2023年新高考数学大一轮复习 数列的基本知识与概念 (原卷版)

专题23数列的基本知识与概念

【考点预测】

1.数列的概念

（1）数列的定义：按照二定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每二个数叫做这个数列的项.

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，川）

为定义域的函数%=/（〃）当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

2.数列的分类

（1）按照项数有限和无限分:

递增数列:anA>an

递减数列：a,>a

（2）按单调性来分:i+1n

常数列：（常数）

摆动数列

3.数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列｛%｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果已知数列｛%｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与

它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

【方法技巧与总结】

（5n=l

（1）若数列｛%｝的前〃项和为S“，通项公式为%,则%=|'*

[s“-S,T，n>2，n&N

注意：根据S"求凡时，不要忽视对”=1的验证.

（2）在数列｛q｝中，若氏最大，贝,若%最小，贝』""'"i.

a

[n2a„+i[an<an+1

【题型归纳目录】

题型一：数列的周期性

题型二：数列的单调性

题型三：数列的最大（小）项

题型四：数列中的规律问题

题型五：数列的最值问题

【典例例题】

题型一：数列的周期性

例1.已知无穷数列｛q｝满足。“+2Ta“+i-aJ（xeN*）,且q=l,a2=x（xeZ）,若数列｛4｝的前2020项中

有100项是0,则下列哪个不能是x的取值（）

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

~2~

例2.若国表示不超过x的最大整数（如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知。〃二—xlO"，b、=a、

_7_

bn=a„-10a„_,(7ieN,,H>2),贝ljb2m9二（)

A.2B.5C.7D.8

1+凡

例3.数列｛%｝满足4=2,%+]=其前〃项积为则几等于（）

1-册'

A.-B.--C.6D.-6

66

例4.若数列｛4｝满足6=2七=2,且%+2=|%+i，则｛%｝的前100项和为()

A.67B.68C.134D.167

2a„,0<a„<1,

例5.数列｛%｝满足%+1=<]右％=彳,则的021等于（）

-乙

A.12八3

B.—C.—D.-

5555

例6.已知数列｛g｝满足，〃〃=<3/>1）,若生£（2,3）且记数列｛g｝的前〃项和为5n,

若鼠=2019,则S2019的值为（

6057C6055

B.3028D.3029

,2

例7.（2022•广东汕头•三模）已知数列｛〃〃｝中，a1=~f当”1时，，则"2022=（）

a

4n-\

144

A.—B.—C.5D.—

455

例8.（2022•河北•沧县中学高三阶段练习）已知数列｛%｝中，%-=，*4—1+1(">2),q=2,则〃I。等于()

A.—B.—C.-1D.2

22

题型二：数列的单调性

mn~9,n>10

例9.（2022・四川达州•二模（理））已知单调递增数列｛。"｝满足为=■（2m八十“，则实数加的取值

1—+11/1-21,n<10

范围是()

A.[12,4w)B.(1,12)C.(1,9)D.[9,+oo)

例10.（2022.河南・温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数元）=]（：["）尤:"V7,若数列｛%｝

满足%=/⑺（〃eN*）且｛《,｝是递增数列，则实数。的取值范围是（）

4.件3）B.[|,3]C.（2,3）D.[2,3）

例1L（2022•浙江•高三专题练习）已知数列｛〃”｝的首项为。1=1,a2=a9且〃用+%=2〃+1（几N2,〃£N*）,

若数列｛4｝单调递增，则〃的取值范围为（）

A.\<a<2B.2<a<3

例12.（2022.全国•高三专题练习）己知等比数列｛4｝前”项和S“满足S“=l-A-3".（AeR）,数列也“｝是

递增的，且b.=A/+加，则实数B的取值范围为（）

A.B.[-1,+co)C.(一1收)D._]+<»

