2023年考研数学二真题(含答案及解析)

2023年考研数学二

一、选择题，1〜10题，每题5分，共50分.

1.曲线.v=、ln(e+二))的斜渐近线方程为

()

A।「

A.y=x+eB.y=v+C.y=xD.y=x—

-7---------・XW0

2.函数/(、•)=)\/l+x2的一个原函数为

()

1(x+l)cosx.X>0

4-x2-x).4W。Infyl+42-x)+l.冥W0

A.F(x)=,B.F(x)=<

(x+Dcosx-sinx,x>0(x+Dcosx-sinx.x>0

In(/l+x2+x).xWOln(Ji+x2+x)+1.xW0

C.F(x)=<D.F(.v)=,

(x+1)sinx4-COSA.x>0(.r+1)sinx+cosx.x>0

=sin.%•弘n।=y^(n=1.2.则当n8时.

3.已知{xn},{yn}满足：=v)=।

)

A.xn是yn的高阶无穷小B.yn是xn的高阶无穷小

C.xn与ya是等价无穷小D.xn与％是同阶但不等价的无穷小

4.若微分方程y"+ay』by=0的解在(-o,+a)上有界，则)

A.a<0.b>0B.a>0,b>0C.a=0.b>0D.a=O,bvO

v2/|/1

5.设函数产f(x)由>一确定，则

)

i—|r|sin/

A.f(x)连续，f(O)不存在B.f(O)存在，f(x)在x=0处不连续

C.f(x)连续，fXO)不存在D.f)(O)存在，P(x)在x=0处不连续

r+8।

6.函数/(a)=/，福X=ao处取得最小值，贝！Jaa=()

hK(hlK)aT

10

AIn(ln2)B~，n<ln2)匚航D.ln2

7.设函数f(x)=(x2+a)e*,若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是

()

A.(0,l)B.(l,+o)C.(l,2)D.(2,+o)

AE

8.设AB为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则

oa

\A\B*-B'A'

A.

O\B\A-\B\A*

\B\A'-B'A'-A,B*

D.

O\MB'Mir

222

9.二次型f(Xi,x2,x3)=(X1+x2)+(Xi+x3)-4(X2-X3)的规范形为

)

c,v?+y"4HD.4+V-K

10.已知向量如=5()若丫既可由ana/性表示，也可由

9/kb

济区线性表示，贝丁y()

⑶3

V:/feRkcR2eR

二、填空题，11〜16题，每题5分,共30分.

11.当?4-0时，函数f(x)=ax+bx2+ln(l+x)与g(x)=e2-cosx是等价无穷小，则

ab

12曲线dt的弧长为

A2-

13.设函数z=z(x,y)由e^xzMZx-y确定，则〜

dx2(i.n

14.曲线3x三y5+2y3在x=l对应点处的法绵斜率为______3

」/(.V+2)-f(x)=x.I/(v)dv=0,f(x)dx=

15.设连续函数Kx)满足.J。

则

ax\+力=I

a0IaI

"…2'"有解，其中a,b为常数若

16.已知线性方程组I2a

Xj+2X2+UXy=0

a则“b0

uxi+hx2=2

三、解答题，17〜22题，共70分.

17.(本题满分10分)

设曲线L:y=y(x)(x>c)经过点©,()),L上任一点P(x,y)至!Jy轴的距离等于该点处的切线

在y轴上的截距

⑴求y(x);

⑵在L上求一点，是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积

2

18.、(个。猛力叫、)

求函数f(x.y)H*广，+y的极值.

19.14遇潜力以力■।

已知平面乂域D=|(x.y)|()WFW-.x2I

⑴求D的面积；

(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

20.(本题满分12分)

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x?+y2-xy=l,x2+y2-xy=2与直线y二

43x,y=0围亦计算ff-——；d.vdr.

JJn

21.(本题满分12分)

设函数f(x)在「a,a］上具有2阶连续导数.证明:

⑴若f(0)=0,则存在&G(-a,a),使得L(打=；［/(“)+/(-«)］

a2

出若六》在(七,公内取得极值，则存在Ga,a),使得

1八科力白/⑷-

22.(本题满分12分)

X।+必+X3

设矩阵A满足：对任意均有八2x।-M+・巧

Xi,x,x

23X］一

⑴求A;

(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得PTAP=A.

3

2023年全国硕士研究生招生考试数学(㈡

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项

的斜渐近线方程是()

(A)y=x+e(B)”开！

.

