挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题04二次根式(12个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)

专题04二次根式（12个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1二次根式的定义】 1【考点2二次根式有意义的条件】 2【考点3二次根式的性质与化简】 2【考点4最简二次根式】 2【考点5二次根式的乘除】 3【考点6分母有理化】 3【考点7同类二次根式】 4【考点8二次根式的加减法】 5【考点9二次根式的混合运算】 5【考点10二次根式的化简求值】 6【考点11比较二次根式的大小】 6【考点12二次根式的应用】 6【要点1二次根式的定义】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。【考点1二次根式的定义】【例1】（2023·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−4A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【变式1-1】（2023·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【变式1-2】（2023·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（

）A．a+b B．st C．−x3【变式1-3】（2023·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则【考点2二次根式有意义的条件】【例2】（2023·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1【变式2-1】（2023·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x【变式2-2】（2023·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【变式2-3】（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1【要点2二次根式的基本性质】①(a)2=a(a≥0)；②【考点3二次根式的性质与化简】【例3】（2023·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（

）A．721=3 B．3−8=−2 【变式3-1】（2023·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【变式3-2】（2023·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-3】（2023·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．【要点3最简二次根式】最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。【考点4最简二次根式】【例4】（2023·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【变式4-1】（2023·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．【变式4-2】（2023·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A．8 B．13 C．ab2【变式4-3】（2023·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【要点4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考点5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【变式5-1】（2023·广东番禺中学三模）计算：abA．1|a|b2ab B．1abab【变式5-2】（2023·广东佛山·一模）下列整数中，与(424A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-3】（2023·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【考点6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：12+1=2−1

(1)求110(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：1【变式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒数是（A．-232 B．-23 【变式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x−y)2【变式6-3】（2023·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，甲：13−乙：设有理数a，b满足：a2+1+丙：12022丁：已知43−x−11−x=4戊：13+以上结论正确的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【考点7同类二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【变式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2023·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（）A．4 B．5 C．6 D．−【变式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）【考点8二次根式的加减法】【例8】（2023·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+3【变式8-2】（2023·河北省保定市第二中学分校一模）18−【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a【考点9二次根式的混合运算】【例9】（2023·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23【变式9-1】（2023·山东泰安·中考真题）计算：8⋅【变式9-2】（2023·江苏泰州·中考真题）计算:(1)计算：18−(2)按要求填空：小王计算2xx解：2xx==小王计算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第步出现错误.直接写出正确的计算结果是.【变式9-3】（2023·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．2+【考点10二次根式的化简求值】【例10】（2023·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2【变式10-1】（2023·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab【变式10-2】（2023·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x【变式10-3】（2023·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yx【考点11比较二次根式的大小】【例11】（2023·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（

A．4 B．5 C．6 D．7【变式11-1】（2023·陕西延安·二模）比较大小：23_____3【变式11-2】（2023·湖南怀化·中考真题）比较大小：22__________1【变式11-3】（2023·贵州安顺·中考真题）估计(25+52A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【考点12二次根式的应用】【例12】（2023·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27【变式12-1】（2023·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n【变式12-2】（2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(a−b)2≥0，∴a−2阅读2：若函数y=x+mx(m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+mx≥2x⋅m阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2x+4问题2：若函数y=a+9a−1(a>1)，则a=问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？【变式12-3】（2023·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=a+b+c∴S=p事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．专题04二次根式（12个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1二次根式的定义】 1【考点2二次根式有意义的条件】 3【考点3二次根式的性质与化简】 5【考点4最简二次根式】 6【考点5二次根式的乘除】 8【考点6分母有理化】 10【考点7同类二次根式】 13【考点8二次根式的加减法】 15【考点9二次根式的混合运算】 16【考点10二次根式的化简求值】 19【考点11比较二次根式的大小】 21【考点12二次根式的应用】 23【要点1二次根式的定义】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。【考点1二次根式的定义】【例1】（2023·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【答案】A【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案【详解】解：13、x2+11−2=−1无意义，故选：A【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断【变式1-1】（2023·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，可得4a+3b=2a−b+6【详解】解：∵最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6∴3a−b=24a+3b=2a−b+6∴3a−b=2a+2b=3解得a=1b=1故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．【变式1-2】（2023·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（