（、—an+2,H>8/.\

例13.（2022・全国,高三专题练习（理））已知数列｛%｝满足。“二（3）（〃£N*）,若对于任意〃cN

0nt,n<8

都有％〉%+i，则实数。的取值范围是（）

人•陷艮四仁

例14.（2022.全国•高三专题练习）设数列｛七｝的通项公式为%=川+加，若数列｛4｝是单调递增数列，则

实数6的取值范围为（）

A.（—2,+oo）B.[—2,+co）C.(-3,+8)D.(-00,-3)

【方法技巧与总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法根据。，中一。”的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列或是常数列

根据4巴&>0或为<0）与1的大小关系进行判断

作商比较法

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大（小）项

例15.已知数列｛4｝的首项为1,且％=则。”的最小值是（）

A.\B.1

C.2D.3

例16.已知数列｛4｝满足4=1。，""「%=2,则%的最小值为（）

nn

A.2^/10-1B.—C.—D.—

234

例17.已知数列｛为｝的前"项和S“，且S-1）?,bn=—,则数列也,｝的最小项为（）

A.第3项8.第4项C.第5项。.第6项

例18.已知数列｛"“｝的前n项和S“=2/-12%数歹！J｛|。.|｝的前«项和却则"的最小值

n

例19.数列,n=l,2，,中的最小项的值为.

【方法技巧与总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数/（x）当尤GN*时所对应的一列函数值，根据/（X）的类型作出相应的函数图象,

或利用求函数最值的方法，求出了（元）的最值，进而求出数列的最大（小）项.

%"4I,（"22）确定最大项，利用/卬，5N2)

（2）通过通项公式％研究数列的单调性，利用

aa

„2an+1n44+1

确定最小项.

（3）比较法：若有4+]-%=/（〃+1）-f（〃）>0或4>0时3>1,则%+1>%,则数列｛凡｝是递增数

an

列，所以数列｛%｝的最小项为q=/(I);若有4+1-4=/(«+1)-/(«)<0或%>0时<1,则an+l<an,

则数列｛""｝是递减数列，所以数列｛4｝的最大项为0=/（I）•

题型四：数列中的规律问题

例20.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以小）表

示第"幅图的蜂巢总数，则/（4）=（）；/（«）=（）.

A.353«2+3n—1

B.363n2-3n+l

2

C.373n—3H+1

2

D.383n+3H—1

例21.由正整数组成的数对按规律排列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,

（4,1）,（1,5）,（2,4）,….若数对（加,力）满足（裙-2）.1-2=2021,m,neN*,则数对排在（）

A.第386位B.第193位C.第348位D.第174位

例22.已知“整数对”按如下规律排列：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,则第68个“整

数对”为（）

A.（1,12）B.（3,10）C.（2,11）D.（3,9）

例23.将正整数排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

则图中数2020出现在

A.第64行3列B.第64行4列C.第65行3列D.第65行4列

题型五：数列的最值问题

例24.（2022•北京市第十二中学高三期中）已知数列｛%｝满足+三，则数列｛见｝的最小值为（）

n

c.8A/2D.12

例25.（2022.全国•高三专题练习）己知数列｛%｝,%=1,，则下列说法正确的是（）

A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是。

C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是。

例26.（2022.河南.高三阶段练习（理））在数列｛%｝中，4=1,an-an_x=n（neN+,w>2）,则冬斗的

最小值是（

例27.（2022・辽宁•高三阶段练习）若数列｛%｝满足q=2八",北=小「4，则北的最小值为（）

A.2-B.2-10D.2-12

例28.（2022•全国•高三专题练习）若数列｛4｝满足％=13,an+l-an=n,则字的最小值为（）

D.13

例29.（2022・全国•高三专题练习）设q=-2^+13/1-16,则数列｛%｝中最大项的值为（

例30.（2022•浙江•高三专题练习）己知数列｛%｝的通项公式为%=1-11"+3,%是数列｛4｝的最小项,

n

则实数。的取值范围是（）

A.[-40,-25]B.[^10,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•陕西.交大附中模拟预测（理））函数“尤）定义如下表，数列｛玉｝（〃eN）满足4=2,且对任意的

