定值问题-2021届高三数学一轮复习解析几何复习训练

第八讲定值问题

题型分析

最终的目标都是求解目标量的定值为多少，从动点(直线)中计算出不动的量

一般方式

①选定相对合适的参数，将题目中条件利用参数表达出来，再利用所得结论化简计算

定值关系式求解定值

②利用特殊情况(特殊值、特殊位置等)先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成

立的

练习：

1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于

A、B两点，。4+03与。=(3,—1)共线。

(1)求椭圆的离心率；

(2)设M为椭圆上任意一点，且而=丸53+〃丽(九〃GR),证明；为定值。

2.已知，椭圆C过点两个焦点为(-1,0),(1,0)„

(1)求椭圆C的方程；

(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

3.已知椭圆的中心在原点，焦点厂在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4,椭

圆上的点到焦点尸距离的最大值是6.

(I)求椭圆的标准方程和离心率e;

(II)若尸为焦点/关于直线y=3的对称点，动点M满足卫吧=«,问是否存在一

2\MF'\

个定点A,使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，

请说明理由.

4.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.

(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线0的方程；

(II)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推

断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.

5.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为血一1,离心率为e=42-

2

(I)求椭圆E的方程；

(II)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M,

MP-MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由•

V2J/=1(。〉0/〉0)的离心率为6,右准线方程为彳=当

6.已知双曲线。：二

a

(I)求双曲线。的方程;

(II)设直线/是圆O:犬2+,2=2上动点P(x0,y0)(x0^0w0)处的切线，/与双曲线C交

于不同的两点A,8,证明NA03的大小为定值.

7.己知椭圆一1=1(3>6>0),过其中心。的任意两条互相垂直的直径是P1P2、

ab

Q1Q2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形PGP2Q2与一定圆相切。

8.已知定点。(一1,0)及椭圆/+3/=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点、.

(I)若线段AB中点的横坐标是-工，求直线AB的方程；

2

(II)在x轴上是否存在点使苏•标为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

9.已知椭圆工+二=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点为A、B,

ab~

且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。

(1)求椭圆的方程。

(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD_LCD,连结CM交椭圆于点P,

证明：OM・OP为值。

10.在平面直角坐标系xOy中，RtZkABC的斜边BC恰在x轴上，点B(—2,0),0(2,0),且

AD为BC边上的高。

(I)求AD中点G的轨迹方程；

(II)若过点(1,0)的直线/与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q,试问在x轴上是否存在定

点E(m,0),使PE-QE恒为定值入？若存在，求出点E的坐标及实数人的值；若不存在，

请说明理由。

第八讲定值问题

题型分析

最终的目标都是求解目标量的定值为多少，从动点(直线)中计算出不动的量

一般方式

①选定相对合适的参数，将题目中条件利用参数表达出来，再利用所得结论化简计算

定值关系式求解定值

②利用特殊情况(特殊值、特殊位置等)先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成

立的

练习：

1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于

A、B两点，51+3与7=(3,—1)共线。

(1)求椭圆的离心率；

(2)设M为椭圆上任意一点，且OM=2OA+]uOB(2,//e7?),证明才+为定值。

XV

解析：(1)设椭圆方程为一—4———1(3>6>0),A(xi,y),B(X2,丫2),AB的中点为N(x0,yo),

ab

a

\2b2，两式相减及二~」=1得到了0=——-Xo,所以直线ON的方向向量为

玉_型x2-xla

“2b2一

___»A2____►_1A2仄

ON=(1,—--),•；ONHa,,即42=3^2,从而得e=B

a~3a3

(2)探索定值因为M是椭圆上任意一点若M与A重合，则OM=OA,此时

A—1,〃=0,.'.不+〃2=]

证明/=3/,...椭圆方程为炉+3y2=3/，又直线方程为y=x—C

.fy~x-c°oo

・・1°o=4x—6cx+3c—3b=0

lx2+3/9=3b2

33c2-3b232

・・+x2=—c,xxx2-------------=-c

又设M（X,y）,则由。M=2OA+〃O5得〈12,代入椭圆方程

整理得下（+3y；）+〃2（君+3为）+2%（巧％2+3y2y2）=3b?

