与圆有关的位置关系(原卷版)-2024年中考数学一轮复习

专题30与圆有关的位置关系

【专题目录】

技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法

技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型

技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法

【题型】一、判断点与圆的位置关系

【题型】二、三角形外接圆的相关计算

【题型】三、确定圆的条件

【题型】四、判断直线与圆的位置关系

【题型】五、利用切线的性质定理进行计算

【题型】六、切线性质与判定的综合

【题型】七、利用切线长定理进行计算

【题型】八、三角形内切圆的相关计算

【题型】九、圆内接四边形的相关计算

【题型】十、判断圆与圆的位置关系

【考纲要求】

1.T解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系.

2.T解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系.

3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质.

4.掌握三角形内切圆的性质.

【考点总结】一、点、线与圆的位置关系

1.如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么：

(1)点在圆外0办r；

(2)点在圆上=上匕

（3）点在圆内o8兀

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

位置

相离相切相交

关系

(J)CD

图形小

公共点个数012

数量

d>rd=rd<r

关系

3.切线的性质与判定

（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【技巧归纳】

技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法

类型一：点与圆的位置关系

方法1定义法

1.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格一点（格线的交点称为格点）.如果以A

为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围一为（）

A.2也<r<\：T75，V17<r<3^2

C.\T7<r<5D.5<r〈标

2.在矩形ABCD中，AB=8,BC=3近，点P在边AB上，且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD

的长为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

4点B,C均在圆P外

8.点B在圆P外，点C在圆P内

。.点B在圆P内，点C在圆P外

。.点B,C均在圆P内

方法2比较法

3.。。的半径r=5cm,圆心O到直线1的距离OD=3c%,在直线1上有P,Q,R三点，且有PD=4cw,

QD=5c机，RD=3cm,那么P,Q,R三点与。O的位置关系各是怎样的？

类型二：直线与圆的位置关系

方法3交点个数法

4.已知直线1经过。O上的A,B两点，则直线1与。O的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.无法确定

方法4距离比较法

5.如图，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CDXAB,BC=4cm,以点C为圆心，4c仅为半径画

OC,试判断直线BD与。C的位置关系，并说明理由.

A。/第5题）

6.如图，在比AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公

共点，求R的取值范围.

技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型

类型一：应用于求线段的长

1.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0与边BC,AC分别交于D,E两点，过点D作DF_LAC,

垂足为点F.

(1)求证：DF是。0的切线；

(2)若AE=4,cosA=(,求DF的长.

类型二：应用于求三角函数值

2.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,AE_LBC于E,NADC的平分线交AE于点O,以点0为圆心,

0A为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.

(1)求证：CD与。0相切;

⑵若BF=24,0E=5,求加〃/ABC的值.

类型三：应用于求圆的半径

3.如图，已知AB为。0的直径，AD,BD是。0的弦，BC是。0的切线，切点为B,OC〃AD,BA,

CD的延长线相交于点E.

(1)求证一：DC是。0的切线；

(2)若AE=1,ED=3,求。0的半径.

类型四：应用于求图形的面积

4.如图，AB为。。的直径，D为辰的中点，连接0D交弦AC于点F,过点D作DE〃AC,交BA的延

长线于点E.

(1)求证：DE是。O的切线;

(2)连接CD,若0A=AE.=4,求四边形ACDE的面积.

(第4题)

技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法

类型一：作半径，巧用同圆的半径相等

1.如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆0上，顶点B,C在半圆O的直径

上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆0的直径上，点G在大正方形的边AB上.若小正

方形的边长为4cm,求该半圆的半径.

COBE

(第1题)

类型二：连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等

2.如图，圆内接三角形ABC的外角NACM的平分线与圆交于D点，DPLAC,垂足是P,DHXBM,垂

足为H.求证：AP=BH.

iM

iH

C

(第2题)

类型三：作直径，巧用直径所对的圆周角是直角

3.如图，0O的半径为R,弦AB,CD互相垂直，连接AD,BC.