自然数〃均有x,+i=/（x"），则尤2022=（）

X12345

“尤）51342

A.1B.2C.4D.5

2.（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用

于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量

总和，其中一列数如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……按此规律得到的数列记为｛%｝,

其前〃项和为S“，给出以下结论：①%T=2/-2W；②182是数列｛%｝中的项；③⑸=210；④当w为偶

数时，S,+2-2S“M+S“=〃+2（〃€N）其中正确的序号是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

3.（2022•河南.模拟预测（理））观察数组（2,2）,（3,4）,（4,8）,（5,16）,（6,32）,…，根据规律，可得第8

个数组为（）

A.（9,128）B.（10,128）

C.（9,256）D.（10,256）

4.（2022・吉林长春.模拟预测（理））已知数列｛%｝满足（%-1）（%+1）+2=0,则数列｛%｝的前2022

项积为（）

A.—B.—C.—6D.二

632

5.（2022•江西临川一中模拟预测（理））已知数列｛%｝满足％=2,。用=合二则嗫2=（）

A.—B.1C.2D.一

32

6.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝的通项公式为为="+幺，贝是“数列｛%｝单调递增”的

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛氏｝满足“>5〃eN*且数列｛"/是单调递增数歹"'

贝打的取值范围是（）

A.g9]B.g+jC.（5,—）D.（1,4]

8.（2022・全国•高三专题练习）若数歹弘加｝的前“项和Si="2—10"（“GN*）,则数列｛w”｝中数值最小的项是

（）

A.第2项B.第3项

C.第4项D.第5项

9.（2022・上海普陀・二模）数列｛（｝的前〃项的和S“满足Sm+S"="〃eN*）,则下列选项中正确的是（）

A.数列｛。向+见｝是常数列

B.若见<；,则｛%｝是递增数列

C.若％=-1,则512022=1。13

D.若4=1,则｛4｝的最小项的值为-1

10.（2022•北京四中三模）已知数歹！J｛。"｝的通项为%=/一2勿7,则“2<0”是“\Z〃eN*,2+1>4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

11.（2022・河北.衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主

要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两

仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,则下列说法正确的是（）

A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是180

C.此数列偶数项的通项公式为％“=2/D.此数列的前九项和为=",（"T）

2。“,网11

12.（2022•全国•高三专题练习）若数列｛风｝满足。,+i=1，%=§,则数列｛%｝中的项的值可能

2。〃一1，不<。〃<1

为（）

A.—B.2C.2D.-

335

13.（2022.全国•高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（

A.数列…的一个通项公式是%=」一

3456n+1

B.数列的图象是一群孤立的点

C.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列

D.数列工是递增数列

242n

14.（2022•全国•高三专题练习）已知S”是｛《,｝的前〃项和，4=2,an=l--（n>2）,则下列选项错误的

A.。2021=2B.S2021=1012

C.=1D.｛q｝是以3为周期的周期数列

2%，。“4

15.（2022•全国•高三专题练习）若数列｛即｝满足。用=，72]，4=|，则数列｛即｝中的项的值可

2%-

能为（

16.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足q=%=则下列各数是｛%｝的项的有（）

2—册

A.-2

17.（2022•全国•高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三

角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列

｛q｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中｛%｝是集合｛2、+2[0Vs<f，且s/eZ｝中所有的数从

小到大排列的数列，即％=3,%=5,%=6,%=9,“5=1。，…，则下列结论正确的是（）

B-3.2"T

A.第四行的数是17,18,20,24

D.400=16640

18.（2022•全国•高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是

它肩上两个数之和.则下列说法正确的是（）

1357911...

48121620...

12202836...

A.第6行第1个数为192

B.第10行的数从左到右构成公差为21°的等差数列

C.第10行前10个数的和为95x29

D.数表中第2021行第2021个数为6061*2皿。

19.（2022.河北・石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推

论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的

两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,则下列说法正确的是（）

A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182

C.此数列偶数项的通项公式为出“=2〃2D.此数列的前兀项和为

20.（2022•福建漳州•三模）已知数歹U｛%,｝的前咒项和为凡=11〃-/,则下列说法正确的是（