）A．a+b B．st C．−x3【答案】D【分析】根据二次根式的定义判定即可．【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；B、stC、−xD、aa≥0故选：D．【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如aa≥0【变式1-3】（2023·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则【答案】

2；

−4；【分析】将x=6−25因式分解求得x=5−1，则x2+ax+b=0可化简得5a−2+b−a+6=0，根据a，b为有理数，可得【详解】解：∵x=====∴x∴5∴6−2∴5∴5∵a，b为有理数，∴a−2，b−a+6也为有理数，故当5a−2+b−a+6=0时候，只有∴a=2，b=−4，故答案是：2，−4；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．【考点2二次根式有意义的条件】【例2】（2023·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1【答案】D【分析】根据二次根式的意义可以得知x−1≥0，x+2≥0构成不等式组就可以求出其x的取值范围．【详解】解：∵x−1∴x−1≥0解得x≥1．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键.【变式2-1】（2023·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x【答案】8【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．【详解】解：∵y=x−2∴x−2⩾04−2x⩾0∴x=2，∴y=3，∴x故答案为：8【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.【变式2-2】（2023·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故选：D．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．【变式2-3】（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1【答案】B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：依题意，x+3>0∴x>−3且x≠1故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．【要点2二次根式的基本性质】①(a)2=a(a≥0)；②【考点3二次根式的性质与化简】【例3】（2023·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（

）A．721=3 B．3−8=−2 【答案】B【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判定即可．【详解】解：A、721B、3−8C、a2D、25=5故选：B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握三者的概念的区别与联系是解题的关键．【变式3-1】（2023·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【分析】根据数轴得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．【详解】解∶∵根据数轴得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故选∶B．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握a2【变式3-2】（2023·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据12=22×3，若12a是整数，则12a【详解】解：∵12=22×3又∵能被3整除的最小平方数是9，∴a的最小正整数值是3，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确理解12a=2【变式3-3】（2023·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8−x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8−x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8−x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【要点3最简二次根式】最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。【考点4最简二次根式】【例4】（2023·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【答案】A【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；B、12=2C、8=2D、12故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键．【变式4-1】（2023·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．【答案】1【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；【详解】解：∵8＝22，根据题意得：a+1＝2，解得a＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．【变式4-2】（2023·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A．8 B．13 C．ab2【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．8=2B．13C．abD．3是最简二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．理解和掌握最简二次根式的定义是解题的关键．【变式4-3】（2023·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，可得4a+3b=2a−b+6【详解】解：∵最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6∴3a−b=24a+3b=2a−b+6∴3a−b=2a+2b=3解得a=1b=1故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．【要点4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考点5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：−3∴所有积中小于2的有−6故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．【变式5-1】（2023·广东番禺中学三模）计算：abA．1|a|b2ab B．1abab【答案】A【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：ab故选：A．【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，a⋅b=【变式5-2】（2023·广东佛山·一模）下列整数中，与(424A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出5的值即可判断．【详解】解：(4＝4＝8﹣5，∵2.22＜5＜2.32，∴2.2<5∴5.7<8−5∴与(424故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-3】（2023·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【答案】C【分析】根据二次根式乘除混合运算逐项计算即可求解．【详解】解：A.1÷2×B.2÷6C.6÷3×D.3÷故选C．【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算，正确的计算是解题的关键．【考点6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：12+1=2−1

(1)求110(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：1【答案】(1)10(2)1(3)20【分析】（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．【详解】（1）由题意可得：110故答案为：10−（2）由题意可得：1n+1故答案为：1n+1（3）1=(=(−1+=(=202=2019【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒数是（A．-232 B．-23 【答案】D【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．【详解】解：∵-2∴-23的倒数是故选：D．【点睛】此题主要考查了倒数，分母有理化，正确掌握倒数的定义是解题关键．【变式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x−y)2【答案】