又：xf+3yf=3b2,+3yl=3b2,

39

+3yy,=4x/2-3c（x）+x2）+3c2=———c~+3c~=0

矛+〃2=1

3

2.已知，椭圆C过点A。］),两个焦点为(-1,0),(1,0)„

(3)求椭圆C的方程；

(4)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

1o3

解析：(1)由题意，c=1,可设椭圆方程为....-H-----=1,解得=3,b~=—(舍

l+b~41r4

去)

2

x丫2

所以椭圆方程为---F-—=1o

43

3V2V2

(2)设直线AE方程为：y=k(x-l)+~,代入1+彳-=1得

3

(3+4k2)x2+4左(3-2k)x+4(--kf-12=0

3

设E（XE，yE）,E（XF，yF）,因为点AX]）在椭圆上，所以

3,

4(——左门-12

,3,

1+4左2%=、+5-左

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得

3

4(三+左产9—12

X1+正yE=-kxE+^+k

y-y_+x)+2k_1

所以直线EF的斜率降FEE

xF-xE2

即直线EF的斜率为定值，其值为L。

2

3.已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点尸到短轴端点的距离是4,椭

圆上的点到焦点P距离的最大值是6.

（I）求椭圆的标准方程和离心率e;

（II）若歹'为焦点厂关于直线y=3的对称点，动点M满足卫竺l=e,问是否存在一

2\MF'\

个定点A,使"到点A的距离为定值？若存在，求出点4的坐标及此定值；若不存在，

请说明理由.

解析：（I）设椭圆长半轴长及半焦距分别为。，C,由已知得

\解得Q=4,c=2.

[a+c=6,

22。[

所以椭圆的标准方程为-—■I-―1.离心率e=—=—.

161242

(Il)F(0,2),产'(0,1),设M(x,y),由詈g=e得

|MF|

行+(尸2)2-

a+gy-5

化简得3x2+3/-14^+15=0,?Px2+(y-1)2=(|)2

故存在一个定点A(0,g),使M到A点的距离为定值，其定值为|.

4.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.

(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；

(II)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推

断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.

解析：(I)设抛物线方程为丁=20x(2/0),则抛物线的焦点坐标为(^,0).由已知，

y=2,即p=4,故抛物线C的方程是y2=8x.

(II)设圆心M(a,加(a"0),点A(0,%),B(0,%).因为圆M过点P(2,0),则可

设圆M的方程为(犬—〃了+(y—Z?)2=(a—2)2+/?2.令1=0,得y2—2by+4〃-4=0.

则X+%=2b,%•%=4a—4•所以

I+%)2—4%•%=J4Z?2_]6a+16.,设抛物线C的方程为

y2=mx(m0),因为圆心M在抛物线C上，则〃二勿饮.所以

|AB|=16a+16=J4a(加—4)+16.由此可得，当机=4时，|AB|=4为定值.故

存在一条抛物线＞2=4%,使|AB|为定值4.

5.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为6-1,离心率为e=42-

(I)求椭圆E的方程;

(II)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,

MP-MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由•

a-c=&-l

22

解析：(I)设椭圆E的方程为三+七=1,由已知得：，c近。。。。。2分

ab

a=&.•.b2=a2—c2=l椭圆E的方程为工+y2=l。。。。3分

c=l2

(II)法一：假设存在符合条件的点M(m,O),又设P(x”yJ,Q(X2，y2),则：

MP=(Xj-m,y1),MQ=(x2-m,y2),MP-MQ=(x1-m)-(x2-m)+y1y2

2

=XjX,-m(X]+x2)+m+y,y2<>oooo5分

①当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为：y=k(x-l),则

A2_[

由(万+y=得/+21?仪_1)2_2=0

y=k(x-l)

