

三、解答题

9.如图所示，空间四边形A8C。中，AB=CD,ABLCD,E,尸分别为BC,4。的中点,

求EF和AB所成的角.

|解］如图所示，取8。的中点G,连接EG,FG.

A

VE,F分别为3cA。的中点，AB=CDf

：.EG//CD,GF//AB,且EG=3CD,GF=^AB.

：.NGFE就是EF与AB所以的甬,EG=GF.

'：ABLCD,J.EGLGF.：.ZEGF^90°.

二AEFG为等腰直角三角形.

；./GFE=45°,即E尸与AB所成的角为45°.

10.如图,已知长方体ABC£)-AiB|CQi中,AtA=AB,产分别是BDi和中点.求

证：CDiLEF.

,:E是BDi的中点，

J.EG//BC,EG=^BC.

：尸是A£>的中点，S.AD//BC,AD=BC,

：.DF//BC,DF=\BC,

：.EG//DF,EG=DF,

四边形EFDG是平行四边形，

J.EF//DG,

...NDGA（或其补角）是异面直线CD\与EF所成的角.

又•.,AjA=AB,

二四边形AB8i4,四边形CCCiG都是正方形.

且G为C£）i的中点，：.DG±CDi....NOiGO=90。,

.,.异面直线C£>i,E尸所成的角为90。.

：.CD\LEF.

[S组能力过关练]

1.在正方体ABC£）-A1B|CQ|中，点尸在线段A。上运动，则异面直线CP与84所成

的角6的取值范围是（）

A.0°<6»<60°B.0°<。<60°

C.0WW60。D.0°<6^60°

D[如图，连接CDi,AC,因为CD\//BA\,所以CP与BA\所成的角就是CP与CDi

所成的角，即（9=NZ）tCP.当点尸从£>i向A运动时，N2CP从0。增大到60。，但当点P与

G重合时，CP//BA]f与CP与B4为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BAi所成的角8的

取值范围是0°<0W60°.]

Ai

A

2.（多选题）如图所示，在空间四边形4BC。中，AB=CD,且AB与C£>所成的角为30。,

E,F分别为8C,AO的中点，则EF与AB所成角的大小可以是（）

A.15°B.30°

C.60°D.75°

AD［取AC的中点G,连接EG,FG,则EG//AB,且EG=%B,FG//CD,且FG=±D,

由AB=CD知EG=FG.

易知/GEF（或它的补角）为EF与AB所展的角,NEGF（或它的补角）为AB与C£>所成的

角.

'：AB与CD所成的角为30°,NEGF=30。或150°.

由EG=FG知LEFG为等腰三南形，

当/EGF=30°时，ZG£F=75°:

当/反?尸=150°时，ZGEF=\5°.

故EF与AB所成的角为15。或75°.]

3.如图所示，正方体ABCD48|Cir)i中，E,F分别是棱8C,CG的中点，则异面直线

EF与B\D\所成的角为.

60°[连接BG,AD},AB],

则EF为△BCG的中位线，

：.EF//BC\.

又卫CQUCIOI,

四边形ABCOi为平行四边形.

：.BC\//AD\,：.EF//AD{.

：.AAD\B\为异面直线E尸和BQi所成的角或其补角.

在△ABIOI中，易知A8i=B|D,=AD\,

.,.△ASA为正三角形，.•.NA£)B=60°.

.♦.E尸与小。|所成的角为60。.]

4.如图，在四棱柱ABCD-A山1GA中，侧面都是矩形，底面四边形A8CD是菱形且AB

=BC=2小,/A5c=120。，若异面直线A.B和AD\所成的角为90°,则线段A41的长为

#[连接C。，AC.

由题意得四棱柱ABCD-ABiCA中，A\D\//BC,A\D［=BC,

二四边形AiBCDi是平行四边形，

：.A\B//CD\,

：.NAOC(或其补角)为48和ADi所成的角.

•异面直线4B和45所成的角为90。，

，ZAD,C=90°.

:四棱柱ABCZXAIiGQi中，AB=BC=2yf?>,

...△ACQi是等腰直角三角形，：.AD}=^AC.

•底面四边形ABC。是菱形，且AB=BC=2小,/ABC=120°,

二AC=2小Xsi”60。X2=6,AD\=^AC=3啦，

二A4i=、4犷­4。?=、(3十)2-(2小)2=4.J

［C组拓广探索练］

如图，已知点尸在圆柱0。|的底面。O上，AAxVAB,BPVAxP,AB,4所分别为。O,

GOi的直径,且

若圆柱OOi的体积丫=12兀，OA=2,NAOP=120。，回答下列问题.

(1)求三棱锥4-AP8的体积；

(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与48所成的角的余弦值为尹若存在,

请指出点M的位置，并证明；