14

11【分析】根据分母有理化得到x=2−3，将x和y【详解】解：∵x=1∴x=1∴（1）x=2−=4−43=14，故答案为：14；（2）x−y2=2−=−2=12−1=11，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．【变式6-3】（2023·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，甲：13−乙：设有理数a，b满足：a2+1+丙：12022丁：已知43−x−11−x=4戊：13+以上结论正确的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【答案】B【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．【详解】解：甲：13−乙：设有理数a，b满足：a2+1+丙：∵1∴12022丁：∵43−x−11−x则43−x+戊：1====33−故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．【考点7同类二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【详解】解：A.原式=3x3B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=x3故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．【变式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】∵最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【变式7-2】（2023·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（）A．4 B．5 C．6 D．−【答案】A【分析】把x=4、5、6、−15分别代入【详解】解：A．x=4时，5x+8=28=2B．x=5时，5x+8=33，与C．x=6时，5x+8=38，与D．x=−15时，5x+8=7，与故选：A．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，理解同类二次根式的定义是解答关键．【变式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）【答案】−3（答案不唯一）【分析】当x+5和2可以合并，所以它们是同类二次根式时，那么可以令x+5=2，解得x即可．【详解】当x+5和2可以合并，所以它们是同类二次根式，当x+5是最简二次根式，令x+5=2，解得，x=-3,故答案为：-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，此题是开放题，只要满足题意即可．【考点8二次根式的加减法】【例8】（2023·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．【答案】2【分析】根据题意二次根式的加减运算即可求解．【详解】解：∵a+1与12的和等于33，∴a+1=33−∴a+1=3∴a=2故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+3【答案】2【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：3=3+=23故答案为：23【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023·河北省保定市第二中学分校一模）18−【答案】2+3【分析】首先化简各二次根式，进而合并得出答案．【详解】解：原式=3=2+故答案为：2+【点睛】本题考查了二次根式的化简以及合并同类二次根式，正确将每个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a【答案】-7【分析】先将原式中二次根式进行化简，合并，则可求得a=−5，b=12，【详解】解：−50∵−50∴a=−5，b=12，∴ab+c=−5×1故答案为：-7．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的运算方法是解题的关键．【考点9二次根式的混合运算】【例9】（2023·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23【答案】12##【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：2====【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．【变式9-1】（2023·山东泰安·中考真题）计算：8⋅【答案】2【分析】先计算乘法，再合并，即可求解．【详解】解：8==4=23故答案为：23【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．【变式9-2】（2023·江苏泰州·中考真题）计算:(1)计算：18−(2)按要求填空：小王计算2xx解：2xx==小王计算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第步出现错误.直接写出正确的计算结果是.【答案】(1)2(2)因式分解；三和五；1【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.（1）解：原式=32（2）解：由题意可知：2x故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2故答案为：因式分解，第三步和第五步，1【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.【变式9-3】（2023·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．2+【答案】A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B令x=0，则y=2，令y=0，则x=−2则A（−2，0），B（0，2则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=22过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC=AD2+CD∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2−CD又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=3x，解得：x=3+1，∴AC=2x=2（3+1）=6+故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．【考点10二次根式的化简求值】【例10】（2023·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2【答案】202或【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．【详解】解：(x+＝(x+＝2x×2＝42∵x2∴x2（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．当x＝5时，原式＝42×5=20当x＝﹣3时，原式＝42【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．【变式10-1】（2023·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab【答案】3【分析】先把二次根式进行化简，然后把a+b=3，ab=2，代入计算，即可得到答案.【详解】解：a=(a+b)ab∵a+b=3，ab=2，∴原式=3×2故答案为：32【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.【变式10-2】（2023·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x【答案】15【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．【详解】解：由x−1x∴x+1原式=x+1x2−4−故答案为：152【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用x+1【变式10-3】（2023·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yx【答案】±2【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论【详解】求解．解：∵xy=3，∴x与y同号，①当x>0，y>0时，原式=y⋅===23②当x<0，y<0时，原式=y⋅=−=−=−23故答案为：±23【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．【考点11比较二次根式的大小】【例11】（2023·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【详解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【变式11-1】（2023·陕西延安·二模）比较大小：23_____3【答案】＜【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】∵23=12，32=18，12＜∴23＜3故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．【变式11-2】（2023·湖南怀化·中考真题）比较大小：22__________1【答案】＞【分析】直接用22−12，结果大于0，则【详解】解：22∴22故答案为：＞．【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．【变式11-3】（2023·贵州安顺·中考真题）估计(25+52A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．【详解】解：原式=2＝2+10∵3<10∴5<2+10故选B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．【考点12二次根式的应用】【例12】（2023·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=∴27的位置记为故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．【变式12-1】（2023·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n【答案】

355，

【分析】首先将3转换成31【详解