⑴求证：AD2+BC2=4R2；

(2)若弦AD,BC的长是方程x2-6x+5=0的两个根(AD>BC),求00的半径及点0到AD的距离.

(第3题)

类型四：证切线时辅助线作法的应用

4.如图，AABC内接于。O,CA=CB,CD〃AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与。0的位置关系,

并说明理由.

(第4题)

类型五：遇弦加弦心距或半径

5.如图，在半径为5的＜30中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为

A.3B.4C.3也D.4也

6.如图，AB是。0的弦，OH_LAB于点H,点P是优弧上一点，若AB=23，0H=l,则NAPB=

类型六：遇直径巧加直径所对的圆周角

7.如图，在AABC中，AB=BC=2,以AB为直径的分别交BC,AC于点D,E,且点D是BC的中

点.

(1)求证：AABC为等边三角形;

(2)求DE的长.

7题）

类型七：遇切线巧作过切点的半径

8.如图，0O是比△ABC的外接圆，/ABC=90。，点P是圆外一点，PA切于点A,且PA=PB.

（1）求证：PB是。。的切线；

（2）已知PA=3，NACB=60。，求。。的半径.

类型八：巧添辅助线计算阻影部分的面积

9.如图，点B,C,D都在。O上，过点C作AC〃:BD交0B的延长线于点A,连接CD,且/CDB=/OBD

=30°,DB=6A/3cm.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）求由弦CD,BD与靛所围成的阴影部分的面积（结果保留心.

9题）

【题型讲解】

【题型】一、判断点与圆的位置关系

例1、若。N的半径为5,圆心4的坐标是（1,2）,点P的坐标是（5,2）,那么点尸的位置为（）

A.在。/内B.在。/上C.在。/外D.不能确定

例2、已知。。的半径为5,若PO=4,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点尸在。。外D.无法判断

【题型】二、三角形外接圆的相关计算

例3、有一题目：“已知；点。为A4BC的外心，ZSOC=130°,求NZ.”嘉嘉的解答为：画A4BC以及

它的外接圆。，连接05,0C,如图.由/5。。=2乙4=130°,得44=65。.而淇淇说：“嘉嘉考虑

的不周全，NZ还应有另一个不同的值.“，下列判断正确的是()

A.淇淇说的对，且NZ的另一个值是115。

B.淇淇说的不对，乙4就得65。

C.嘉嘉求的结果不对，NZ应得50°

D.两人都不对，NZ应有3个不同值

例4、过三点J(2,2),B(6，2),C(%5)的圆的圆心坐标为()

A.(4,—)B.(4,3)C.(5,—)D.(5,3)

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【题型】三、确定圆的条件

例5、如图，PA,P5为。O的切线，切点分别为A、B,PO交48于点C,的延长线交00于点D.下

A.△APN为等腰三角形B.45与尸。相互垂直平分

C.点A、B都在以P。为直径的圆上D.PC为△APN的边48上的中线

例6、如图，已知尸4必是。。的两条切线，A,2为切点，线段C『交。。于点给出下列四种说法:

①P4=PB；②OPLAB；③四边形。4ps有外接圆；④M是A/OP外接圆的圆心，其中正确说法的个

数是()

A.1B.2C.3D.4

【题型】四、判断直线与圆的位置关系

cos//

例7、如图，中，ZC=90°,AB=5,以点B为圆心，「为半径作08,当r=3

5

时，05与/C的位置关系是（）

A.相禺B.相切C.相交D.无法确定

【题型】五、利用切线的性质定理进行计算

例8、如图，是。。的弦，NC与。。相切于点4连接04,OB,若/。=130。，则/B/C的度数是

C.70°D.75°

例9、如图，AB是。。的切线，/切点，连接OA,0B,若NB=20。，则N/QB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

例10、如图，。。是等边△48C的内切圆，分别切BC,AC于点、E,F,D,尸是曲上一点，贝！尸尸

的度数是（）

ED

A.65°B.60°C.58°D.50°

例11、如图,△ABC内接于圆，ZACB=90°，过点C的切线交AB的延长线于点P,ZP=28°.则ZCAB=

C.28°D.56°

例12、如图，尸4必分别与。。相切于48两点，ZP=72°,则NC=（)

A.108°B.72°C.54°D.36°

【题型】六、切线性质与判定的综合

例13、如图，48为。O的直径，点C是0。上一点，CD与。。相切于点C,过点/作连接/C,

BC.