(C)y=x

【答案】(B)

xln(c41)।

【解析】A=Im-=hm——--=liniln(e*-----卜I

1工.[

hhm(尸fcrHhm[jrln(.*'-)T=

AM*'«•««>V«*|

=hroilnllfI=hm-—=-

1<(x-l)-dx-l)<

所以斜躺线方程;为…t

⑶函数/”)•［点＞,*s°的原函数为()

[A)广⑶・卜(后了T)JM°[B)田卜呻7""°

|(X4*hCMX-SmX.X>0

(C)即卜(Hr"⑼加卜卬臼山。

心.l)Bmx>cosx.x>GI(x♦]“tax♦cmJTj>0

【答案】(D)

【解析】当xWO时,

2023年全国硕士研究生招生考试数学（-）

|/(xMr■JVl*i1)♦€

当x>0时，

Jf(x)dx=f(x+l)cosxdx=[(x+l)dsinx=(x+l)sinx-Jsinxdx

=(x+1)sinx+cosx+C2

原函数在上吐X)内连续，则在X=O处

lim3+.>♦(।=(',IMI(X4I

所以C=l+C2,令C2=C,贝|JG=1+C,故

结合选项，令c=o,贝岭)的一个原函数为

|(x4l)flfix>aHxvx>0

⑶},(y.}满,足工1-1me-H07K)

(A)x,是y,的高阶无穷小(B)y,是x,的高阶无穷小

(C)x,是y,的等价无穷小(D)x,是y,的同阶但非等价无

穷小

【答案】(B)

【蝌斤】在（呜）忡,；jrvahx

故Jm.>-I,

r

J

啜小铝金…（力刎9

‘if'故y,是x,的高阶无穷小.

X.

202诈全国硕士研究生招生考试数学(二)

(4)已知微分方程y+ay，+by=O的解在(-o,+x)上有界，则&b的取值范围

为()

(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0.b>0(D)a=0,b<0

【答案】(C)

【解析】微分方程y+ay'+by=0的特征方程为x?+a入+b=0,

当A=a2-4b〉0时，特征方程有两个不同的实根3,3,则a,32至少有一个

不等于零，

若C,C2都不为零，则微分方程的解尸Ce+Ce在(工+x)无界；

当AKMb=O时，特征方程有两个相同的实根，2

若G也则微分方程的解j^CeHCxe在(-0,+o)无界；

当AR4X0时，特征方程的根为九-个早，：

则Jfi解为尸，YGcrn工+(710,X),

此时，要使微分方程的解在(-0,+x)有界，则a=0,再由A=a24b<0,

知b>0

⑸设函数y=fi>)由八="'确定，则(,

(A)f(x)连续，f(0)不存在

(B)f(O)不存在，f(x)在x=0处不连续

(C)f(x)连续，f(0)不存在

(D)f"(0)存在，f(x)在x=0处不连续

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

【答案】(C)

【解析…当区时，匕工名中I

当⑼时，仁，名苦二

却=0时，因为/'.(0卜巴1/(*)：/(―,等=0；

所以f'(0)=0.

0

h；°*，=0=八0)；T/'⑸=@E'；'。=0=/,(0)

所以1吁/'3=/'(0);,即f(x)在x=0连续.

a当，・。时，因为/•.⑼・J〃±£9-5*空・]

了Ix73a9

/•.(o)-i5/史拜•沙―尸--2

所以f"(0)不存在.

(6)若函魏＞⑻“「焉k在a项处取得最小值，则％=()

(A)__L_(B)-In(In2)

⑹-白(D)In2

【答案】(A)

【解析】当"。时加)*『舟1嵩I一总一

施怅谛旃海上嫡j倘^脓髀宁•占

■4

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

⑺设函数f(x)=(x¥a)e,若心)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则

a的取值范围是()

(A)(0,1)(B)(1,+x)

(C)(1,2)(D)(2,+x)

【答案】(C)

【解析】f(x)=(x2+a)e2,f(x)=(x2+a+2x)e2,f(x)=(x2+4x+a+2)e,由于

f(X)无极值点，所以4-4aW0,即a》l;由于f(x)有拐点，所以16-4(a+2)>0,

即a<2;综上所述ae(l,2).

⑻设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M为矩阵M的伴随矩阵，

网宵力]⑻呼温)

【答案】(D)

【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知

[oOM国卜！O\A\B8,,

・吗£WMT温1故⑻

；；22

⑼二次型f(X,X2X)=(Xi+x2)4(X1+X,)-4(X2-X,)的规范形为()

(A)y2+y2(B)y2-y2

(C)yT+y2-4y?(D)y2+y2-y

【答案】(B)

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

222

【解析】由已知f(x,x,X3)=2X-3X-3X+2XX2+2XX3+8X2X3,

(2II)

则其对应的矩阵1134

(l4-3J

4-2-1-I

由-IT・〃4*7)(4-3卜。,,得人的特征酗3,-7,0

-I-44*3

故选(B).

p'

(10)已知向」g八n,若丫既可由a,电线性表示,

也可由B,B线性表示，则y=()

(B)*5AiR

2

/1>

(D)­.