4k2?k2—2

(2k2+l)x2-4k2x+(2k2-2)=0x.+x=--——,x.-x=——z——7分

122k2+l1222k2+1

k2

y,y=k2(x-l)(x-l)=k2[xx-(x+x)+l]=-

21212122k2+1

2k2_24k2(2m2-4m+l)k2+(m2-2)

所以MP-MQ=-------m•—=—+m29分

2

2k2+12k2+12k2+12k+1

对于任意的k值，MP・MQ为定值，所以2m2-4m+l=2(m2-2),得m=j

4

57

所以M(—,0),MP-MQ=-一；11分

416

②当直线1的斜率不存在时，直线1：X=1,X]+X2=2,X]X2=1,%丫2=-(

57

由m=a得MPMQ=—n

综上述①②知，符合条件的点M存在，起坐标为(工,0)•13分

4

法二：假设存在点M(m,0),又设P(Xi，y)Q(X2，y2),则：MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2)

2

MPMQ=(X]-m)-(x2-111)+丫1丫2=*遂2—m(X]+x2)+m+yiy25分

①当直线1的斜率不为。时，设直线1的方程为x=ty+l,

X22

由<2+丫一1得(t?+2)y2+2ty-l=0二%+丫2=p^,y「y27分

x=ty+1~~

-t2-2t2+t2+2-2t2+2

XjX2=(t%+l)-(ty2+1)=12yly2+t(y〔+y2)+l=--------------------=

-2t2+2t2+44

Xi+Xz=t(y]+y2)+2=

t2+2t2+2

—2222

N“nN“C2t+24m21_(m-2)t+2m-4m+l

/.MP-MQ=-z----------；——+m9分

t2+2t2+2t2+2t2+2

(m2-2)t2+2m2-4m+1

设MP-MQ=2则=X

t2+2

5

22222m=-

(m-2)t+2m-4m+l=X(t+2)m-2-X=04M(-,0)11分

2222,74

(m-2-X)t+2m-4m+l-2X=02m-4m+l-2X=0A=-----

16

②当直线1的斜率为0时，直线l:y=0,由Mp,0)得:

4

MP-MQ=(V2-1)-(-A/2-|)=||-2=-^

综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为(々0)

4

6.已知双曲线C:----1(〃>0,/?>0)的离心率为,右准线方程为x———

ab3

(I)求双曲线。的方程;

(II)设直线/是圆O:x?+V=2上动点P(xo,yo)(xoyo#0)处的切线，/与双曲线C交

于不同的两点A,8,证明NAOB的大小为定值.

解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.

立—由

(I)由题意，得＜03,解得。=1,。=行，

上=出

2

/=/—"2=2,所求双曲线C的方程为-=].

2

(II)点尸(/0，%)(%0%W0)在圆炉+y2=2上，

圆在点尸(七,%)处的切线方程为＞一%=-

,4=1及片+*=2得

化简得/尤十%＞=2.由＜

xox+yoy=2

-4)龙?—4-XQX+8-2xg—0①

-4)J—8^0%—8+2XQ—0②

•・•切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜焉＜2,

3x1-4^0,设A、B两点的坐标分别为(玉,%),(%2，%)，

,8—2/2%"-8

则n%/=------，%%=---?---

123%；-4123^-4

OA-OB=xvx2+yxy2=0,NAQB的大小为90.

Xy

7.己知椭圆一7+-=1(a>6>0),过其中心0的任意两条互相垂直的直径是PFz、

CTb

QIQ2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形PGPzQz与一定圆相切。

探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则A2%的方程为

Xvab

—+—=1,原点0到直线A2B2的距离为白二/=，

abVa2+Z?2

2b2

2261

则与菱形AiB.A2B2内切的圆方程为x+y-...-------

一一a+/?

证明：设直径PR的方程为y=kx,则QIQ的方程为y=--x

2k

a2b2

y=kxX2

2222一雷+1)。2/

22解得<b+ak

k2a2b22—b2+a2k2

[ua2b2y2

b2+a2k2

22

ce(k+l)a-b必必*\OP,\-\OQ,\ab

22

同理OQ