（1）求证：NC是/D43的角平分线;

(2)若40=2,AB=3,求NC的长.

D

例14、如图，在△ABC中，4B=AC,以AB为直径的。0与BC相交于点D,过点D作。O的切线交AC

于点E.

(1)求证：DELAC；

(2)若。O的半径为5,BC=16,求DE的长.

【题型】七、利用切线长定理进行计算

例15、如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若尸/=3,则必=()

例16、如图，PA、PB为圆0的切线，切点分别为A、B,P0交AB于点C,P0的延长线交圆0于点D,

下列结论不一定成立的是()

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【题型】八、三角形内切圆的相关计算

例17、如图，ZiABC的内切圆。0与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA

12,则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）

A

D。

A.4B.6.25C.7.5D.,9

例18、如图，A43C内心为/,连接//并延长交AA8C的外接圆于。，则线段。/与。8的关系是（）

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.,不确定

【题型】九.圆内接四边形的相关计算

例19、如图，四边形4SCZ）内接于O。，AB=CD,4为命中点，ZBDC=60°,则ZADB等于（）

◎

A.40°B.50°C.60°D..70°

例20、如图，48为。。的直径，点C,点。是。。上的两点，连接C4,CD,AD.若NCA8=40。，则//DC

的度数是（）

A.110°B.130°C.140°D.,160°

例21、如图，已知四边形48CD内接于。。，ZABC=10°,则N/OC的度数是（）

A

o

A\~--------------IB

A.70°B.110°C.130°D.140°

【题型】十、判断圆与圆的位置关系

例22、已知。A与。B外切，（DC与。A、。8都内切，且AB=5,AC=6,BC=7,那么。C的半径长是

（）

A.11B.10C.9D.8

例23、如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位

置关系不可能是（）

A.内含B.内切C.外切D.相交

与圆有关的位置关系（达标训练）

一、单选题

1.图，在平面直角坐标系中，以M（3,5）为圆心，N8为直径的圆与x轴相切，与》轴交于C两点，

2.如图，已知。O上三点/、B、C,连接48、AC.OB、OC,切线3。交。C的延长线于点。，ZA=25°,

则/。的度数为（）

A

3.如图，。。的内接四边形48co中，ZD=50°,则43为（）

4.如图，四边形Z8CD是。。的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C,点。重合），连接BE,

若乙4=60。，则aBED的度数可以是（）.

5.如图，O。的直径4B与弦/C的夹角为25。，过点C的切线PC与48的延长线交于P,则/尸的度数为

6.下列说法正确的是（）

A.为调查全国人民对粮食的关注度，应采用全面调查

B.“三点确定一个圆”是必然事件

C.成语“水中捞月”是随机事件

D.随意掷一枚5角钱币，落地后每一面向上的机会一样

二、填空题

7.如图，是。。的直径，CD切。。于点C.若/3CO=50。，则N/2C的大小为'

8.如图，四边形内接于。O,ZABC=10°,则的度数是.

三、解答题

9.如图，已知AB是。0的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE_LAC,

垂足为E.

(1)求证：AB=AC；

(2)求证：DE是。。的切线；

(3)若。0的半径为6,ZBAC=60°,则DE=.

10.如图，AD是。O的弦，AB经过圆心O交。O于点C,ZA=ZB=30°,连接BD.求证：BD是。O

的切线.

与圆有关的位置关系（提升测评）

一、单选题

1.如图，四边形48C。内接于OO,4840=70。，则的度数是（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

2.如图，PA,PB分别与0t9相切于点A,B,过圆上点C作。。的切线EF分别交PA,PB于

点E,/，若以=4,则!PEF的周长是（)

A.4B.8C.10D.12

3.如图,