I

【答案】(D)

【解析】设r=x；ai+x2&=yB+LB,则xa^+x2a2-^B-y282=0.

p2-2-frl003

又⑷・2I-50010-1

bI-9-I,.001I

故(xiX2,yi,y2)}=c(-3,l,-l,iy,ceR

所加pP+cPz=c(-1,-5,⑹'=-c(1,5,8)=k(l,5,8)”，keR

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

(11)当X-0时，函数f(x)=ax+bx2+In(l+x)与g(x)=e2-cosx是等价无穷小，

则ab=_______

【答案】-2

【解析】由I她#织)用史1个号“，--]-+-/--♦-+---邛X亨—+«力ri可用

a+l=0,人।_即a=-l,b=2,ab=-2

?T

(12)曲线月J3+at的弧长为

【答案】64

【解析】y=J3-x,由弧长公式可得，//工亦"&•代疝4rx.5

204cos:〃力

■4Rl-ca

(13)设函数z=z(x,y)由e+xz=2x-y确定，则J':

【答案】4

【解析】两边同时对x求导得：L<".:'孑:：-2-0①

ex

两边再同时对X求导得：，之.1一当.却却乂.”・(1②

Ac&M7队

将x=l,y=l代入原方程得e2+z=l=z=0

代入①式得，.或+0+与=2_>蹙=1

draxax

代入②式得门

/rr*m*1

(14)曲线3x3=y5+2y3在X=1对应点处的法线斜率为

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

【答案】4

【解析】两边对球导：9x2：z5y*.y，-^y2,y①

当x=l时，代入原方程得3=y8+2y3fy=l

将X=l,尸1代人①式璃尔+Wn八”广W

所以曲线在x=l处的法线斜率为

(15)设连续函数f(x)满足：｛+2)-《)书(小由“。，则［小小

【答案】5

【解析】如f/(x>A+，/(x)A

={f}dx+{f(x+2Mx

■f加岫*f(/3)♦X岫

={f(x)x+[f(c)dx+[xdx

Oo♦一

9

=­I

1

(16)已知线性方程组'「心；r，二°有解，其中a,b为常数，若:

号+力4+皿产0

叫.g,2

IaI

贝412o-.

LAO

【答案】8

【解析】由己知r(A)=r(A,b)W3<4,故4,b|二0

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

(17)(本题满分10分)

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点0,0),L上任一点P(x,y)到y轴的距

离等于该点处的切线在y轴上的截距，

(I)求y(x).

(II)在L上求一点，使该点的切线与两坐横由所围三角形面积最小,

并求此最小面积.

【解析】(D曲线L在点P(x,y)处的切线方程为Y-尸y(X-x),令x=0,

则切线在y轴上的截距为y=y-y',则问另，即：了->…,解得

y(x)=x(CTnx),其中c为任意常数.

又y(e2)=0,则C=2,故y(x)=x(2-lnx).

(II)设曲线L在点(x,x(2-Inx)处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小,

此时切线方程为

Y-x(2-lnx)=(l-lnx)(X-x).

2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)

令丫二0,则令XK则丫称

故切线与两坐标轴所围三角形面积为争价［n"「，,

22lni-12(hjr-b

则s-(…M2mX:3),令s(x)=0,得驻点I=二

当…/时，SxM当：时，SYx)X),故S(x)fce处取得极小

值，同时也瞬小值，且最小面板e甩

(18)(本题满分12分)

求函数H•…+：的极值.

【•Mfr"/*'二,3°-得驻点为：(飞,ku),其中k为奇数；(飞小)，

其中k为偶数.

/：-«

则/：▼(，”)

=JBT*rSin2>4-«*•*(-€(»V)

♦=/Z=|

代入(-b',kn),其中k为奇数，nB=/：P0AC-B2<0,故(电融)

c"=Y

不是极值点；

d=Z；=i

代入(-e,*,其中k为偶数，得，.=/：=o,AC-B2>0且A>0,故(-ejor)

是极小值点，；为极小值.

(19)(本题满分12分)

已知平面区域

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

(I)求D的面积.

(II)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

【解析】(I)由题设条件可知：

皿旋转体体枳T"一广岛产F［>占卜3

(20)(本题满分12分)

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=l,x2+y2-xy=2

与直线y=J3x,y=0围成，计算°卜］一"

【解析】本题目采用极坐标进行计算

Ilf，

4呵匡而二占/4呵匡(3«»，6

力而高而T图第丽1nA

=1to2p-——p-------^”二加2^-7—dun；

2la<3*tan1cot1为(3+1*'矶

千詈卜粉。2

(21)(本题满分12分)

设函数f(x)在［-a,a］上具有2阶连续导数，证明：

(I)若f(0)=0,则存在&£Ga,a),使得./•(：,・！［〃0)♦〃-.)］

(II)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在n£(-a,a),使得

2023年全国硕士研究生招生考试数学(-)

【解析】(I)证明：/(加/(OH/W+空八/W+空匕册之间，

则/(•)=/仙