专题六第一讲排列、组合、二项式定理

专题六第一讲排列组合二项式定理目录排列与组合基本概念排列组合问题求解方法二项式定理基本概念排列组合在二项式定理中应用经典例题解析与技巧总结练习题与答案解析01排列与组合基本概念Part从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列定义$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中n为总元素个数，m为取出元素个数。排列数公式排列定义及公式组合定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。组合数公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中n为总元素个数，m为取出元素个数，!表示阶乘。组合定义及公式排列考虑元素顺序，而组合不考虑元素顺序。排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$之间存在关系：$A_n^m=C_n^mtimesm!$。这是因为排列数是在组合数的基础上，再对取出的元素进行全排列。排列与组合关系联系区别02排列组合问题求解方法Part0102直接法适用于元素个数较少，或问题较为简单的情况。根据题意直接计算，考虑问题的实际背景和限制条件，合理分类和分步。间接法先求出问题的全部情况数，再减去不符合条件的情况数。适用于正面求解情况较多或较复杂，而反面情况较少或较简单的情况。插空法与捆绑法先考虑不受限制的元素的排列，再将受限制的元素插入到已排好的元素之间的空隙中。插空法先将需要相邻的元素捆绑成一个整体，与其他元素一起进行排列，再考虑捆绑元素内部的排列。捆绑法03二项式定理基本概念Part二项式定理展开式二项式定理展开式是指形如$(a+b)^n$的式子按照一定规律展开后得到的多项式。二项式定理展开式的通项公式为$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$k=0,1,2,...,n$。二项式定理展开式的项数与指数$n$有关，共有$n+1$项。二项式定理展开式中，与首末两端等距离的两项二项式系数相等，即$C_n^k=C_n^{n-k}$。性质一二项式定理展开式中，除首末两项外，任意一项的二项式系数等于它前后两项的二项式系数之和，即$C_n^k=C_n^{k-1}+C_n^{k+1}$。性质二通项公式及性质123对称性，即$C_n^k=C_n^{n-k}$。二项式系数性质一增减性与最大值，当$n$为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当$n$为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。二项式系数性质二各组二项式系数的和等于$2^n$，即$sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n$。二项式系数性质三二项式系数性质04排列组合在二项式定理中应用Part利用组合数公式求解根据二项式定理，$(a+b)^n$的展开式中，第$r+1$项的系数是$C_n^r$，因此可以通过组合数公式$C_n^r=frac{n!}{r!(n-r)!}$来求解二项式系数。利用帕斯卡尔三角形求解帕斯卡尔三角形中，每个数是它正上方两数之和，而二项式系数正好对应帕斯卡尔三角形中的数，因此可以通过帕斯卡尔三角形来求解二项式系数。求解二项式系数问题判断二项式展开式某项系数通过通项公式判断二项式$(a+b)^n$的展开式中，第$r+1$项的通项公式为$T_{r+1}=C_n^rcdota^{n-r}cdotb^r$，因此可以通过通项公式来判断某项的系数。通过组合数性质判断根据组合数的性质，当$n$和$r$满足一定条件时，$C_n^r$具有对称性、递推性等性质，因此可以通过这些性质来判断二项式展开式中某项的系数。证明等式通过二项式定理将等式两边的表达式展开，然后比较对应项的系数是否相等，从而证明等式成立。证明不等式利用二项式定理展开不等式两边的表达式，然后通过比较对应项的大小关系或者利用放缩法等方法来证明不等式成立。利用二项式定理证明等式或不等式05经典例题解析与技巧总结Part例题101从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；所有这样的组合构成的集合，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合集合。例题202有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，...，18，20。若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有一面至少被锯成两部分的有多少个?例题303有5本不同的书，要分给3名同学，每人至少1本，有多少种不同的分法?经典排列组合问题解析求(a+b)^n的展开式中的通项公式及各项系数。例题1求(√x+3/x)^8的展开式中的常数项及有理项。例题3经典二项式定理问题解析排列组合问题解题技巧特殊元素和特殊位置优先策略。相邻元素捆绑策略。解题技巧与方法总结不相邻问题插空策略。定序问题倍缩空位插入策略。排列组合混合问题先选后排策略。解题技巧与方法总结平均分组问题除法策略。重排问题求幂策略。二项式定理问题解题技巧解题技巧与方法总结解题技巧与方法总结熟记二项展开式的通项公式，理解各项系数的性质。了解二项式定理在近似计算中的应用。掌握二项式系数的性质及其应用。会利用二项展开式的通项公式求某些特定项的系数。06练习题与答案解析Part有5个不同的红球和3个不同的白球，从中任取3个球，求取出的3个球中既有红球又有白球的组合数。题目一题目二题目四在所有的三位数中，满足其数字和等于12的三位数有多少个？已知(√x+2/x)^n的展开式中，前三项系数成等差数列，求n的值。030201练习题答案解析题目一解析：根据题意，可以分两种情况讨论：第一种是取出2个红球和1个白球，其组合数为C(5,2)C(3,1)；第二种是取出1个红球和2个白球，其组合数为C(5,1)C(3,2)。所以总的组合数为C(5,2)C(3,1)+C(5,1)C(3,2)。题目二解析：根据题意，可以设三位数的百位、十位、个位数字分别为a、b、c，则有a+b+c=12。因为a、b、c均为正整数且a不能为0，所以可以通过枚举法列出所有满足条件的a、b、c组合，从而得到所有满足条件的三位数。题目三解析：根据二项式定理，我们可以将(n+1)^2和n^2分别展开，然后相减得到2n+1。具体步骤为：(n+1)^2=n^2+2n+1，n^2=n^2，所以(n+1)^2-n^2=2n+1。题目四解析：根据题意，我们知道(√x+2/x)^n的展开